一道经典例题的多种证法与变式推广

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在给学生上选修《不等式选讲》内容时，一道课本上的例题引起了我深层次的思考。它不但有多种证明方法，而且在方法背后有着更加丰富的数学思想。下面，对这道题给出五种不同证法，并作一些变式与推广，以期抛砖引玉。

一、题目

二、证法探析

分析：问题中有a+b=1这个条件，由于常数1的特殊性，用a+b去乘任何数或式子都不会改变它们的值，根据证明的需要可以应用这个条件。注意到+=（a+b）（+），而有了（a+b）（+），就可以使用柯西不等式了。对于会用柯西不等式这种方法来说，整体感觉流畅、自然，因为只要构造出（a2+b2）（c2+d2）这种模式就行。当然如果不知道柯西不等式，可考虑用下面的证法。

评析：也正是有a+b=1@个条件，所以有+=（a+b）（+），然后将式子展开得到2++，最后使用不等式的性质即可。这种方法有点技巧，关键是懂得将原式+乘上a+b这个式子。这当中有重要不等式x+的影子，里面包含了化归思想。可见在用综合法证明不等式时，很多题目都可以转化成ax+这种类型。

分析：这种方法绝大多数学生能考虑到，因为直接使用基本不等式证明对于他们来说比较熟悉。如果这道题是选择题或填空题，则无需通分，马上就有+≥2获得答案。这种方法很朴素也很容易接受，但是很多时候学生在使用基本不等式时对取“等号”这个条件给忽略了。比如把题目改为：

已知a，b∈R+，a+b=1，求+的最小值。

如果这题还是用上述方法，则求得最小值为2。但是我们知道这明显是错的，因为最小值的“等号”取不到。正确的方法则可考虑用上述证法2来求得最小值为+。

分析：这种证法利用a+b=1，巧妙地进行三角换元，不仅达到了与三角知识的交汇，而且还渗透了不等式证明中的“减元思想”。从二元到一元的这种转化，使得不等式的证明更加游刃有余，因为仔细分析本道题，发现其实也是相当于求+的最小值。而求一个式子或函数的最值问题，学生往往对一元的这种类型比较擅长。所以更深层次地说，这种方法中包含着更加朴素的“代数思想”。以下的证法5足以说明这点。

分析：这次是通过代换把所要证的因式变成一个未知数，然后通分，最后使用均值不等式得到答案。再一次体现了“转化与化归思想”。正因为有了这种相等与不等之间的转化，所以很多不等式的证明最终都转化成我们比较熟悉的均值不等式、基本不等式和常用不等式等进行操作。

三、欣赏理由

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有普遍应用的意义。这道不等式不仅入口较宽，证法多样，证明表达简洁准确；并且证明的方法背后包含着深刻的数学思想，这些数学思想是非常宝贵的。比如，这五种方法都有“转化与化归”思想，由已知的等式到求证的不等式都实现了及时的转化。而代数思想与换元思想从不同侧面体现了数学思想对寻求解题思路的作用，对于拓宽思路、发展智力、培养能力有重大意义。