时滞系统稳定性综合研究
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摘 要：时滞现象广泛存在于各类工业系统中，文章对时滞系统分类阐述，从频域与时域的角度，将近些年的研究成果与分析方法罗列开来，并详解处理时滞依赖与时滞独立的变换方法，并对稳定性的分析进行比对，简要的概述了Lurie时滞系统与随机系统的研究情况，最后对时滞系统的发展做了展望。
关键词：时滞系统；稳定性；时域法；频域法；系统变换
中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2017）19-0080-03
1 概述
在现代工业系统中，时滞问题广泛存在，例如通信、传送、化工过程、冶金过程、环境、电力系统等都是典型的时滞系统[1]。而时滞系统通常使用泛函微分方程描述。时滞微分方程的形式为：
连续的时滞系统是无穷维的，特征方程是超越方程，而且具备无穷多个特征根，离散的时滞系统的维数随着时滞的长度以几何规律增加。因此时滞系统的稳定性分析和控制器设计均面临着诸多困难，在理论与实际应用方面都具有极大挑战性[2]。
学者关注并研究的时滞系统包括奇异时滞微分系统、脉冲时滞微分系统、Lurie时滞系统、中立型时滞系统和随机时滞系统等几个类别。
2 时滞系统稳定性研究的概况
稳定性的研究是自控理论的基本问题，也是时滞系统需要解决的理论基础问题，早期研究方法为频域法和时域法。
2.1 频域法
频域法有一定局限性，只能用于时不变时滞系统的稳定性分析，因为该法主要基于涉及特征根的分布或Lyapunov矩阵函数方程求解。时滞系统的闭环特征方程无穷多解的特点有助于研究系统稳定性，具备物理意义强、计算机量小的优点。
Zhong推导出非周期干扰条件的积分过程[3]，chiasson J
N[4]分析了超越特征方程根的分布情况与稳定的条件， Thows
en[5]通过把特征方程变换为非超越方程，得出Routh-Hurwitz型稳定性判据。Watanabe等[6-7]对有限谱配置分析了稳定性问题。胥布工分析了多时滞线性时不变系统的稳定性问题，并得到了判定标准[8]。Zhang J[9]得到了Lyapunov方程的线性时滞系统稳定条件，并推导出鲁棒性分析的小增益定理间的等价关系等。
由于特征方程的原因，频域法不容易处理参数时变或含有不确定项的时滞系统，而且在设计控制器时，也不易处理中立型系统、多变量的高维系统和非线性微分系统等。
2.2 时域法
时滞系统的稳定性研究和控制器设计的是时域方法，主要为Krasovskii-Lyapunov 泛函法、Razumikhin-Lyapunov函数法及时滞不等式方法。构造Lyapunov泛函或函数常用riccati方程和LMI工具（线性矩阵不等式），时滞不等式是解决非线性、变时滞、无限时滞等复杂问题的有效手段。关于非线性和不确定时滞系统的稳定性研究上，Razumikhin 稳定性定理[10]是重要成果。Trinh等[11]基于该结论对延时的非线性扰动条件下的线性系统进行分析，得到了镇定结果。Park[12]变换模型，丰富了Razumikhin 稳定性定理。Jankovic[13]对时滞系统的系统化Lyapunov-Razumikhin函数构造方法分类整理。
3 处理时滞系统时的变换方法
无论上述何种方式分析稳定性，最终都分类为时滞独立或时滞依赖的稳定性分析，其分类的条件主要为是否依赖于时滞与时滞大小的问题。
以单时滞线性系统为例[1]
时滞依赖的稳定性条件：在该条件下，系统稳定性依赖于滞后时间d，是否稳定也取决于d。时滞独立的稳定性条件：在该条件下，对所有的时滞d>0，系统是渐进稳定的。该条件与系统滞后时间的状态无关，适用于不确定滞后时间和未知滞后时间的系统稳定性研究。但是任意大时滞的条件下的稳定，导致结果会很保守，尤其是小时滞系统。所以在该类系统的稳定性分析研究上需要解决的重点是扩大系统的稳定时滞上界，尽可能地减少保守性。
3.1 变换一[14]
该变化情况在时滞性较大的条件下，稳定性偏保守。
3.2 变换二[15-17]
将系统变换为中立型系统，对中立型系统的稳定性研究，推导出原系统的稳定性，其重点是要求差分算子稳定，即
3.3 变换三[18-20]
3.4 变换四
把系统变换为奇异系统
奇异系统方法由fridman[21]提出，保守性相对前四种最小。其计算Krasovskii-Lyapunov泛函沿系统轨线的导数时，一直将x（）、x（t）视为独立变量处理。
3.5 其他变换方式
由于前四种变换方式未实现解决与时滞独立的稳定性结果，仍存在一定的保守性，关键在于没有很好地处理与时滞依赖的稳定性问题。所以在改进向量积上界的大量研究中， Park[20]提出了向量积不等式：
Moon[19]在此基础上改进并引入了以下不等式，保守性最小：
大量的文献研究表明：在研究基于线性矩阵不等式的时滞系统时，包括系统与时滞相关的稳定性问题及设计控制器问题等，最好的办法是把奇异系统与Moon不等式有效结合，最大程度上降低保守性。
4 其他时滞系统的研究情况
4.1 Lurie时滞系统
作为自控理论中的主要分支，Lurie时滞系统也得到了广泛关注与研究。王联[22]建立Lyapunov 泛函，分析系统稳定性，推导出时滞无关系统本身的绝对稳定性条件。甘作新等[23]改进前者思路，分析了多线性系统的绝对稳定性。年晓红[24]关注Lurie时滞直接控制系统，并得到了时滞的稳定性条件，杨斌等[25]造Lurie型Lyapunov泛函，研究了矩阵不等式与时滞问题的相关结论。
4.2 随机时滞系统
Mao[26]构造Lyapunov函数，提出了一类不确定随机时滞系统的基于矩阵范数的时滞相关均方指数稳定性条件。Yue 和Won[27]在Niculescu[28]的基础上，把确定型时滞系统与时滞相关的成果应用到随机时滞系统的稳定性研究上，提出了基于现行矩阵不等式的时滞相关条件。该研究主要问题在于系统稳定的时滞上界难以确定，仅仅通过预调参数矩阵的方法，并不具备通用性。
5 问题与展望
时滞系统稳定性研究与控制器设计的成果显著，但也有一些难点需要关注：部分时滞系统如何有效的通过LMI工具转化解决，计算量和保守性此消彼长的情况困扰研究者，稳定性准则受困于保守性，非线性系统的研究成果没有线性系统多。
今后时滞系统的稳定性研究将在以下方面深入发展：部分时滞系统在进行LMI处理时可以考虑通过多式优化的方法满足要求。计算量与保守性的矛盾问题，考虑构造参数依赖的Lyapunov泛函的选取上寻找优化方法。稳定性的分析可以卡率二次分离原理。非线性的时滞稳定性研究应该也会逐渐丰富。
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