三角函数积分和有理函数积分的分类研究

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【摘要】在《数学分析》不定积分这一章，不定积分的方法繁多，特别是三角函数积分和有理函数积分种类较多，教材中没有给出具体的分类，类型题也不够全面，学生在学习中感到困惑不解，笔者在此对三角函数积分和有理函数积分的分类进行如下的探索与研究.并通过举例应用，达到巩固和举一反三的作用.

【关键词】三角函数积分；有理函数积分；塞法；赋值法；待定系数法

一、三角函数的不定积分

类型1至类型7用的是第一换元法，即塞法；类型8用第二换元法，即万能代换

类型1：∫cosmxsinnxdx，m和n都是正整数，m与n其中一个为奇数另一个为偶数时，则把指数是奇数次方的三角函数塞进去，凑成微分.

例如：∫cos2xsin3xdx=-∫cos2xsin2x（-sinx）dx=-∫cos2x（1-cos2x）d（cosx）

=∫（cos4x-cos2x）d（cosx）=15cos5x-13cos3x+C.

类型2：∫cosmxsinnxdx，m和n都是正整数，m与n皆为奇数，这时塞任意一个三角函数，凑成微分.

例如：∫cos3xsin3xdx=-∫cos3x（1-cos2x）d（cosx）=∫cos5xd（cosx）-∫cos3xd（cosx）=16cos6x-14cos4x+C.

类型3：∫cosmxsinnxdx，m和n都是正整数，m与n皆为偶数，这时用公式2sinxcosx=sin2x 或 sin2x=1-cos2x2 或 cos2x=1+cos2x2，从而达到降幂的作用，然后用塞法，凑成微分.

例如：∫cos2xsin2xdx=14∫（2sinxcosx）2dx=14∫sin22xdx

=18∫（1-cos4x）dx=18x-132sin4x+C.

类型4：∫sinαxcosβxdx 或 ∫sinαxsinβxdx 或 ∫cosαxsinβxdx，这时需要积化和差，把原积分化成部分积分和，然后用塞法，凑成微分.

例如：∫sin2xsin4xdx=12∫（sin6x-sin2x）dx=14cos2x-112cos6x+C.

类型5： ∫sinmxdx 或 ∫cosmxdx，m为正整数，当m为偶数时，用公式sin2x=1-cos2x2 或 cos2x=1+cos2x2；当m为奇数时，塞sinx或cosx

例如：∫sin4xdx=∫1-cos2x22dx=14∫（1-2cos2x+cos22x）dx

=14∫（1-2cos2x+1+cos4x2）dx=38x-14sin2x+132sin4x+C.

∫sin5xdx=∫sin4xsinxdx=-∫（1-cos2x）2d（cosx）=23cos3x-cosx-15cos5x+C.

类型6： ∫R（sinx，cosx）dx，如果用-sinx和-cosx同时代入，被积函数符合不变的话，此时设tanx=t，这时sin2x=t21+t2，cos2x=11+t2，dx=11+t2dt

例如：求∫1+sin2xcos4xdx，设tanx=t，∫1+sin2xcos4xdx=∫1+t21+t2（11+t2）2・11+t2dt=∫（2t2+1）dt=2t33+t+c=2tan3x3+tanx+C.

类型7：∫sinmxcosnxdx 或 ∫cosmxsinnxdx，m是奇数，n是奇数或偶数，这时塞cosx或sinx

例如：∫cos3xsin2xdx=∫cos2xsin-2xd（sinx）=∫（1-sin2x）sin-2xd（sinx）=∫（sin-2x-1）d（sinx）=-1sinx-sinx+C.

类型8：∫R（sinx，cosx）dx，一般的，被积函数含有sinx和cosx且它们的指数都是1，以及被积函数不是上面的7种类型的，这时用万能代换，设tanx2=t，sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，dx=21+t2dt.

例如：求∫1sinx+cosxdx，设tanx2=t.

∫1sinx+cosxdx=∫12t1+t2+1-t21+t2・21+t2dt=∫-2t2-2t-1dt=-2∫1（t-1）2-2d（t-1）=-22lnt-1+2t-1-2+c=-22lntanx2-1+2tanx2-1-2+C.

