关于傅立叶及其相关变化的学习

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摘要：傅立叶及其相关变化使用广泛，形式多样，在学习过程中不仅需要一定的数学基础，还需要方法和技巧以达到事半功倍的效果。探讨了学习傅立叶及其相关变化的主要内容和学习的步骤和方法。

关键词：傅立叶变化；拉普拉斯变化；Z变化

傅立叶变化和以它为基础的多种变化（包括拉普拉斯变化、Z

变化、小波变化等），广泛应用于信号处理、通信、机械振动、力学、自动化控制、图形处理等很多领域。这部分内容既是重点又是难

点，难就难在它不仅要求有好的数学基础，还要求我们从另一个角度来看待和思维自然界的一些现象。我们在教学和学习过程中，要充分利用形象的比喻、类比以及总结来理解和教授，以达到理想的效果。下面从几个方面对傅立叶及其相关变化进行学结。

一、傅立叶变化的主要目的是它实现了函数或信号从时域到

频域的转换

这使我们能从频域的角度来认识和重构原始信号，它将符合狄利克雷条件的函数或信号转换为无穷多个三角函数的线性组合，无穷多个三角函数的线性叠加组合又能还原为原始的函数或

信号。这样转换后，使我们在时域中很难发现的某些信息，在频率中就容易发现了。这可以看作是我们认识事物的两个不同角度，时间的角度、频域的角度。在生活中，我们对待事物，很自然从时间的角度理解和使用，现在需要以理性的思维从频域的角度来认

识同一事物。它们是研究同一事物的不同方法。

二、傅立叶变化学习的进阶过程

三、使用Matlab增强理解和教学效果

Matlab大量应用于数学、工程方面的计算和仿真，使用Matlab来实现傅立叶变化，方便快捷，能给我们直观的感性认识。

Matlab函数fft、fft2和fftn分别可以实现一维、二维和N维 DFT算法，而函数ifft、ifft2和ifftn则用来计算反DFT。这些函数的调用格式如下：A＝fft（X，N，DIM）。

四、几种变化的相互关系及其对比

傅立叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如，时域内绝对可积的信号才可能存在傅立叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这一概念。在自然界，指数信号exp（-x）是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。傅立叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为exp（0）。拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上转换到复频域（s域）上来表示。z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的laplace变换，离散时间信号傅立叶变换是Z变换的一种特例。

五、傅立叶及其相关变化在多领域中的应用举例

傅立叶变换广泛应用在各个学科，这里举例说明在计算机图像处理中的应用，主要表现在以下几个方面：a.图像增强与图像去噪：绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声。边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘。b.图像分割之边缘检测，提取图像高频分

量。c.图像特征提取：包括形状特征用傅立叶描述，纹理特征：直接通过傅立叶系数来计算纹理特征；其他特征：将提取的特征值进行傅立叶变换来使特征平移、伸缩、旋转。d.图像压缩:可以直接通过傅立叶系数来压缩数据。常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换。

傅立叶及其相关变化是几乎所有工科都要学习的基础，需要

反复训练和理会，借助于计算机数学工具能更好地理解和掌握。

（作者单位 四川乐山职业技术学院）