数形结合 第81期

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【内容摘要】 "数（代数）"与"形（几何）"是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的。体现在数学解题中，　包括"以数助形"和"以形助数"两个方面。全面理解数与形的关系，就要从"以数助形"和"以形助数"这两个方面来体会。"数缺形时少直觉，形少数时难入微。""数形结合"就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有着及其重要的地位。

【关键词】　数形结合 以数助形 以形助数

数形结合思想，是中学数学中的一种重要的数学思想。所谓数形结合，是将数学中抽象的数学语言、数量关系与具体直观的图像结合起来，利用抽象思维与形象思维的有机结合，借助形的具体明确来反应数量之间的关系，借助数来具体描述形的本质内涵。用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。数形结合思想既能发挥代数的优势，又可以充分利用图形的直观性，从多个角度探索问题，对思维能力的发展大有稗益。我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗，形象生动的阐述了数形结合的意义。"数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。"可见，数与形二者相辅相成，缺一不可。数的抽象，形的具体，两者珠联璧合，对于数学解题将有出其不意的效果。

一、数形结合思想的地位和重要性

我们知道，几何本身缺乏严密性，而代数本身却又缺乏直观性。只有将二者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。

数与形是数学研究的两类基本对象。"数"是指数与式，"形"是指图形与图像。数形结合的思想可以变抽象思维为形象思维，揭示数学本质的东西。

近几年，各地的中考试卷中，侧重了对数形结合思想方法的考察，所以有必要对此类问题进行一些探讨，为提高教学质量、培养学生养成良好的数学思维方式做出努力。

二、运用数形结合思想感知数学知识的意义

"数学是揭示客观事物数量和形体的本质关系和联系的科学，从认识的角度考虑，'数'与'形'是一事物的两个侧面，它们均非孤立地存在，数形结合正是从这两个方面认识事物的特征，揭示其规律。在解决数学问题时，通过数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的作用，建立起抽象概念和具体形象的联系，可以把数量关系转化为图形的性质问题来研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究"。

初一年级学生，由于数学知识较少，如果仅靠介绍概念，说明意义，学生是不可能很好地领会数形结合这一思想方法的，更谈不上运用。为此，教师必须加以恰当的引导，因教材、就知识点，将数形结合的思想，隐含于问题及其解决过程中，让学生感知、识记、体会，并通过多次实践得到潜移默化的锻炼。然后教师与学生共同概括、归纳、提炼，理清思想脉络，将数形结合思想显化。

如初中数学中的实数，通过在数轴上表示实数，使学生体会到一个实数就是数轴上的一个"点"，无限多的实数都可以用数轴上的点来表示，实数和数轴上的点是一一对应的。实数加法、乘法法则都是结合图形、结合数轴归纳出来的。可见，运用数形结合，将实数向学生介绍说明得直观形象、活灵活现。这就使得实数的意义、实数的运算与学生原有的知识结构紧密的衔接起来，使学生感到新知识的学习轻松自然，并将激发起学生的学习兴趣。数形结合是求解数学问题中的一种常用思维方法，数形结合形象直观，易于接受，因此，教学中必须重视数形结合思想的训练，通过数形结合，把代数关系（数量关系）与几何图形的直观有机地结合起来，有利于提高学生学习数学的兴趣，开拓学生的解题思路、活跃课堂气氛，发展学生的形象思维能力和空间想像能力等。

三、初中数学中数形结合相关知识点的体现

在初中教材中，数的常见表现形式为：实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为：直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等。在直角坐标系下，一次函数对应一条直线，二次函数对应一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容。

特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现。在平面直角坐标系中，二次函数所对应的图像的开口、顶点、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分。事实上，数a决定抛物线的开口方向，b与a一起决定抛物线的对称轴位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置，与a、b一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c的大小变化。

只有牢固掌握这些性质及其相互之间的内在关系，并活学、巧用，才能学好二次函数。

此外，在实数轴上，相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数，而绝对值表示这个数的点与原点的距离。

总之，数形结合思想主要体现在"数"和"形"的互相渗透和转化，不论从"形"到"数"，还是从"数"到"形"的目的都是提供一种灵活的解题思路，不能片面强调某一方面或者为所有问题都绞尽脑汁去几何化、数量化，强调数形结合思想是强调培养学生、训练学生养成由"形"到"数"，由"数"到"形"的解题思想。

"数"和"形"是数学发展的两大支柱，"数"和"形"结合是研究数学的重要方法，在中学数学中数和形就如两栖动物一样既可以结合在一起互相利用，又可分别独立存在，只要我们在教学中重视恰当地渗透数形结合思想训练学生思维，对于提高学生的数学解题能力，培养学生的多向思维能力，开扩学生的解题思路都有独到的好处。

数形结合的思想方法，不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。教学中可以让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的的主动应用。

"数形结合"，为学生轻松、快捷地解题，提供了搭乘的便车。