二、有理函数积分

有理函数一般形式是P（x）Q（x），其中P（x）与Q（x）都是多项式，如果P（x）Q（x）是假分式，用Q（x）除P（x）能化成多项式与有理真分式的和，即P（x）Q（x）=T（x）+F（x）Q（x），所以求有理函数的不定积分，关键在于求有理真分式F（x）Q（x）的不定积分，也就是把F（x）Q（x）进行分解的问题，对F（x）Q（x）的分解方法探究如下：

类型1：当分母Q（x）只有不相等的实根时，用赋值法.

例如：F（x）Q（x）=2x+1（x+1）（x-2），设2x+1（x+1）（x-2）=Ax+1+Bx-2=A（x-2）+B（x+1）（x+1）（x-2），

此时，A（x-2）+B（x+1）=2x+1，

设x=-1时，有-3A=-1，从而A=13；x=2时，有3B=5，从而B=53.

∫2x+1（x+1）（x-2）dx=13∫1x+1d（x+1）+53∫1x-2d（x-2）=13lnx+1+53lnx-2+C.

类型2：当分母只有不相等的复数根时，用待定系数法.

例如：F（x）Q（x）=x3+3x2+2x+1（x2+1）（x2+x+1），设x3+3x2+2x+1（x2+1）（x2+x+1）=A1x+B1x2+1+A2x+B2x2+x+1=（A1x+B1）（x2+x+1）+（A2x+B2）（x2+1）（x2+1）（x2+x+1）.

由等号左、右两分式的分子相等，再比较系数，解方程组A1+A2=1，A1+B1+B2=3，A1+A2+B1=2，B1+B2=1.

得：系数A1=2，A2=-1，B1=1，B2=0.

∫x3+3x2+2x+1（x2+1）（x2+x+1）dx=∫2x+1x2+1dx+∫-xx2+x+1dx=∫1x2+1d（x2+1）+∫1x2+1dx-∫1x+122+34dx+12

=ln（x2+1）+arctanx-233arctan23x3+C.

类型3：当分母Q（x）只有重复数根时，用除法.

例如：F（x）Q（x）=x3+2x2+x+1（x2+x+1）2，用除法，x3+2x2+x+1x2+x+1=x+1+-xx2+x+1，

所以，x3+2x2+x+1（x2+x+1）2=x+1x2+x+1+-x（x2+x+1）2

∫x3+2x2+x+1（x2+x+1）2dx=∫x+1x2+x+1dx+∫-x（x2+x+1）2dx=∫xx2+x+1dx+∫1x2+x+1dx+∫-x（x2+x+1）2dx=12∫2x+1x2+x+1dx+12∫1x+122+34dx+∫-12（2x+1）+12（x2+x+1）2dx

=12∫1x2+x+1d（x2+x+1）+12∫1x+122+34dx+12-12∫d（x2+x+1）（x2+x+1）2+12∫1[x+122+34]2dx+12=12ln（x2+x+1）+539arctan3（2x+1）3+x+23（x2+x+1）+C.

（其中，第二项积分用公式∫1x2+a2dx=1aarctanxa+C，第四项积分用公式

∫1（x2+a2）2dx=x2a2（x2+a2）+12a2∫1x2+a2dx）

类型4：当分母Q（x）只有重实根时，用综合除法.

例如：F（x）Q（x）=x4+3x3+2x2+x+1（x-1）5，用综合除法得：

x4+3x3+2x2+x+1（x-1）5=8（x-1）5+18（x-1）4+17（x-1）3+7（x-1）2+1x-1.

∫x4+3x3+2x2+x+1（x-1）5dx=∫8（x-1）5dx+∫18（x-1）4dx+∫17（x-1）3dx+∫7（x-1）2dx+∫1x-1dx=-2（x-1）4-6（x-1）3-172（x-1）2-7x-1+lnx-1+C.

结束语：上面通过举例详细地分析、归纳了三角函数积分和有理函数积分的类型及解题的方法，这些方法可以简化复杂的计算，进而使问题得以解决.在此笔者只是抛砖引玉，希望对初学者有所帮助.