探析带电粒子在交变磁场中的运动

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带电粒子在匀强磁场中的运动具有以下特点： （1）洛伦兹力充当向心力， 。（2）带电粒子做圆周运动的半径 ，周期 。如果同学们遇到的是带电粒子在交变磁场中的运动，又该如何求解呢？

例题 （2014.山东卷）如图1甲所示，间距为d、两平行板P、Q间存在垂直于纸面的匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图1乙所示。t=0时刻，一质量为m、带电荷量为q的粒子（不计重力），以初速度 。由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t=0时刻入射的粒子经 时间恰能垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、g、d、v0为已知量。 （1）若 ，求B0。 （2）若 ，求粒子在磁场中运动时加速度的大小。（3）若 ，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。

解析：（1）设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得 ，据题意由几何关系得R1=d，解得

（2）设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得 ，据题意由几何关系得 ，解得 。

（3）设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T=2πR，由牛顿第二定律得 ，又有 ，解得d=4R。粒子的运动轨迹如图2所示，Ol、02为圆心，二者连线与水平方向间的夹角为θ，在每个TB时间内，只有在与A、B两点相同的位置粒子才有可能垂直击中P板，且均要求 。由题意知 。设粒子经历完整TB的个数为n（n=0，1，2，3，…）。若粒子在与A点相同的位置击中P板，据题意由几何关系得R+2（R+Rsinθ）n=d。当n=0时，无解。当n=l时，解得 。联立以上各式解得 。当n≥2时，不满足0

当n≥2时，不满式解得 的要求。

注意：求解第（3）问时，画出轨迹示意图，对粒子垂直打在P板上，要根据分别与A、B两点相同的位置列出几何关系进行讨论，避免漏解。

小结：如果能够将交变磁场分割成若干匀强磁场，那么求解带电粒子在交变磁场中的运动问题就变成了求解带电粒子在匀强磁场中的运动问题，这样就可以根据带电粒子在匀强磁场中运动时的特点来求解相关问题了。