大学理工专业数学课程教学模式的探索、实践与反思

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摘要：本人根据现代认知论的观点再结合数学学科的特点，分析了数学学习的主体应该是学生主动参与思维活动的过程，并结合理工专业学生的兴趣特点和专业知识，指出必须构建以学生为中心，以促进学生的素质发展为目的，并融合多种兴趣激发方式，以师生的互动活动为主要形式的全新教学模式。

关键词：数学课程；理工专业；教学模式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）18-0140-03

一、以现代认知论的观点分析数学学习活动

现代认知论认为，学习是对环境中的刺激产生反应并依其关系形成的一种新的认知结构的过程，是意义获得和期望实现的过程。所谓认知结构，就是学习者头脑里的知识量、清晰度和组织方式，它是从教学实践中转化而来的。而数学的认知结构就是学习者所掌握的数学知识按照自己理解的深度、广度再结合自己的感知、记忆、思维、联想等认知特征组合而成的具有内部规律的整体结构。学生在学习数学时，都是以原有的认知结构为基础，将新的知识进行加工和整合，通过新知识和旧知识之间的联系和相互作用，将新知识纳入原有的认知结构，从而扩大认知内容，这一过程被称为同化。如果原有的认知结构中没有适当的知识与新知识相联系，那么就对原有的认知结构进行改组或部分改组，进而形成新的认知结构，这个过程叫作顺应。有意义的数学学习就是通过识别、记忆、分析、推断等认知活动不断地同化和顺应的过程。

一般来说，数学的学习包括知识理论学习和方法技巧学习。我们也可以把这两方面的学习看成是两个层次：知识理论学习好比战略层面的内容，而方法技巧则可以看作是战术层面的内容。数学技能总是以数学知识和理论为基础的，但知识的理解并不完全等同于技能的形成，它总是要经历分析、理解、构建、练习以至熟练的过程。在技能的学习过程中，知识理论起着引导的作用，它能够帮助学习者朝着正确的方向思考问题。较难的数学问题的解决是个复杂的思维活动过程，它既要运用抽象、归纳、类比、分析、演绎等逻辑思维的形式去进行论证，也要用到直觉顿悟等非逻辑思维形式来探索问题解决的方法，是人的数学素养的综合体现，也是其思维品质和主体作用的集中表现，是学习者的创造性工作。波利亚曾指出，学习解题的最佳途径就是自己去发现，去摘“跳起来可以摘到的苹果”。而这一过程的完成会给学习者带来心理上的成就感和满足感，从而对学习者的心理形成正的反馈，这就是我们可以利用“问题驱动”激发学生学习兴趣的心理学依据。

由此可见，数学学习过程的主体应该是学生主动参与数学活动的过程。学生的数学学习不应该是被动地接受，而应该是积极主动地参与数学思维活动。事实上，只有经过一定程度的思维活动，学生才能理解抽象的数学理论和掌握重要的数学思想方法，才能理顺大量的数学理论之间的联系和来龙去脉。否则，他们所获得的知识也仅仅是简单的堆砌，好像一团混沌或乱麻，难以形成良好的知识脉络和认知结构。因此，数学教学应该是在教师的主导下，尽可能地激发学生的兴趣，并紧紧围绕学生的主体作用的发挥去进行。

二、大学数学课程教学模式面临调整

数学课程的教学内容是前人创新的产物，数学知识体系源于抽象和创新，又能促进人们进行新的创新，良好的数学能力有助于创新能力的形成和提高。在理工类专业人才的教育培养中，大学数学课程不仅要为学生打下扎实的数学基础，更要重视对学生数学素质的培养。正如李大潜院士所说，许多取得突出业绩的毕业生都有这样的体会，在工作中真正需要用到的数学分支学科，具体的数学定理、公式和结论，其实并不多，学校里学过的许多数学知识都似乎派不上多少用场，有的甚至完全淡忘，但所受到的数学训练，所领会的数学思想和精神，所培养的数学素养，却时刻都在发挥着重要的作用，成为取得成功的关键因素。

