高中生发散性数学思维品质培养的探索

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇高中生发散性数学思维品质培养的探索范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘要】数学与思维有密切的关系，数学课程既是数学思维活动的过程，也是数学思维活动的结果。培养学生良好的数学思维品质，提高高中生的数学素养是当前数学教师应当重视和关注的问题。文中探讨培养学生的发散性数学思维品质的有效方法。

【关键词】高中数学 思维 思维品质 发散性数学思维品质 方法 多维度

【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）06B-0106-02

数学是高中生的一门重要课程，同时数学也是锻炼思维的“体操”，数学与思维有密切的关系，数学课程既是数学思维活动的过程，也是数学思维活动的结果。然而，现在相当多的高中生的数学素养却不尽人意。其中原因之一是广西的高中数学才进入课改不久，而小学、初中从2002年已经全面进入课改，快十年了，这种现象也造成了高初中知识严重脱节，使得刚上高中的学生很难适应高中的学习。这种高初中之间的“磨合期”越长，对学生的学习积极性打击就越大；“磨合期”越短，对学生的发展就越有利。也因这种“磨合期”太长，使得有的学生甚至放弃了数学的学习，放弃了高考。因此，培养学生良好的数学思维品质，提高高中生的数学素养是当前数学教师应当重视和关注的问题。

一、发散性数学思维品质的内涵

思维的发生和发展，既服从于一般的普遍的规律性，又表现出个性差异。这种个性差异在个体思维活动中的智力特征方面就是思维的品质，而数学思维品质则反映了个体间数学思维发展水平的差异。它是衡量数学思维优劣，判断数学能力高低的主要指标。发散性数学思维品质是重要的数学思维品质之一。

数学思维的发散性，也叫数学思维的广阔性，是指思路较为广阔，善于全面地看问题，不但能够抓住所研究的问题的本质属性，而且还能关注且抓住和它有关的细节问题，多维发散思考问题，找到解决问题的方法的思维品质，也称为“立体思维”。

二、数学发散性思维的特点

数学发散性思维具有流畅性、变通性、独特性和多感官性等特点。流畅性指思维者在尽可能短的时间内生成并表达出尽可能多的数学思维观点以及较快地适应、消化新的数学概念和数学思想方法。流畅性反映的是数学发散性思维的速度和数量特征，与数学机智密不可分。变通性就是指思维者根据客观的或已知条件的变化及时地改变和调整固有的思维框架，按照某一新的方向来思索数学问题的过程。变通性则经常借助类比和比较、命题转换、触类旁通等手段，使数学发散性思维沿着不同的方向扩散，呈现出其丰富的多样性和多面性。独特性指思维者在思维过程中做出新颖的异于他人的奇特反应的能力。独特性是数学发散性思维的最高目标。多感官性是指思维者不仅运用视觉思维和听觉思维，而且也充分利用其他感官接收信息并进行加工，捕捉瞬间灵感。这就要求教师在研究教材和资料上也要多维度、多角度地更深层地挖掘和思考问题，提出适当的问题，引导学生在把握数学问题的基本特征的同时也不要忽略数学问题特殊的因素和重要的细节，以自己以往的知识和经验，放开思路进行思考，解决问题，以达到培养和锻炼学生的数学思维的发散性的目的。其实它也同时锻炼了教师的发散性数学思维品质。

三、培养发散性数学思维品质的方法

在数学的教学过程中，教师可以借助以下的方法去培养学生的发散性数学思维品质。

（一）素材发散法，即以某个素材为发散点，联想与它有关的其他素材，寻找其中的内在关系，发挥它们的用途，达到解决问题的目的。

案例一：在高三的专题复习中，我们可以给学生提出这样一个问题：“1”有什么妙用？此时，我们可以给学生分组自由讨论的时间，让他们自己归纳总结，最后教师可以将学生的讨论结果，按用途分为几类：

1.作为中介用于比较法中，例如比较log21.67，log0.350.27的大小，可以由对数的单调性得 log21.67log0.350.35=1 ，因此得log21.67

2.依据“互为倒数的两个数的积等于 1”用于其他常用的式子或证明中，例如，a・a-1=1，logab・logba=1，tanα・cotα=1，sin α・cseα=1，cse α・sec α=1，等；

3.作为公式中的固定值或性质用于恒等变换中，如，sin2α+cos2α=1，sec2α-tan2α=1，csc2α-cot2α=1，a0=1，logaa=1，，，等；

4.在概率中，两个对立事件有一个发生的概率为；

5.在正态分布中，正态分布曲线与 x轴所围成的面积为1；

6.一些特殊的值：sin90°=1，cos0°=1，tan45°=cot45°=1等。

也可以按知识的类别来分，通过这样的分类发散，再组合，使学生熟悉掌握“1”的特性和“1”的变式，在解题的过程中可以进行广泛地联想和发挥，可使解题过程简洁化，能顺利解决问题。

