浅谈如何解含有字母的绝对值问题

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绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有字母的绝对值化简问题，下面讨论如何处理这类问题。

一个数的绝对值是非负数，若a是实数，则：

|a|= 。根据绝对值的意义，我们下面试着来认识绝对值的化简。

例1.化简|x-1|。

分析：化简|x-1|，只要考虑x-1的正负即可去掉绝对值符号，这里需分x≥1与x

解：|x-1|= 。

例2.化简|3x+1|+|2x-1|。

分析：本题是两个绝对值的问题，解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号。若分别去掉一个绝对值符号，由上面可知是很容易的事，只需要找出去掉每个绝对值符号的分界点即可。化简|3x+1|的分界点是x=- ，化简|2x-1|的分界点是x= ，这样本题的化简便有两个分界点，为同时去掉两个绝对值符号，我们把这两个分界点- 和 标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示）。

即x的取值分为三段：

x

这样我们就可以分类讨论化简本题了：

当x

当- ≤x< 时，原式=3x+1-（2x-1）=x+2；

当x≥ 时，原式=3x+1+2x-1=5x；

-5x（x

所以|3x+1|+|2x-1|= x+2（- ≤x< ）。

5x（x≥ ）

由此可得，解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成了几个部分。于是变量字母的取值也就出现几个范围，可根据变量字母的取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”。

变式训练：化简：|2x+1|+|x-1|+ 。

通过对绝对值的学习，我们不仅要能熟练地化简绝对值，而且还要能解含绝对值的方程与不等式的问题。由绝对值的定义可知，任何实数的绝对值都是非负数。从几何上来看，若实数a在数轴上对应的点为A，原点为O，则|a|就是线段AO的长；若另一个实数b的对应点为B，则|a-b|就是线段AB的长。这样对于表达式|x-a|来说，x=a便称为零点。有了绝对值的这个认识后，我们便可以借助于数轴利用绝对值的几何意义解决有关变量字母的不等式或方程问题了。

例3.解不等式|x-1|-|x+2|

分析：根据绝对值的几何意义，因为|x-1|、|x+2|分别表示数轴上点x到1和-2两点的距离，所以|x-1|-|x+2|表示数轴上某点C（x的对应点）到点A（1）和点B（-2）的距离差（如图所示）。

当x=-1时，点C到点A的距离与点C到点B的距离之差为1，然而当点C向右移动时，AC-BC的值变小，即点C到A、B两点距离差小于1，所以不等式的解集为x>-1。

本题除了用绝对值的几何意义借助于数轴来解答外，也可利用“零点分段法”对左边的两个绝对值分类讨论化简，再解不等式从而解答问题。

例4.若不等式|x+1|+|x-3|≤a有解，求a的取值范围。

分析：根据绝对值的几何意义，因为|x+1|、|x-3|分别表示数轴上点x到-1和3两点的距离，所以|x-1|-|x+2|表示数轴上某点到点A（-1）和点B（3）的距离和（如图所示）。

从数轴上可以看出，不论x在A点的左边或在B点的右边时，x到A、B两点的距离和都大于4，当x在A、B两点（包括这两点）之间时，x到A、B两点间的距离和为4。所以，|x+1|+|x-3|的值不小于4。要使不等式|x+1|+|x-3|≤a有解，就需要a≥4。这样本题中a的取值范围是a≥4。

练一练：

1.解方程|x-3|+|x+2|=1。

2.解不等式|x+1|-|x-4|

3.当a取何值时，不等式|x+5|+|3-2x|≤2a无实数解？

绝对值是数学中一个重要的知识，因此应透彻深入地理解这一基本概念。我们知道绝对值是指数轴上表示一个数的点与原点的距离，有了绝对值的这个认识后，我们就可以利用数轴来解决有关绝对值问题。在化简绝对值时，必须弄清绝对值符号内的这个数是正数还是负数，如果是求含有字母变量的式子的绝对值，可采用“零点分段法”分类讨论化简。总之，绝对值的应用极其广泛，需在学习及探索过程中及时总结，不断提高自己的解题能力。