关于n和n+1的最大素因子

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【摘 要】n和n+1的最大素因子已经被证明这两者并不接近。在对这个结论进行了进一步的论证与完善之后，又对n和n+1的最大素因子这两者之间存在的关系进行了论述与明确。

【关键词】素因子 微分 函数

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）28-0050-02

如果n是一个正整数，且n≥2。设P（n）为n的最大素因子。在1978年，Paul Edros和Carl Pomernance发表了一篇关于n和n+1的最大素因子的著名论文，他们证明了：n和n+1的最大素因子这两者并不接近。定理内容如下：

定理1：对于任意ε>0，存在δ>0，使得对于充分大的x，满足n≤x且x-δ

在下面的定理中，我们确定了ε和δ之间的关系：

定理2：对于任意0

/P（n+1）

其中E和A为独立常数。

我们采用了Paul Edros和Carl Pomernance的证明方法来证明了我们的结论。

首先我们先介绍一个著名的函数ψ（x，y），其定义如下：

定义：对于任意x>0，y>0，函数ψ（x，y）表示满足：n≤x且n不存在大于y素因子这样条件的n个数。

关于ψ（x，y）有如下重要结论：

定理3：设ρ（u）为微分方程uρ'（u）=-ρ（u-1）（u>1）的一个连续解，且满足初始条件ρ（u）=1（0≤u≤1）。也把这个函数称为Dickman-de Bruijn函数，则当x≥2，exp

≤x时，ψ（x，y）=xρ（u）

…（2），这里，ε为任意给定的正数。

对定理2的证明：

设，因此，对于充分大的x，

我们有：。

由定理3可以得出：

（3）

（4）

（5）

对于任意的n以及任意的0

下面我们分如下几种情况进行讨论：

情形1：；

情形2：

情形3：≤P（n）≤；

情形4：。

根据（3）式，我们知道对于充分大的x，在情形1下满

足（1）成立的n的个数最多为：。

现在我们利用Dickman-de Bruijn函数估计，有

。因此对于充分大的x， （6）

同理，在情形2下满足（1）成立的n的个数最多为：

（7）

≤x

，这里C为一个常数。

又因为Dickman-de Bruijn函数ρ（u）是可微分函数，

因此根据微分中值定理，得：

，这里，。

再根据（2），知：。因此：

。 （8）

下面我们来考虑情形2和情形3。现在假设n≤x且（1）式成立，根据Paul Edros和Carl Pomernance的证明方法，

我们有在情形3下（1）式成立的n的个数小于…

（9），且有在情形4下（1）式成立的n的个数小于

x

立常数。

因此，根据（6）（8）（9）以及（10），得出n≤x且（1）

式成立的n的个数小于，又

因为，这就证明了我们定理（2）的结论。

参考文献

[1]Erdos，paul and Pomerance，Carl，On the largest prime factors of and，Aequationes Math，1978（23）：311～321

[2]de Bruijn，N.G，On the number of positive integers and free of prime factors.Nederl.Acad.Wetensch.Proc.Ser.A，1951（54）：50～60