浅析高中同角三角函数基本关系式的应用

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[摘要]在高中阶段，三角函数是重点学习内容，而同角三角函数的关系式涉及到求值、化简和证明三大题型的应用。帮助学生理解知识的内在联系，挖掘其本质属性，有利于灵活运用相关数学公式，创新思维，解决数学问题。

[关键词]三角函数；本质属性；创新思维

中图分类号：G633.6

从数学知识内容上看，高中所学的三角函数是在初中已有的知识上拓宽视野，将00到900的三角函数拓展到任意角的三角函数，并引入直角坐标系，而其中的函数关系式依然成立。从本质上来看，它们即是任意角的一个集合与一个比值的集合的变量之间的映射[1]。高中阶段的三角函数即初中直角三角形中有向线段的比值。在解题过程中，理解了三角函数的本质，灵活运用关系式，则求值、化简、证明等有关问题就迎刃而解，同时有利于培养学生逻辑推理能力和创新能力。

一、理解内在联系，挖掘本质属性

由单位圆中的三角函数（如图1）可以得出同角三角函数的基本关系式：

二、灵活运用公式，创新解题思维

了解同角三角函数之间的关系，可以解决同角三角函数中求值、化简及证明等题型。在充分理解知识内在联系下，创新思S，总结数学思想方法，可以增强逻辑推理，提高解题速度，从而提高学习效率。

1.求值新解

高中阶段的同角三角函数求值的问题主要分为两种：知道三角函数取值范围，计算并确定符号；没有范围，分类讨论。由于同角的三角函数之间存在联系，那么，正弦、余弦和正切，可知一求二，正余弦的和差与乘积之间有着直接的联系。解决这两种问题的一般方法也分为两种：一是利用公式，建立方程组，代入消元；一种是利用推广公式，已知和差求乘积或已知乘积求和差。

前面提到，高中阶段所学的三角函数是在初中直接三角形的基础上引入符号，将角度拓展到任意角。在高中《必修四》前面的知识已经学习了各个三角函数在不同象限中的符号，那么，我们在一些求值的问题中可以利用这个本质，从直角三角形着手，再考虑符号，就可以将问题化难为易了。

例1：已知tanα=-2，求sinα和cosα。

分析：首先，这类题型属于求值问题中没有范围，需分类讨论的题型，再利用公式联立方程组求解。这样做就涉及到解二次方程、开方，这又是学生最容易出错的地方。所以，利用直角三角形解题可以突破这一难点。

解：由已知tanα=-2，则α属于第二象限或第四象限，OtanαO=2

如图2：

|tanα|=2

可令α=∠ACB|AB|=2，|BC|=1

|AC|=

由定义可得：|sinα|= ， |cosα|=

当α属于第二象限时，sinα= ，cosα=

当α属于第四象限时，sinα= ，cosα=

2.升幂降幂，化简证明

化简问题和证明问题本质相同，解决问题时注意观察三个差异：函数差异；次数差异；结构差异。基本思路有四种：一、利用同角三角函数公式及推广公式化繁为简；二、利用正余弦平方关系升幂降幂；三、证明时，左右同时化简，方向归一；四、再加分析，作差变形求解。

例2：（1）化简

（2）已知 ，求：

（3）证明：

分析：

通过观察可以发现：

（1）式中分子分母都为关于x的一次三角函数，但是前半部分含有x的正切函数，可以利用公式①将正切转化为正弦余弦，再经过通分化简即可得出结果为tanx。

（2）式是已知tanx的值，求解复杂三角函数的值问题。可以利用例1中的方法得出sinx与cosx的值，再带入求解，但问题在于需要考虑两种不同的情况，后续计算较为复杂。那么，什么方法更为简便呢？求解这样的式子的关键在于转化分子分母为相同次数，再利用分子分母同除cosx（cosx≠0），结果不变，再代值求解。前半部分可以直接利用公式②，将1转化为sin2x+cos2x，后半部分是关于正弦余弦的二次式，可以将分母看做1，再利用②式升幂，最后由分式的性质可得出一个关于tanx的式子求解。

（3）式是三角函数证明题中比较典型的例题，通过观察分析，它不属于化繁为简的类型，也无法直接从左到右变形处理或者作差化简，由于两边式子都比较复杂，那么我们首先考虑左右归一的方法。

利用公式④⑤，化简可得出左边=

利用公式①，再通分化简可得右边=

左边=右边即得证。

三、结束语

综上所述，在三角函数教学中，帮助学生理解同角三角函数关系式的本质属性，提炼总结解决数学问题的思想方法比单纯的强化解题技巧更有助于建构学生自己的数学知识。

参考文献

[1]何子尧.基于任意角的三角函数研究[J].赤子，2009（4）.