纵观本人的以及高校大部分教师的教学工作，学生的主体性一直未能得到足够的重视，在现行的教学主流模式中，教师“一言堂、满堂灌”现象严重，包括本人在内的许多教师过于追求知识的系统和完整，为了追赶教学进度和达到标准化教学的要求，讲得过多、过细，缺乏启发和引导，未能给学生们留足独立思考的时间，久而久之，使学生养成了机械地接受老师传授而惰于思考的习惯；而教师在重知识、轻思想、重结果、轻过程的倾向下，不能对隐含在数学知识中的数学思想方法进行精辟的提炼和分析，不能充分揭示数学理论魅力，不能充分展示数学对人的思维的锻炼，致使教学双方都停留在肤浅的层面上，长此以往，会使一部分学生失去对数学的兴趣，转而把数学看成沉重的负担，丧失积极从事数学活动的潜在可能。尤其是学生刚刚从中学跨入大学校门的时候，在长期的应试教育的指导下，偏重方法技巧，过度地依赖于教师去归纳和总结，凡事“拿来主义”，思维上存在惰性，缺乏积极的思考探索的思维活动。

三、大学数学课程教学模式变革的思考与实践

分析造成这些现象的根本原因，一是长期以来的传统教育思想的惯性作用，二是学科教学计划的影响：（1）我国的数学教育只注重掌握知识和方法技巧，而很少体察数学知识所反映的思想方法及其对人的整体素质的影响；（2）课时压缩得过少，致使教学的很多环节多是匆匆忙忙走过场，大大降低了这门课的真正价值。为此，我们应该采用以下几点措施。

首先突出学生的主体地位。数学的学习必须经过学生积极的数学活动之后，才能达到一定的效果，而学生的个性差异、兴趣取向等对活动的过程有直接的影响。在教学中，老师必须以学生为中心构建教学平台，形成以促进学生素质的全面发展为目的，以师生互动为主要课堂教学形式的全新教学模式，启发学生思考，组织学生探索，帮助学生学会分析、概括等，培养科学的思维方法和良好的数学素养。例如，在讲授数理逻辑运算合取（∧）析取（∨）时，首先从自然语言出发，抽象概括出运算的意义，并且提问如何记忆它们的真值表。那么，有些学生自然会想到集合运算中的交集（∩）并集（∪），他们不仅形状有类同处，意义也类同。在讲到逻辑运算的规律时，如分配律、结合律、幂等律等等，再次引导学生类比集合运算，让他们去寻找集合运算的相应规律，并让他们思考为什么会出现这些相似之处，能否将两种运算统一到共同的框架下等等。

其次，我们还可以采取多种教学手段来调动学生学习的兴趣。比如我们可以通过适当的问题来激发学生的学习热情和探索的兴趣，使他们的学习能力在解决问题的过程得到升华。当然，在设计“问题驱动”时，要考虑到学生的认知基础，形式可以多样化。适当难度的问题驱动在培养学生的意志力、创新能力方面的作用是显而易见的。比如，在微积分中值定理部分，让学生们考虑这个问题：

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=0，a>0，证明？埚ξ∈（a，b）使得

当学生们看到问题的已知条件，就会往运用中值定理去证明的方向去想。但是，究竟是利用罗尔定理、拉格朗日中值定理还是柯西中值定理呢？当我们发现已知条件中有f（a）=0，a>0时，很有可能是利用罗尔定理，但是显然不是对f（x）直接用。那么，我们构造怎样的辅助函数，使它在ξ点的导数是f ′（ξ）（b-ξ）+af（ξ）的形式或者包含这样的形式呢？于是，引导学生大胆尝试，先看f（x）（b-x）是否可行，然后发现f（ξ）前面没有a。那么，把辅助函数改成f（x）（b-ax）是不是就弥补了这一缺陷呢？其实不然，在af（ξ）符合我们所要的形式的同时却给另一项f ′（ξ）（b-ξ）中的ξ带来了个系数a。那么，把a放在哪里才行呢？这是一个耐人寻味的问题。引导学生考虑基本初等函数的导数结果，什么函数的导数能出来a同时又不改变（b-x）的形式，于是要构造的辅助函数就清晰了。

我们还可以通过介绍文化背景、应用背景和发展历程，提高学生的学习兴趣。比如在学习曲率和曲率圆概念这一节时，我们可以展示千姿百态的几何图案、蜿蜒曲折的长江、火车轨道等，他们都可以抽象为弯曲的曲线，他们之所以千姿百态，是因为在这些曲线的不同点处的弯曲程度不同。要想去精确地量化，研究或设计这些弯曲对象，离不开曲率。曲率是刻画曲线弯曲程度的量。在全国微课设计大赛中，一位老师首先提出问题：使用半径为多大的圆形砂轮才能最有效地打磨一个断面轮廓为抛物线的零件的内部呢？以这个问题为开头引入曲率概念，最后又通过准确地计算抛物线上各点的曲率和曲率圆成功地解决了这一问题，使学生充分感受到数学源于实践的特点。

