函数中的辩证关系

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函数概念是高中数学中一个非常重要且学生较难理解的一个概念，也是变量数学的基础概念之一。教师在这一概念教学时，一般会对其三要素进行阐述，这对理解函数概念，起着至关重要的作用。但书本中函数的辩证思维内容涉及几乎没有，因此教学时，教师对辩证思想无从阐述和发挥，以致教学大纲中的“培养学生辩证唯物主义观点”的目的往往不能落实。笔者认为，在讲函数概念时，应该把辩证唯物主义的基本观点有机地渗透到教学中，适当加以讲解。这对培养学生的辩证思维能力有很好的作用，也为今后进一步学习变量数学打下良好基础。下面就此问题谈谈我的体会和认识。

一、运动变化与间断、僵化之间的辩证关系

在高中数学中，函数概念是用“某个数集范围内，x的每一个确定的值，另一个变量y存在唯一确定的值与之对应”来定义的。这个定义能否刻画两个变量间的相互联系、相互制约的运动变化关系呢？分析一下定义就可以知道了。首先规定了自变量的取值范围，并约定它要取“每一个确定的值。”这一描述体现了自变量取值的确定性、任意性与完备性。所谓确定性，是指变量取值的方法为“一个确定的值”，即取值是逐个进行的，且一次只取一个，所谓任意性与完备性是指自变量要取“每”一个值。“每”包含任取和取尽两层意义，就是说自变量取值的过程是即可取这一个又可取另一个，直至取尽每一个值为止。由此可知自变量的运动变化在一连串取值的变化中得以充分的体现。由于对应法则的作用，函数的运动变化则是随自变量的变化而变化，这是明显的。

需要探索研究的是：自变量取值的确定性、任意性与完备性是通过怎样的手段来实现的呢？函数定义本身没有给出答案，这正是辩证思维在函数概念中的运用。

伟大导师列宁在《黑格尔“哲学史讲演录”》一书摘要中指出：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动”。列宁的论述，为研究变量的运动变化指出了辩证思维方法，即变量无论取何种运动变化的形态，都必须施以人为的间断、割碎、僵化的手段，然后才能想象、表达、测量、描述。自变量取值的确定性就是人为的间断、割碎、僵化的实施下才能得以实现的。但是，研究变量的目的是描述、测量其运动变化规律，人为的间断、割碎、僵化只是一时之需，还必须使变量从间断割碎、僵化的状态下“苏醒”过来。这就需要创造一定的条件，只有在一定条件下对立物双方才能互相转化。取值的任意性和完备性就是为苏醒提供了转化条件，这就使得人为地僵化转化为运动变化了。

函数定义的辩证思维，其实质是进行了两次转化。一是用人为的手段，使运动过程暂时处于停滞状态，以便测量、描述，二是在提供一定的条件后使停滞状态再次转化为运动。这两次转化，不是简单的重复转化，而是对变量的认识起到了一个质的变化。在函数作图过程中，取值、描点的过程即为进行第一次转化，用光滑曲线将所描的孤立的点连接起来，就是进行第二次转化。经过这两次转化函数图象便一目了然了。

二、常量与变量之间的辩证关系

初学函数时，学生由于长期在常量范围内计算求解，因此逐步养成思维定势，认为变量一直是变，常量永远是“常”，对变量有时“受限制”，常量有时“变”，往往理解不深，不清楚研究变量必须通过研究其常量才能实现的道理。这是因为学生不能很好地运用辩证唯物主义认识论去看待事物的变化。同志在《实践论》中说过：“人的认识是一步一步地由低级向高级发展，即由浅入深，由片面到更多的方面。”研究变量也不能例外，就必须按照这一规律先从运动变化的某个侧面某个特定状态下进行研究，然后再逐步由浅入深，由表及里，由某些侧面到认识事物运动的全貌。如二次函数，首先研究的是二次函数与x轴相交交点的横坐标问题即是求解一元二次方程，进而研究二次函数值与零的大小比较问题，即求解一元二次不等式，它已在求一元二次方程二个解的基础上认识进一步深化了，开始由几个值向无数个值转化，由解向解集转化了。随着研究的不断深入，更深更难的二次函数概念才出现。因此，研究常量往往是研究变量的开始，一系列常量研究的累积，就会由量变引起质变，所以研究变量必须通过研究其常量才能实现。

三、由函数关系表达的多样化、特殊化理解特殊与一般的辩证关系

客观事物的运动是形式多样的，反映在数量关系上也必然是千变万化的。但是所有的函数关系不能以自己的特殊性出现在函数定义中，所以只能以函数具有的共性对应关系加以高度阐述，用字母f表示自变量与函数两者之间的对应法则。这就使得对应法则f具有一般性、抽象性。一般性应寓于特殊性之中，所以任一特殊函数的对应关系既具有f的一般性，又具有自身一些特殊性。理解了这一点，对于对应法则f可用公式、列表、图象、语言描述等多样化的表达形式就比较清楚了。函数关系无论用哪一种来表达，都已使f具体化、形象化、特殊化。在实际问题中，如只用一种特殊表达形式往往达不到最佳目的。为了更深刻、更形象，更全面地认识两个变量间的变化规律，了解函数的性质，一般采用函数关系多种表达形式来研究它本身的特殊性，如函数图象和表达式相结合。通过多样化表达形式的综合应用，来进行相互验证、相互补充一些性质，更好地揭示其特殊函数变化的一般规律。如初等函数的研究，都是先给出函数的解析式，然后列表，从而在直角坐标系内作出相应的图象。这就是运用了公式、列表、图象等多种形式。通过公式、列表、图象的互相验证，补充初等函数的变化规律，使鲜明地展现出来，变得容易理解和掌握。

综上所述，函数的有关概念是培养学生辩证思维能力的极好内容，我们应深刻理解教材含的辩证思维，这对学生的成长和学习变量数学都是很有帮助的。

（作者单位：江西省鄱阳县第一中学）