浅谈牛顿积分与黎曼积分之异同
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【摘要】我们称被积函数是连续函数的这一类积分为牛顿积分,它可分为牛顿不定积分和牛顿定积分,而被积函数是有界函数的积分称为黎曼定积分。不是每个牛顿不定积分都可进行黎曼定积分,不是每个黎曼定积分都存在牛顿不定积分,并不是每一个有界函数都能求黎曼定积分,只有连续函数在闭区间上的黎曼定积分、牛顿定积分与不定积分才都存在。
【关键词】牛顿 不定积分 黎曼 定积分 异同
【中图分类号】F230 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)09(a)-0218-02
【Abstract】 Newton Integral, which can be devided into the Indefinite integral and the definite integral, is used for continuous function, while Riemann Integral is used for the limited function. Therefore, it is not every Newton indefinite integral that can carry on Riemann Intergral, and not every Riemann Integral has Newton Indefinite Integral. Riemann Integral can not be used in every limited function to get its definite integral. Only the continuous functions in their closing area have both Newton Integral and Riemann Integral.
【Key words】Newtonthe indefinite integralRiemannthe definite integralsimilarities and differences
1 不定积分和定积分的联系
我们知道,不定积分和定积分是两个不同的概念,但是,它们却有着密切的联系。
(1)不定积分是所有原函数的一种统称,记为(1―1)
其中F(x)为被积函数f(x)的一个原函数,若;“”为不定积分的运算符号,他是将Summa的字头S拉长后的变形,意寓全体原函数的“和”,是莱布尼兹(Leibnizi:1646―1716)1675年10月29日首先采用的。由于牛顿(Newton:1642―1727)从运动学的角度诠释了不定积分与原函数的关系,因此又称不定积分为牛顿不定积分。
(2)由变上限积分函数的求导定理:
知,变上限积分函数
(1-2)
是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数,且(1―2)式中的与(1―1)式中的F(x)仅仅相差任意常数C。因此,不定积分又可表示为:
(1-3)
由此可见,不定积分与变上限定积分之间的关系是:不定积分等于变上限定积分加上任意常数。
(3)是由牛顿―莱布尼兹最先提出的,之后由黎曼(Riemann:1826―1866)
将其系统化并揭示出它是一个和式极限值的实质,即
(1-4)
其中,所以又有黎曼定积分之说。
(4)N―L公式
(1-5)
的价值在于它揭示了定积分与不定积分之间的内在联系:定积分之值等于可积函数f(x)的任一原函数在区间[a,b]上的增量。其作用是为我们计算定积分提供了一种简便有效的方法,即要求定积分的值,只需先求不定积分从而得到任一原函数,再计算增量F(b)-F(a)即可。
(5)无穷区间上的广义积分
可看成变上限为b的定积分当时的极限,若存在,则此广义积分收敛,否则发散;其中F(x)为求定积分而得出的任一原函数。
可见,(1―6)式表达了广义积分与定积分以及原函数之间的联系。
2 牛顿积分与黎曼积分的区别
(1)由原函数的定义:若在某区间I内恒成立,则F(x)是f(x)的一个原函数。那么,原函数一定是连续函数。又据原函数存在性定理:若函数f(x)在某区间I上连续,则就是f(x)在此区间上的一个原函数。于是,我们将被积函数是连续函数的这类积分称为牛顿积分,并分为牛顿不定积分和牛顿定积分。而黎曼积分中的被积函数又是有界函数,也就是说,无界函数是不可进行黎曼定积分的。因为当被积函数在所积分的区间上无界时,按黎曼所做的定积分,总可选取使和式成为无限大,其和式的极限为无穷大的不存在。由此可见,函数有界是可黎曼定积分的必要条件。而可黎曼定积分的充分条件要用到“定积分存在性定理”:(1)有限区间上的连续函数总是可积的(可积是指牛顿定积分和黎曼定积分都存在);(2)有限区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的;
(2)并不是每一个牛顿的不定积分都可进行黎曼定积分。
例如:(2-1)
由知F(x)是处处可微的,
即(2-2)
所以,作为导函数的在[-1,1]上存在原函数F(x)和不定积分F(x)+C,即
这说明此连续函数f(x)在[-1,1]上存在牛顿的不定积分。
但是,f(x)在点x=0的邻域内是无界的,从而知f(x)在[-1,1]上为无界,故定积分不存在,即f(x)在[-1,1]上不可进行黎曼定积分。
(3)并不是每个黎曼定积分都存在牛顿的不定积分
例如: 符号函数
(2-3)
在[-1,1]上可黎曼定积分,
即
但是,在x=0处有一个跳跃间断点,从而没有F(x)在[-1,1]上使成立,即在[-1,1]上不存在原函数,从而不存在牛顿的不定积分。
(4)并不是每一个有界函数都能求黎曼定积分
例如:狄利克雷(Dirichlet)函数
(2-4)
为有界函数,但由于有理数点和无理数点在实数轴上具有稠密性,因此,不管用什么样的分点作分割,在每个小区间中一定既有有理点又有无理点。于是
当全部取为有理数时,有
此即达布(Darboux:1842―1917)大和的极限为1。
又,将全部取为无理数时,有
此即达布小和的极限为0。
故尽管两和式的极限都存在,但不相等,说明D(x)在黎曼意义下不可积,即D(x)在[-0,0]上不能求黎曼定积分,从而也没有牛顿定积分。
(5)连续函数在闭区间上的黎曼定积分和牛顿定积分与不定积分都存在。
若设f(x)在闭区间[a,b]上为连续函数,椐有限闭区间上的连续函数必可定积分及变上限积分定理知,f(x)在[a,b]上的原函数和不定积分、定积分都存在。此时,我们可将黎曼定积分和牛顿定积分与不定积分混称为“可积”,简称“积分”。此即牛顿―莱布尼兹,黎曼等所创立的积分学。此时,应将黎曼和的极限值,即定积分,用N―L公式的任一原函数在区间端点的增量来替代。
参考文献
[1] 龚德恩主编.高等学校财经类专业核心课程教材.经济数学基础[M].四川人民出版社,2002.
[2] 南京大学编.数学专业英语文选[M].商务印书馆,1979.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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