笑问坐标何处来
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请问，世间向量知多少？
――无穷多，可谓茫茫向量大世界.
哇！这么多的向量，数也数不清，要研究它们之间的关系，难道要一个一个地就事论事？
――不，数学就是这样充满智慧.
以平面向量为例，平面向量基本定理回答了这一问题：平面内任一向量，都可以用平面内两个不共线的向量e1，e2表示，α=λ1 e1+λ2 e2，且这种表示是唯一的.在此意义下，平面内的所有向量之间的关系，归根结底都可以转化为两个向量之间的关系.这两个向量，可以作为所有向量的“代言人”，好似向量大家庭的“家长”，所有向量之间的“故事”都由他们而起，这当然是十分美妙的.值得称道的是，基向量的身份并不特殊，只要是两个不共线的向量，都有资格担当此重要角色，都可以当家长，向量大家庭里可是绝对的平等民主啊.
反过来，对平面内任意两个不共线的向量el，e2，让λ1，λ2取遍所有的实数值，集合{λ1 e1+λ2 e2| λ1，λ2∈R}就可以表示m平面内的所有向量，即以向量e1，e2为基础，让其“任意生长”，就可以生长出平面内的所有向量，好像这一组基底，就是所有向量的爸爸妈妈，他们生出了所有的向量（当然也包括他们自身）.这太神奇了……名词“基底”也就不难理解了：基底，基础、根底也！
又问，基向量确定后，任意两个向量究竟有何不同？
――有序数对之差别也.
在α=λl e1+λ2 e2中，如果把el，e2分别看成爸爸、妈妈，λ1，λ2可以认为是α分别占爸（el）、妈（e2）“基因”的多少，比如λ1大，e1的基因占的“比重”就大些，否则就小些，如果λ1=O，则说明el的基因为0.从而，在基向量e1，e2确定后，向量α一一对应着有序实数对λ1，λ2.我们姑且叫做n的“基因对”吧，可以记作（λ1，λ2）.那么，任何一个向量，其“基因对”总是唯一的，如图1.
也就是说，基向量（比如el，e2）确定后，平面内的任意两个向量，都可以由e1，e2来表示，其表示形式均是e1，e2的线性组合，其二者的不同就是也只是其“基因对”的不同，两个向量是否相等，当且仅当其“基因对”是否相同.这就使我们对这一组有序数对非常感兴趣.甚至，我们只专注于这个有序的实数对，把它等同于平面向量对待.
――“基因对”是也！
对一个向量而言，有什么样的爸爸妈妈，也就是说选定什么样的基向量，就会有什么样的“基因对”.当基向量确定，向量对应的有序实数对确定.这里，让我们选择特殊的基向量，您觉得什么向量最特殊呢？单位向量；两个单位向量的什么位置关系最特殊呢？垂直.是的，如果选择了这样的一组基向量，一个向量的“基因对”又是什么呢？对照图2，α=4i+2j，你可能不难发现，哦，这不就是平面直角坐标系中的坐标吗？正是！原来如此――坐标就是这样来的.
数学，就是这样，相互联系，协调统一，给人惊喜.
追问，向量的坐标有何意义呢？
――把数形结合进行到底！
在平面直角坐标系中研究向量，使向量的研究更为便利和深刻，向量，本来是数和形的完美结合，是美丽的化身.到了坐标系中，向量有了坐标，把向量的研究引入到了更精细的微观境界，有了更为有力的计算工具.什么长度、方向、夹角、平行、垂直……都可以通过向量的坐标来刻画、来研究，都可以算jm来.几何问题可以算出来，哈哈，这难道不值得兴奋和期待？
为什么用坐标简单呢？这是因为，向量的坐标表示本身就是建立在平面向量基本定理基础之上的，等于已经享用了平面向量基本定理这一成果，先行一步了.
进一步地理解，向量的坐标可以认为是相对于某一组基底的“基因对”.也就是说，只要给定基底，就有向量的线性表示，就有相应的“基因对”，把这“基因对”看成向量的坐标，如此，就有了仿射坐标系，也就有了仿射几何、线性空间、几何变换群……照着这条路走下去，将有更宽更广更精彩的数学新天地……