我们可以充分地利用现代信息技术创造形象直观的讲解方式，比如在讲泰勒中值定理时，有些教材当中直接给出了定理的内容。我们可以通过PPT展示函数的图像的方式，让学生们直观地看到，在ξ0点上，从函数值相等开始，一阶导数相等，多项式函数与f（x）具有相同的切线，但弯曲方向可能相反；二阶导数也相等的话，那么多项式函数与f（x）不仅具有相同的切线，而且弯曲方向也相同。这样，学生们自然直观地看到，如果三阶以上的导数再相等的话，它们的图像就更接近，自然得出泰勒中值定理中系数的计算方法。同时，我们举例是也要注意和学生的专业背景相结合，比如对于生命科学专业的学生，我们可以分析细胞繁殖速率方面的极值问题；对于电子信息工程专业的学生，我们可以分析傅里叶级数与信号处理方面的问题。

此外，我们还可以将学科的交叉融合融入到数学课程的教学当中。比如在讲到“可导的函数一定是连续的”这一定理时，我们可以让学生们思考这一命题的逆命题“连续的函数一定可导”是否正确。很快，学生们通过举反例（如绝对值函数）的方式，发现这是不正确的。那么我们再引导学生思考这一命题的逆否命题“不连续的函数一定不可导”。很快，利用反证法，学生们发现这是正确的。那么，如果我们用p表示“函数可导”，用q表示“函数连续”的话，利用数理逻辑的符号，“可导的函数一定是连续的”即为“pq”。它的逆否命题“不连续的函数一定不可导”即为“qp”。若p表示“下过雨了”，q表示“地面湿了”，“pq”就是“如果下过雨了，地面就湿了”。“qp”则表示“如果地面没湿，那么就没有下过雨”。这其实是生活中常用的逻辑。如果p表示“参加土风舞大赛”，q表示“期末的综合测评可以加分”，那么“pq”就是“如果参加土风舞大赛，那么期末的综合测评可以加分”。“qp”则表示“如果某同学的期末的综合测评没加分，那么他一定没参加土风舞大赛”。以贴近学生生活的例子让他们感受到数理逻辑无处不在。

再如，在几何中，我们可以直观地看到向量的共线、共面，垂直，在线性代数中，二维向量的共线、三维向量的共面的推广便是一般的线性相关的概念；垂直就是正交，特点是内积为零。在学习解析几何二次曲面的知识时，课本当中给出的都是标准型的二次曲面，在应用过程中，一旦遇到非标准的二次曲面时学生就不知道它的形状了。在线性代数课程中讲到化二次型为标准型时，一定要把利用正交变换把二次型化为标准型的方法与二次曲面分类的内容结合起来。

其次还要科学地制定教学计划，给学生必要的数学活动空间。数学活动方式的教学模式与现行的数学主流模式相比，并非总要多占时间，而关键是要合理地组织。就离散数学而言，我们可以适当安排一些数学建模活动，让学生学会从实际问题出发，构建数学模型，编程实现得到结果，并思考所得的结果如何指导实际问题，如做出某地交通信号灯的逻辑电路。鼓励学生参加数学建模竞赛和数学竞赛，不仅可以提高他们的数学技能，激发他们的学习热情，也为他们将来从事科研或者其他方面的工作打下良好的逻辑思维基础。

最后，要做到理论与方法并重，结果与过程并举。一般说来，教科书中的数学理论的表现形式是精美和抽象的，那是因为它更多地接受了数学家们的雕琢和完善，逐步达到了理想状态，但这种理想状态也常常使人感到枯燥。因此，作为数学教师，要善于在教学中把那些潜在的东西发掘和展示出来，使学生们充分感受到数学的优美和生动。例如，在讲到二元关系中的函数的时候，启发学生对比函数的不同定义（运动的观点，即自变量和因变量的对应关系，映射的观点以及二元关系的观点），启发学生思考为什么会这样定义，启发学生思考现实世界中的各种变化，使学生认识到在现实世界中存在大量的这种规律的变化，所以我们把它们归为一类来研究。再如，在讲到映射概念时，我们只要引导学生们考虑在本教室当中，学生和全部座位这两个集合之间的映射时（对应法则就是坐在相应座位上），学生就很容易理解映射的概念，以及为什么像集通常取的大一些。如果在单射的时候的像集中把没有原像的元素去掉（对应上例中把没学生坐的座位去掉），此时单射就变成了一一映射。

参考文献：

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