追根溯源:谈解析几何的一体两面在教学中的应用

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【摘 要】解析几何是用代数的方法来研究几何问题，它是几何与代数的统一体，区别就是看你研究它的那一刻它更多展示的是哪一面。而另一方面，在高考数学中解析几何也占据了举足轻重的地位，甚至有“得解几者得高考”的说法。本文以圆与椭圆为例，在代数视角与几何视角下探究解析几何问题的一体两面性，使得我们能够在解析几何的教学和解题中得到更好的运用和理解。

【关键词】解析几何；高考；一体两面；代数视角；几何视角

解析几何是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点.这一块内容的特点是解题思路简单清晰，解题方法比较具有规律性，但运算较为繁杂，对学生的运算及恒等变形能力；数形结合及综合运用多种数学知识和方法的能力要求较高。高考说明中对解析几何题中的运算求解能力的考查要求是：“能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径”，其中寻找与设计合理、简捷的解题途径就成为我们可选的出路之一。

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这些都说明它们是几何与代数的统一体，区别就是看你研究它的那一刻它更多展示的是那一面.在几何的视角下，自从古希腊开始，人们从纯粹几何学的观点研究了直线、圆与圆锥曲线，知道了它们的一些主要几何性质，其中圆锥曲线的性质是圆的几何性质的自然推广。在代数的视角下，我们将曲线看成是运动的点的轨迹，轨迹是由动点运动形成的曲线（或几何图形），其特点是，动点在运动变化过程中，始终有保持不变的量，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题，通过代数运算，解决代数问题，最后把代数运算结果“翻译”成几何结论。通过轨迹的方程来判断轨迹的形状和研究轨迹的几何性质.在代数的视角下，一旦确定直线、圆及圆锥曲线的方程，那么它们的主要几何性质，如位置关系、距离、夹角等，原则上可由这些曲线的方程通过代数运算唯一确定和解答。而在高考时，为了找到与设计出合理、简捷的解题途径。我们需要结合利用解析几何的一体两面去研究问题。研究解析几何问题，关键要着眼于它们的方程和曲线的两大特征，它们的方程形式具有代数的特征，而它们的曲线则具有典型的几何特征。它们是几何与代数的完美结合体。

一、解析几何教学过程中代数特征与几何特征把握与应用

代数视角下解决解析几何问题具有普适性，一旦确定直线、圆及圆锥曲线的方程，那么它们的主要几何性质，如位置关系、距离、夹角等，原则上都可由这些曲线的方程通过代数运算唯一确定和解答，而高考情境下唯一需要考虑的就是运算问题。而在几何视角下采用综合法处理这些几何性质时，就需要很强的技巧，很多题目可能就需要就事论事，对数学思维和知识积累的要求较高。直线、圆及圆锥曲线都可看成动点运动形成的轨迹，即当动点在运动变化的过程中，保持的某种条件不变。如其中圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，椭圆是到两个定点的距离的和等于定长的点的集合。而圆由于高度对称性，其几何特征也更为明显，绝大部分与圆有关的问题均可在几何视角下采用综合法解决。

例1（2009年全国高考江苏卷18）

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+（y-5）2=4。

（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

【解析】本题以圆为载体，对直线和圆的知识进行了较为深刻的考查。问题（1）是一个常规的直线被圆所截的弦长问题，结合弦心三角形及点到直线的距离公式能轻松得到直线的方程.对于问题（2），文[1]分别在代数视角和几何视角下给出了两种解答。解答1即当年江苏高考的参考答案采用的代数视角下利用方程的恒成立思想得出定点的解答；文[1]主要从几何视角下介绍了通过作C1C2的中垂线与以C1C2为直径的圆相交的两个交点即为满足本题条件的所有P点，并给出了证明和推广。该解法计算思路清晰，但在解题的完备性上对学生的思维能力要求较高。

【反思】本题考查对象是直线与圆，主要涉及了弦长，垂直这样的几何量和几何性质，结合圆本身的几何性质可考虑本题的几何视角下的解法.通过该例我们可以感受到结合圆与椭圆的几何特征，在几何视角下采用综合法处理问题时往往能取到事半功倍的效果，在圆中解决问题时优越性更为明显。

例2已知圆M：（x-1）2+（y-1）2=4，直线l：x+y-6=0，A为直线l上任意一点。

若圆上存在两点B，C，使得∠BAC=60o，求点A的横坐标的范围。

二、解析几何一体两面的追根溯源对教学的帮助

例3（2010年全国高考江苏卷18）

[解析]该题第3问极具难度，考生对解答过程即使形成思路，也极易因不堪极为繁难的运算而最终落败.高考阅卷显示，能够正确完成第3问解答过程的考生很少，因此该题严重影响了广大考生的考试情绪与解答最后两题的时间。从命题组给出的参考答案来看，依旧是从代数角度研究该题：

令y=0，解得：x=1。此时必过点D（1，0）；当x1=x2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

这种解法体现了高考命题对考生能力的考查，但从考生角度出发，采用代数视角解答此题也很致命，由于大部分考生的运算能力并不是非常理想，很难在有限的时间内完成此题；或是即使完成此题，也因耗费了大量的时间和精力，影响了后续2题的解答.若是从几何视角对该解析几何问题的一体两面进行追根溯源，该题考查的背景即为圆锥曲线的极点与极线知识，背景深刻，立意高远，通过极点与极线将试题的条件与结论有机的联系在一起，和谐而统一。

定义：已知圆锥曲线C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0），则称点P（x0，y0）和直线：l：Ax0x+Cy0y+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0是圆锥曲线C的一对极点与极线。

定理：设一个完全四点形的四个顶点在一个二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。

纵观历年的高考解析几何题就会发现，虽然命题者在考题的题材选取及表现方式上不断创新变化。但解析几何题始终脱离不了其几何背景。若能加强对解析几何问题一体两面的追根溯源，在用代数视角研究问题时结合几何视角去探究分析，揭示其本质特征和本质属性，从不同角度看待这一数学内容，感受数学的整体性，必将收到事半功倍的效果。

【参考文献】

[1]蔡玉书，顾玉凤.2009年高考江苏卷第18题别解与推广[J].中学数学月刊，2009（09）：5-6

[2]梅向明，刘增贤，林向岩.高等几何（高等学校试用教材，第181页）.高等教育出版社，1983年11月第一版，1989年4月第6次印刷