关于幂级数求和的探讨

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【摘要】幂级数求和是无穷级数这一章的重点和难点.本文结合教材中的错例分析了学生的错误及错误原因，并对幂级数求和问题进行了探讨，给出了解决方法.

【关键词】幂级数；和函数；收敛域

【基金项目】第二炮兵工程学院精品课程建设资助项目

幂级数是高等数学课程中非常重要的知识点，而其中有关幂级数求和问题是这部分内容的重点和难点.本文从一个错例（《高等数学》（同济大学第五版））入手，分析了学生的错误及错误原因，然后结合该例探讨幂级数求和的相关问题.

例1 求幂级数∑∞[]n=0xn[]n+1的和函数（原书例6）.

解 先求收敛域.由limn∞an+1[]an=limn∞n+1[]n+2=1得收敛半径R=1.

在端点x=-1处，幂级数成为∑∞[]n=0（-1）n[]n+1，是收敛的交错级数；

在端点x=1处，幂级数成为∑∞[]n=01[]n+1，是发散的.因此收敛域为I=[-1，1].

设和函数为s（x），即

s（x）=∑∞[]n=0xn[]n+1，x∈[-1，1）.（1）

于是

xs（x）=∑∞[]n=0xn+1[]n+1.（2）

利用性质3，逐项求导，并由

1[]1-x=1+x+x2+…+xn+…，（-1

得

[xs（x）]′=∑∞[]n=0xn+1[]n+1=∑∞[]n=0xn=1[]1-x，（|x|

对上式从0到x积分，得

xs（x）=∫x01[]1-xdx=-ln（1-x），（-1≤x≤1）.（5）

于是，当x≠0时，有s（x）=-1[]xln（1-x），

而s（0）可由s（0）=a0=1得出，

故

s（x）=-1[]xln（1-x），x∈[-1，0）∪（0，1），

1，x=0.（6）

一、错误及原因分析

1.忽略幂级数的起始项

例如在求解幂级数∑∞[]n=1xn的和函数时，有学生就很容易将其和函数写为s（x）=1[]1-x，而事实上其和应该为s（x）=x[]1-x.该错误产生的原因在于学生忽略了幂级数的起始项，习惯性的把第一项默认为1.

2.忽略和函数的定义域

产生该错误的原因，主要是学生对和函数的概念理解不透彻.无穷多项求和其和并不总是存在的，即不总是收敛的，所以在求和函数时，首先要判断在哪些点处和是存在的，这些点的集合就是和函数的定义域，即幂级数的收敛域.

3.错误地给出和函数的定义域，即幂级数的收敛域

该错误的产生主要源于利用和函数的分析性质求解和函数时，忽略了收敛域的变化.上述例子中的（5）式就出现了这方面的错误.

4.忽略了收敛域中的特殊点

在上述例子式中，利用（5）求s（x）时，需要在等式两边同时除以x.此时，当x≠0时，才有s（x）=-1[]xln（1-x），因此，对x=0还要单独求解s（0）.

二、求幂级数和函数时应注意的问题及应对措施

1.标注和函数的定义域

和函数的定义域不同于一般函数的定义域，其定义域事实上为与和函数相对应的幂级数的收敛域，因此在和函数表达式之后应正确标注x的取值范围，即和函数的定义域.为避免在这里出现错误，在求解和函数时，应首先求出所求幂级数的收敛域.严格按照先求收敛域再求和函数的步骤求解能很好地解决这一问题（参看教材[1]中例6）.

2.注意收敛域与级数的匹配

利用和函数的分析性质求解和函数是解决幂级数求和的重要方法，尤其是教材[1]中的性质2和性质3，简称为逐项求积和逐项求导.但这两条性质都只说明变化后的级数其收敛半径不发生变化，未对收敛域的情况进行详细说明.事实上，逐项积分后所得幂级数的收敛域有可能扩大，即有可能把收敛区间的端点包含进来；逐项求导后所得幂级数的收敛域有可能缩小，即有可能把收敛域的端点去掉.应对这一问题，只需要在利用逐项求导和逐项求积时，对端点处的收敛性重新判断即可.

3.注意等式变化过程中x的取值问题

比如在（5）式中，求解s（x）时，需要在等式两边同时除以x.此时x不能取零，但x=0又是收敛域中的点，因此需单独求解s（0）.对这一问题，需要在等式变化过程中，关注x的取值变化.对收敛域中不能取到的点x0，应单独求解s（x0）.可用以下两种方法，方法一：求解x=x0时对应的常数项级数的和.方法二：利用和函数的连续性求解x=x0时对应的常数项级数的和.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002：214.

[2]华东师范大学数学系主编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001：47.