利用改进的最短路径模型解决输油管的布置问题

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摘要：2010年去过数学建模大赛C题“输油管的布置”数学建模的目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普遍的最短路径问题，该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等等。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，基于光的传播原理，设计了一种改进的最短路径模型，对问题设计了合适的数学模型并做出了相应的解答和处理。

关键词：改进的最短路径；光的传播；Matlab；数学模型

中图分类号：TP399 文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 12-0000-01

To Solve Pipeline Layout Problem with the Improved Shortest Path Model

Yu Miao

(Chongqing Three Gorges Polytechnic College,Chongqing404155,China)

Abstract:Mathematical Modeling Contest in 2010 been to C title"pipeline layout,"The purpose of mathematical modeling is to design the most optimal route to establish a pipeline of least cost route,but unlike the general shortest path problem,the problem needs consider a variety of situations,for example,the cost of different urban and suburban areas,the use of shared pipeline and the price of different non-public lines and so on.On the basis of the shortest path model for the actual subject of research and analysis,based on the principle of light transmission,an improved design of the shortest path model,the appropriate design of the problem and make the corresponding mathematical model answers and treatment.

Keywords:Improved shortest path;Light transmission;Mathematical model

一、问题重述

针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。

设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。城区拆迁费每千米20万元请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。

二、模型假设

管道均以直线段铺设，不考虑地形影响；

不考虑管道的接头处费用；

不考虑施工之中的意外情况，所有工作均可顺利进行；

共用管线的价格如果和非公用管线不一致，则共用管线价格大于任意一条非公用管线价格，小于两条非公用管线价格之和。

三、问题分析

问题一：要考虑有和没有共用管线，还要考虑共用管线与非共用管线费用相同和不同两种情况。同时还要考虑两个工厂是否在铁路的同一侧，如果两个工厂在铁路的同一侧那么一定没有共用管线。不在铁路的同一侧那么就要考虑有和没有共用管线这个问题。计算共用管线的长度时，用光学原理，把一个工厂当作光源发射一束光经过一个平面的反射通过另一个工厂，这样能够保证路线最短。这个平面与铁路的距离即为共用管线的长度。同时与这个平面的交点就是两厂的管线的交点。当共用管线与非共用管线费用不相同时可以通过建立方程组来解答。

当共用管线与非共用管线费用不相同时要建立方程组来计算其最小费用从而来确定方案的可行性，共用管线与非共用管线长度作为变量来控制总费用，那么我们就可以列出一个方程组，从而在变量的约束条件下可以确定最小费用。

问题二：把这个问题分两部分来考虑，即市区和郊区分两个部分，火车站建立在郊区费用要小得多，郊区共用管线与非共用管线的费用相同所以可以用最短路径的方法来考虑，同时又要求费用最小，可以解出最低费用及对应的铺设线路。

四、模型求解

对于问题2，因为在城区和郊区铁路管线的费用相同，但城区要增加拆迁和工程补偿等费用，因此城区和郊区要分为两部分来考虑。假设共用管线在郊区把该模型看作是一束光从B点发射在分界处G点发生了折射，把左边的问题看作是最短路径问题，如图所示：

设共用管线的长度为h1，G点到O2B的距离为h2。在区域Ⅱ中即BG段每千米的费用为：20+7.2=27.2万元。由以上分析数据可得如下关系式：

总费用：W1（最小）=

参数 的取值范围： （式2）

参数 的取值范围： （式3）

利用VisualC和Matlab求解得到

W1最小为275.13404万元

参考文献：

[1]赵静,但琦.数学建模与数学实验[M].高等教育出版社,2008,1(3):22-29,178-194

[2]邬学军,周凯.数学建模竞赛辅导教程[M].浙江大学出版社,2009,1:73-96

附录:

C语言源代码

#include

#include

void main（）

{

double h1，h2，w；

double a，b；

double min = 10000；

for（h1=0；h1

for（h2=0；h2

{

if（h1+h2>8）

continue；

w=27.2*sqrt（25+h2*h2）+（sqrt（（5-h1+8-h1-h2）*（5-h1+8-h1-h2）+225）+h1）*7.2；

if（min>w）

{ min=w；

a=h1；

b=h2；

}

}

printf（"%f \n"，min）；

printf（"%f%f \n"，a，b）；