普通语言向图形语言再向向量语言的转化

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摘要： 本文从共线、角平分线、中线三个方面介绍了普通语言向图形语言再向向量语言的转化。

关键词： 数学解题 文字语言 图形语言 向量语言 转化

G•波利亚在数学解题思维过程中提出了四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。其中最重要的就是第二阶段――转换。转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。数学解题的关键是将文字语言有效地转化到数学语言中。在向量的一些例题中若能有效地将普通的文字语言适当地往图形和向量语言上转化，那么结论就在眼前了。

1.共线的向量表示

A，B，C三点共线?圯?圯 ?圯λ ?圯

?圯λ （1-λ）

例1.过ABC的重心G任作直线l分别交AB，AC于D，E，若 =x ， =y （xy≠0），则x，y所满足的关系式 + = 。

解：G为ABC的重心，则 =，D为BC边上的中点，则 = （ + ），即 == • （ + ）=+，又G，D，E三点共线，则 =λ +（1-λ） =λx +（1-λ）y ，

所以 =λx （1-λ）y，所以 + =3。

2.角平分线的向量表示

点C在∠AOB的角平分线上?圯?圯 =

例2（2005年天津高考题）.在直角坐标系xoy中，已知点A（0，1）和点B（-3，4），OC是∠AOB的角平分线上且 =2，则 =。

解：将文字语言转化为图形语言（如图），再将图形语言转化向量语言。

又 =2，得λ= ，

=- ， 。

3.中线的向量表示

点C是线段AB的中点?圯 ?圯 + =2

例3（2005年高考题）.在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则 •（ + ）的最大值是。

解：根据题意作出图形

4.巩固练习

（1）（江西卷）在ABC中，点O是BC边的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M，N，若 =m ， =n ，则m+n的值为2。

（2）已知点C是OAB边AB上的中点，P为OC上的点，过点P的直线交OA，OB于M，N，且 =m ， =n ， =p ，则m，n，p满足 + = 。

（3）已知ABC三个顶点A，B，C及平面内一点P满足 + + = ，则下列结论中正确的是（D）。

A.P在ABC内部B.P在ABC外部

C.P在AB所在直线上D.P在AC边的一个三等分点上

（4）在直角坐标系xoy中，已知点A（0，1）和点B（-3，4），C

点在AB上且OC是∠AOB的角平分线，则

（5）已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足4 = +λ + ，λ∈（0，+∞），则P点的轨迹一定通过ABC的（C）。

A.重心B.垂心C.内心D.外心

（6）在ABC中，AP是BC边上的中线， =3， • =-2，求 = 。

以上是体现在向量中的一些转化，其实在数学中就有一种数学思想方法――等价转化，我们要能很好地解决数学中的一些问题，关键就要能正确地找到相关的等价转化的形式，这样就能将复杂问题简单化，未知问题已知化，从而找到问题的突破口，解决相关的问题。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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