（二）结构发散法，即以题设或结论的结构为发散点，设想出利用该结构的各种可能性，以达到最佳的解题效果。

案例二：已知x1，x2，y1，y2，均为实数，证明

①

从本题的结论的结构看，很多学生比较容易想到去根号、作差法证明不等式等方法，但是这些方法的计算过程非常繁锁，而且容易出错。在课堂上如果我们能够引导学生对题目中的数学关系及结构特征进行细致地观察和分析研究，摆脱过去的经验的束缚，拓宽思路，就会发现：（Ⅰ）它与坐标平面上两点间距离公式的结构极为相似；（Ⅱ）它与向量的模及其性质的结构相似。因此得到两种解法：

解法一：由（Ⅰ）联想，不妨设点A（x1，y1），B（x2，y2），O（0，0）

（1）当点O在线段 AB上时，有；

（2）当点O在有向线段AB或BA的延长线上时，则有；

（3）当点O不在直线 AB上时，点A（x1，y1），B（x2，y2），O（0，0）构成ABO，由三角形性质得，综上所述，不等式①成立。

解法二：由（Ⅱ）联想，不妨设向量，，则=，=，=

由向量的性质同样得到，所以不等式①成立。

对于这两种证明既简洁明了，又复习了向量和点线的位置关系，而且避免了复杂的计算，具有独到之处。对拓展学生思路，活跃学生思维大有益处。

（三）功能发散法，即从某已知条件的功能出发，设想出获得该功能的各种可能性，依据此功能解决问题。

案例三：对于圆锥曲线的统一定义“曲线上任一点到定点的距离和到定直线的距离的比等于一个常数，即离心率”。它的功能就是将几何中的距离问题转化为与离心率有关的计算，通过代数解决几何问题。

例如，已知椭圆中，A（-1，-1）是椭圆内一点，P为椭圆上任意一点，F为椭圆的右焦点，求的最小值。

分析：对于此问题，如果没有想到椭圆的第二定义，即圆锥曲线的统一定义，是非常难以解决的，所以它起到了“一两拨千斤”的作用。

有学生会问，为什么会想到用椭圆的第二定义？因此，我们在解析这道题时，应该引导学生观察，椭圆的标准方程已经给出，可求出离心率，恰好是的系数，而是椭圆上的点与焦点的距离，有离心率，也有椭圆上的点与焦点的距离，那自然与椭圆的第二定义扯上关系。

解法：由椭圆的第二定义得，则

则将求（）的最小值转化为求（）的最小值，当A，P，D共线且为右准线的过点A的垂线段时，（）为最小值。因此（）的最小值为。

若将椭圆改为双曲线、抛物线，仍然可以运用这个统一定义解决与离心率有关的距离计算问题。学生通过这样的练习，不但可以加深对知识的理解，而且还可以唤起大脑中所熟悉的与新问题相关联、相类似的模式，进行新旧知识的迁移，达到解决问题的目的。

除此，还有演绎发散、假设发散、方法发散、组合发散等多种发散思维的方法，不管哪一种方法，最终的目标都是为了加强对学生思维的训练，以达到培养学生的良好的发散性数学思维品质，为培养学生的创造性思维打下良好的应用基础。

四、避免思维的狭隘性

思维的发散性的反面是思维的狭隘性，具体表现为学生在思考问题时较为呆板，按照一种思路做到底，做不出也不懂换方法，走入了死胡同也不知回头。思维处于一种封闭状态，跳不出条条框框，得不到主动发展。这势必会造成学生的片面和狭隘的思维方法，对培养学生的思维能力带来极大的消极作用。

案例四：已知函数f（x）在区间[-1，1]上是奇函数，且单调递增，求不等式的解。

很多学生在解此题时只想到运用奇偶性和单调性解得-1

已知函数f（x）在区间[-1，1]上是偶函数，且在[0，1]上单调递增，求不等式的解。

这道题的条件改变了，还隐含另一个隐性条件：由于，所以有，若，则。利用这个条件，可以避免分类讨论的不完整，使解答更精炼。

通过这种变换和转化，从不同的维度扩大学生的视野，多角度开拓学生的思维，克服思维定势的消极作用，使所学的方法可得到广泛的应用，提高学生的思维能力。

我们在教学过程中，应尽量引导学生多角度观察和思考问题，象淘宝一样去淘出寻求解决问题的方法。同时也要求教师不仅要加强自己的专业素养，而且也要加强其他综合学科的学习，加强对教学过程的调控能力的培养，拓展自己的知识面，做到多才多艺，为培养学生的数学思维品质提供优越条件。

【参考文献】

[1]朱水根，王延文.中学数学教学导论[M].北京：教育科学出版社，1998.10

【作者简介】姚明强（1977.11―），男，本科，中教一级，毕业于广西师范大学数计学院，现就职于玉林高级中学。

（责编 卢建龙）