初中数学最值种种

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1.运用点到直线的距离

例1（2009年陕西）如图1，在锐角三角形ABC中，∠BAC=45°，AB=42，∠BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是.

解延长BM交AC于点H，当BHAC且MNAB时BM+MN最小，此时由题意知∠BAD=∠CAD，AM=AM，∠AHM=∠ANM=90°，

所以AHM≌ANM，

所以MH=MN，BM+MN=BM+MH=BH.

又由AB=42，∠BAC=45°得BH=4，

即BM+MN的最小值为4.

2.运用三点共线或两点间直线段长最小

例2（2011年山东滨州）如图2，等边ABC的边长为6，AD是AC上的中线，M是AD边上的动点，E是AC边上一点.若AE=2，则EM+CM的最小值为.

解在AB上取点F，使AE=AF=2，由对称性有ME=MF，

EM+CM=FM+CM≥CF，

M为AD上的动点，当C、M、F共线时取等号.

作CHAB于H，CH=62-32=27，AF=2，

所以CF=27，故EM+CM的最小值为27.

例3 如图1，已知圆锥底面半径为10 ，母线长为40 .若一只小虫从 点出发绕着圆锥侧面爬行到母线 的中点 ，请求出它所走的最短路程.解：图2为圆锥的侧面展开图，在点 与点 的连线中直线段最短.从点 、点 分别作底边的垂线，垂足分别为 、 ，由 是母线 的中点知

――直线上动点到同侧两点的距离之和最小的模型，其本质也是两点间直线段长最小，考查该模型应用在中考命题中经久不衰.3.运用同圆中所有弦长中直径最长，中点弦长最短等

例3（2013年陕西）如图3，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是弦AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点.若O的半径为7，则GE+FH的最大值是.

解连接OA、OB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=60°，所以AOB为等边三角形.O半径为7，有AB=7.由题意EF=12AB=3.5，当GH为O的直径时，GE+FH取最大值，最大值为14-3.5=10.5.

4.运用一次函数性质

表格式的一次函数应用题考查较多，由于有表格，暗示也明显；无表格的一次函数应用题暗示相对弱些，更有利选拔.

例4（2011年石家庄）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多年不遇的旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少1台）及每台发电机配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩.（1）设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台.①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量；②求出y与x的函数关系式.（2）已知甲、乙、丙三种柴油发电机每台每小时的费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？

5.运用二次函数最值

二次函数最值是中考考点，或以二次函数为主体的考查，或以文字的有实际应用为主体的应用考查，或以几何为主体的应用考查.以几何为主体的二次函数考查常因几何的迁移忘记二次函数及最值的应用.

例5（2010年黄冈）将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图4），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是cm.

解由圆锥底面周长是半圆的弧长可得圆锥底面直径AC=4 cm，作圆锥的高ON，由OA=OC=4 cm，可得ON=23 cm.

具体分析，有不可预测性，要依据曲线的个体特征去发现.例8（2013江西）直线 与双曲线 交于 ， 两点，则当线段 的长度取最小时， 的值为（ ） 0 1 2 5画出双曲线，就不难发现当直线过坐标原点时线段 的长度取最小，答案为 .