高中数学“一题多解”的案例剖析

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对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解. 在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法，同时拓展思维，达到触类旁通的目的.本文旨在通过易懂的实例说明一题多解在培养思维方面的积极意义.

中学数学的一题多解主要体现在：

（1）一题的多种解法

例如，已知复数z满足|z|=1，求|z-i|的最大值.我们可以考虑用下面几种方法来解决：①运用复数的代数形式；②运用复数的三角形式；③运用复数的几何意义；

④运用复数模的性质（三角不等式）z1|-|z2≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|；

⑤运用复数的模与共轭复数的关系|z|2=z・z；

⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆|z|=1与|z-i|=r有公共点时，r的最大值.

（2）一题的多种解释

例如，函数式y=12ax2可以有以下几种解释：①可以看成自由落体公式s=12gt2.

②可以看成动能公式E=12mv2.

③可以看成热量公式Q=12RI2.

又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷.“1”可以变换为：logaa，xx，sin2x+cos2x，（logab）・（logba），sec2x-tan2x，等等.

以下是高中数学常见的较为典型的多解问题：

例1已知a2+b2=1，x2+y2=1.求证：ax+by≤1.

分析1用比较法.只要证1-（ax+by）≥0为了同[JP3]时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决.

分析2运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论.从而证明原结论正确.分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件.因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范.

分析3运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）

简证ax≤a2+x22，by≤b2+y22，

ax+by≤a2+x22+b2+y22=1.

分析4三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便.可设a=sinα，b=cosα ，x=sinβ，y=cosβ.

进而ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α-β）≤1.

分析5数形结合法：由于条件x2+y2=1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax+by=ax+bya2+b2联系到点到直线距离公式，[HJ1.18mm]圆上任意一点M（x，y）到直线ax+by=0的距离都小于或等于圆半径1，即d=

|ax+by|a2+b2=|ax+by|≤1ax+by≤1.

简评五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法.除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法.可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择.

例2如果（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求证：x、y、z成等差数列.

分析1要证x、y、z成等差数列，必须有x-y=y-z成立才行.此条件应从已知条件中得出.故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换. 对条件展开整理可得x-y=y-z，即x、y、z成等差数列.

分析2由于已知条件具有x-y，y-z，z-x轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利.可设x-y=a，y-z=b，则x-z=a+b.于是，已知条件可化为：（a+b）2-4ab=0（a-b）2=0a=bx-y=y-z.

分析3已知条件呈现二次方程判别式Δ=b2-4ac的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会.即有当x-y=0时，由已知条件知z-x=0，x=y=z，即x、y、z成等差数列.当x-y≠0时，关于t的一元二次方程： （x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0， 其判别式[JP3]Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，故方程有等根，显然t=1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，再由韦达定理易得.

简评证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠.证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值.证[JP3]法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发.

例3已知x+y=1，求x2+y2的最小值.

分析1虽然所求函数的结构式具有两个字母x、y，但已知条件恰有x、y的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题.

分析2已知的一次式x+y=1两边平方后与所求的二次式x2+y2有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得.

分析3配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的.

分析4因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发. x+y=1表示直线l，x2+y2表示原点到直线l上的点P（x，y）的距离的平方.显然其中以原点到直线l的距离最短，易求得其最小值为1/2.

分析5如果设x2+y2=z则问题还可转化为直线x+y=1与圆x2+y2=z有交点时，半径z的最小值.

简评几种解法都有特点和代表性.解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值得效仿.

例4设zR，z1+z2∈R.求证： |z|=1.

分析1由已知条件z1+z2为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径.

分析2由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到z z=|z|2这一重要性质，即可求出|z|的值.

分析3因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式.再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点.

简评设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法.但这些方法通常运算量大，较繁.现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处.证法3利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法.

例5由圆x2+y2=9外一点P（5，12）引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

分析1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程.这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法.

分析2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程.

分析3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题.因为动点M可看作直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法.

分析4（参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数.由于动点M随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法.

分析5 （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程.设而不求，代点运算.从整体的角度看待问题.这里由于中点M的坐标（x，y）与两交点A（x1，y1）、B（x2，y2）通过中点公式联系起来，又点P、M、A、B构成4点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程.

简评上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法.其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点P且与二次曲线C交于A、B两点，求AB中点M的轨迹问题.具有普遍意义，值得重视.对于解法5通常利用kPM=kAB可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多.

数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系.我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的.通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的.从而培养创新精神和创造能力.