导在思维“断层”处

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教师的即时引导，不是让学生靠边站，而在于灵活驾驭课堂，当学生思维“断层”时，及时给予耐心的等待、适当的启发引导，帮助他们找到正确的思路，体会数学的思维魅力。下面让我们一同赏析几位特级教师精彩的教学片段。

导在学生思维不全处（华应龙“游戏规则的公平性”）

师：现在我们玩个游戏：抛瓶盖。如果正面朝上，你们赢；如果反面朝上，我赢。大家大胆地猜想一下：谁会赢！

生1：老师赢！

生2：我们赢！

师：观察一下瓶盖，想想踢毽子，你还同意自己刚才的观点吗？

生2：我觉得老师赢的可能性要大些。因为瓶盖的周围有一圈东西，所以它反面朝上落下的可能性要大些。就像毽子一样，毽子正面朝上落下的机会多些。

师：对了，因为瓶盖正反面的设计不一样，所以存在着不公平性。

师：那抛什么就均匀了？

生：硬币。

师：为什么？

生：四周都是圆乎乎的，没有毛边，正、反都是一样的。

生：虽然硬币的刻槽有差别，但完全可以忽略不计，而且硬币直立的可能性很小。

为了提高学生的主动性和探究性，感悟试验材料的同质、匀质影响着规则公平性，华老师从与学生玩游戏开始，激发学生的好奇心，让学生体会到制定一个公平的游戏规则是真实且有意义的。在猜测“抛瓶盖谁会赢”的教学环节中，面对学生不太准确的回答时，华老师不是简单的否定或告知，而是采用类比推理的形式让学生换个角度思考问题，发现抛瓶盖和踢毽子之间的相似点：材料不同质、不匀质。接着学生经历一个真实的科学探究过程，让游戏规则从“不公平”走向“公平”。这种“导在学生思维不全处”的即时引导艺术，教师是真正地以儿童立场的视角走向数学的深层次理解，不仅及时让错误消失在萌芽状态，还有效地让学生在质疑中得到肯定，保护了学生的自信心。

导在学生思维争论处（张齐华“轴对称图形”）

师：信封里准备了5个图形，先大胆地猜猜哪些是轴对称图形，再折一折，比一比，验证下你的猜想。可以吗？

生：可以。

师：下面每个同学选择最有把握的图形，说说它是不是轴对称图形，再简要说说你是怎么想的。

生：我认为平行四边形是轴对称图形。因为只要右边的三角形剪下来，拼在左边的三角形下面，它就成了一个长方形。变成长方形之后，它左右两边就相同了，它就叫轴对称图形。

师：挺有道理。哪位同学有不同意见？

生：因为对折之后两边的图形没有完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形。

师：我想跟你握一下手。握手不是表示赞同你的观点，而是你给我们课堂创造了两种不同的声音。

师：两种观点，怎么办？（学生举手，教师了解情况）认为是的同学亮出你的观点，认为不是的再次亮出你的观点。你认为它不是，理由是什么？

生1：我把这个平行四边形对折后，它没有完全重合，所以它不是轴对称图形。

生2：我认为平行四边形和长方形只是面积相同，而不是轴对称图形。

师：你的意思是把它剪成长方形后只是面积相等，但是图形的一些性质可能发生变化，是这样吗？

生：剪切后它不再是平行四边形而是长方形，所以我认为平行四边形不是轴对称图形。

师：你的发言中有闪光的地方，也有一些小问题。先说你的问题好吗？平行四边形割成长方形后，长方形还是平行四边形，但是你的发言当中可贵的一点是：你的意思是我们探讨的是这个平行四边形的特征，而不是改装以后的其他图形的特性，是这意思吗？

师：如果我们就认为是指定的这个平行四边形，你还认为它是轴对称图形吗？

生：如果单讲这个平行四边形的话，不能裁剪了，就不是轴对称图形。

师：你们同意吗？

生：同意。

师：你的退让，让我们又进一步接近了真理，谢谢！我发现正反两方的同学其实都有非常好的观点，但是当我们把目光聚焦在这个平行四边形上的时候，请问这个平行四边形是不是轴对称图形？

