浅谈EPR佯谬与Bell定理及验证实验

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摘要：本文回顾了epr佯谬与定域隐变量理论，对bell不等式进行了概述，然后简要介绍Bell定理的验证实验。迄今实验的结果大都支持量子力学的相关理论，但是仍未能揭示出量子力学空间非定域性的本质，也未能表明隐变量是否存在。

关键词：EPR佯谬，隐变量理论，量子纠缠，Bell定理，非定域性

引言

1935年 Einstein、Podolsky和Rosen三人合作，发表了一篇的论文[1]。文中，EPR三人以假想实验的形式来论证量子力学的不完备，通常将他们三人的论证称为“EPR佯谬”。

J.Bell认为在EPR佯谬中对相互远离的两个粒子的第一个粒子的某种性质进行测量后，便能预先决定对第二个粒子的同一性质的测量结果，这表明双粒子系统中存在一定的关联性，并且可能用隐变量来加以说明。1965年，贝尔（J.Bell）在此基础上推导出一个不等式，被称Bell不等式[2]，并证明该式与量子力学理论的描述是不符合的。

20世纪60年代至今，对于Bell不等式的实验验证有很多，其中以1982年巴黎大学的Aspect小组的相关实验尤为著名[3]，其一系列光学实验均同量子力学的预言符合得很好而违反Bell不等式。

本文将较为详细地介绍EPR佯谬、Bell定理与Bell不等式，并简要介绍Bell定理的相关验证实验。

1.EPR佯谬与隐变量理论

爱因斯坦等人提出了三个条件，以此作为思想实验的前提[1]。（1）理论完备的必要条件：当且仅当物理实在的每个要素都能够在该物理理论中找到对应的部分；（2）物理实在要素：若是对一个系统没有任何干扰，任何可观测的物理量都有对应的物理实在要素；（3）定域因果性：若两次测量之间的是类空间隔，这两个事件之间不应当存在因果性的关联，即不存在超越光速的现象出现[1，4]。可以看出，爱因斯坦等人所写的这篇文章是从符合因果律的相对论出发的。

EPR的理想实验简单说来可以由一个一维两粒子系统组成，两个粒子分别为粒子1、粒子2，假设这一对粒子系统的初态总动量为 ，两个粒子的出发点为原点，那么在两个粒子发生相互作用并分开后，相距足够远，以至于它们之间没有相互作用。按照动量守恒定律，必定有 。当用探测器测量了粒子l，得到结果 以后，那么粒子2必将处在 的状态上。当用另一个探测器测量粒子1的位置矢量时，得到 ，易知粒子2的位置矢量 。第一次测量后， 可以对应一个实在性元素，第二种测量后， 也对应一个实在性元素，两次测量的实在性元素都存在，不会依赖于测量过程和测量结果。爱因斯坦等人认为，由于量子力学理论的不确定关系，对 和 、 和 均不能同时进行精确的测量，则在测量 的同时， 也不能精确测量了，而 和 不能同时确定，也就不可能具有和它们相对应的两个独立的实在元素，只能有一个物理实在的元素。

因此，爱因斯坦得出以下二选其一的结论：（1）存在着即时的超光速现象或者说超距作用，即非定域；（2） 和 有精确值，但是量子力学理论不完备。爱因斯坦认为量子力学必定也服从定域性原则，故量子力学理论不是一个完备的理论。

2.Bell定理与Bell不等式

1953年玻姆（D・Bohm）从量子力学是不完备的前提出发，进一步借用隐变量理论想让它能再现量子理论的结果。1965年J・Bell基于爱因斯坦的定域实在论和D・Bohm的定域隐变量模型，提出了著名的Bell不等式[2]，并得出了如下结论：任何满足定域实在论和隐变量的理论都应该遵循这个不等式，从而证明量子力学是不完备的理论。Bell不等式的贡献是将量子理论和定域实在论的争论提供了通过物理实验去检验的方法。

假设一个由两个自旋为1/2的粒子A和B所组成有两个粒子的体系总自旋为零， ， 是空间沿任意两个方向的单位矢量，测量粒子A沿 方向的自旋分量为A（ ），测量粒子B沿 方向的自旋分量为B（ ）。定义自旋关联函数E（ ， ）：

（1）

可以较为容易地证明：

（2）

其中 是空间另一方向的单位矢量，（2）式就是Bell不等式。

Bell接着证明当 三个单位矢量共面，且从 、 分别相差 时，（2）式将会得出 的结论，显然是矛盾的，由此证明了爱因斯坦等人的定域性前提同量子力学结论的矛盾是普遍存在的。在另外一篇文章中，J.Bell提出了Bell定理：定域的隐变量理论不能重现量子力学的全部预言。