生：不是。

…………

学生由于受年龄、生活经验、知识水平及表达能力等多方面的限制，他们看问题的视角或许不够清晰、没有条理，或许是片面、不够规范。在猜平行四边形是不是轴对称图形这个环节中，学生出现了两种观点：一种认为把平行四边形拼剪成长方形后，是轴对称图形；另一种认为平行四边形对折后没有完全重合，不是轴对称图形。此时张老师机智地组织双方展开辩论，采用“你的意思是不是……”来修正学生的儿童化语言，又启发性地把问题根源聚焦到“这个平行四边形”，学生就很容易发现自己错误是转移思考对象了，再思考改装后长方形的特征。这种“导在学生思维争论处”的即时引导艺术，学生在教师“无痕”的引导下经历自悟自得，自己去捕捉知识的重点，既使知识得到强化落实，又培养了学生的倾听能力和思辨能力。

导在学生思维困惑处（许卫兵“鸡兔同笼”）

（师出示：今有鸡兔同笼，上有8头，下有22足。问：鸡有几只？兔有几只？）

生：鸡有2条腿，兔有4条腿，我假设让鸡抬起1条腿，让兔抬起2条腿，那么就只剩下11条腿在地上。而兔还剩2条腿在地上，它的总腿数比总头数多出的个数就是兔的只数，那么有11-8=3只兔，推算出5只鸡。

师：听明白了吗？没明白，先把算式记下来。（板书：兔22÷2-8=3只，鸡8-3=5只）

师：这种方法很简单，先放在这里。刚才两位同学都是把两种动物假设成一种，这是这种解题方法的核心。

…………

师：大家想想古人会怎么做呢？我们来看看（出示：腿数÷2-头数=兔数；头数-兔数=鸡数）这位同学的想法回到古人时候了，刚才他解释时大家没听清楚，一会儿你抬腿，一会儿他抬腿，有人能解释清楚吗？

生：他的意思是鸡抬起1条腿，鸡还剩1条腿，鸡的腿数和只数是相等的；兔抬起2条腿，那么兔的只数是腿数的 。腿数总共加起来要比它的头数多几个，就有几只兔。

师：听明白了吗？没明白。看来这个方法很简单，但是不容易听懂。数学家给我们带来了解释，有一位叫波利亚的数学家讲了个童话故事：有一天草地上兔和鸡正在玩耍，鸡突发奇想，说：“我会金鸡独立。”兔说：“我会兔子作揖呢！”兔也抬起2条腿，你们想想草地上的头数变了吗？（没有）腿数呢？（变了）怎么变了？

生：每只鸡少了1条腿，每只兔少了2条腿。

师：也就是站在地上的腿变成了原来的？

生： 。

师：除以2就是站在地上的腿变成原来的一半。再比比站在地上的腿数和头数，它比头数还多吧，为什么？

生：兔2只腿站在地上。

师：我们来看看多在哪里？每只兔多出了1条腿，所以腿比头还多。那么每多1条腿就多1只兔子，再把头数减去，剩下的就是多了的兔子。明白了吗？（大部分学生点点头）

师：大家觉得古人的方法怎么样？

生：很简单但难理解。

“鸡兔同笼”问题是一个古老的数学问题，也是许多教师研究的问题之一，因为涉及鸡兔头数和脚数，学生难以理解复杂的数量关系；解决这类模型问题的方法灵活多变，但有的方法具有一定的局限性。许老师的课堂紧紧围绕鸡兔同笼情境，引导学生思考“鸡兔同笼”的独特魅力，在问题、方法、模型、应用中完善“鸡兔同笼”数学问题。当有位同学呈现“金鸡独立、兔子站起”的解法时，大部分学生都不能理解，许老师把这种解法先“放一放”，等时机成熟了再引出古人的做法，借助数学家波利亚的童话故事和课件动画演示，慢慢地帮助学生理解算式背后的原理。这种“导在学生思维困惑处”的即时引导艺术，先让问题提前渗透，再在合适的时机深入探究，此时学生收获的不仅是知识、方法，还有思维方式上的提升，从而提高了学生解决问题的能力。

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