在提出该不等式之后一段时间里，物理学家们又发掘出了更多的式子，其中有不等式的定理也有非不等式的定理。较为出名的有CHSH不等式、GHZ定理、Hardy定理、Cabello定理等等。CHSH不等式可以说是Bell不等式最为著名的推广，其意义是将Bell不等式验证实验中可能出现的诸如态不存、探测仪器失效等因素避免。CHSH不等式：

（3）

可以证明CHSH不等式与量子力学结果相违背，且CHSH不等式与Bell不等式等效。

3.Bell定理的实验验证

Bell不等式的违背已在多种物理系统的实验观察到，然而所有的实验都还有各种技术缺陷，主要表现在定域性漏洞与探测效率漏洞。近年来，紧张的研究工作一直致力于一个无漏洞实验的设计与实现，在不久的将来应该能够实现。迄今为止，验证Bell定理的实验主要可以分为以下三种类型[7]：1.光子实验方案；2.原子实验方案；3.光子-原子混合实验。

3.1光子实验方案

20世纪60年代量子光学在实验中的巨大进展为量子非定域性实验的验证提供了方法，首先，利用原子级联，创造极化纠缠光子对；然后，使用偏振片和光电倍增管测量单个光子的极化。

法国巴黎大学的Aspect小组在1982年的实验[3]通常被认为是最有说服力的实验，测量了钙原子级联跃迁辐射产生纠缠光子对的线偏振关联，达到从未有过的高精度。

Aspect等人还进行的双通道分析器实验，结果发现与量子力学理论符合很好，而与CHSH不等式有40倍标准差的差距。Zeilinger等人指出，Aspect小组这个实验中尚存在着一个致命的弱点，那就是开关的切换不是随机的，尚不能完全封闭定域性漏洞。1998 年Weihs 实验在Aspect实验的基础上，第一次使用了一种真正的物理的随机数发生器技术。这种随机发生器将使偏振分析的方向的选择真正地是随机的，从而可以克服 Aspect 实验留下的缺憾。实验结果表明，量子力学所允许的非定域关联是真实存在的。

3.2原子实验方案

除了光子之外，Bell实验也可以使用原子系统。原子系统提供了一个从检测角度来看十分重要的优势，检测效率可以接近于1。因此，原子系统很适合进行Bell不等式的验证实验。这种实验方案最早由Rowe等人在2001年实现，实验用到两个在磁阱中 ，两个离子被放在同一个磁阱中，仅隔 。但是这样定域性漏洞还是不能得到解决。

3.3光子-原子混合实验

近几年，违背Bell不等式的光子-原子混合实验也有报道。以一个光子与一个受激发的离子组成纠缠态，另外Josephson相超导量子位也显示出非定域性。

4.总结与评论

爱因斯坦等所提出的EPR论证，在很大程度上对哥本哈根学派的量子理论造成极大冲击。定域实在论与哥本哈根学派量子力学之间的理论分歧根源上是关于对自然不同的理解，也就是是否内禀随机，还是由于我们忽略了某些隐变量。如果是后者，那么定域性理论并没有完全失去存在的可能性。

自发转换的非线性光学过程产生的孪生光子对就是纠缠的EPR粒子对，采用腔量子电动力学方法也已制备出原子纠缠态。利用它们可以验证Bell不等式，但是Bell不等式是否真的可以等效于EPR论证还有人提出异议。Bell理论中只涉及到纠缠非定域性，这一特定类型的空间非定域性[4]。

迄今为止实验结果虽然大多是支持量子理论，仍未能揭示出量子力学空间非定域性的本质，也未能表明隐变量是否存在，要完全EPR论证，恐怕还需要更多更为艰苦的工作。

参考文献：

[1]A・ Einstein， B・Podolsky ，N・Rosen . Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete？ [J]. Phys Rev， 1935， 47： 777-780.

[2]Bell J S.On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox [J].Physics，1964，4（1）：195-290.

[3]A・Aspect，J・Dalibard，G・Roger. Experimental Test of Bell's Inequalities UsingTime- Varying Analyzers[J]. Phys Rev Lett， 1982（49）：1804-1807.

[4]张永德，陈建兰.Bell型空间非定域性研究现状与展望.中国科学技术大学学报， 2007，11：1330-1337