二维时域电场积分方程新平均稳定法

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇二维时域电场积分方程新平均稳定法范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要:对二维理想金属导体柱的时域电场积分方程(TDEFIE)后期振荡问题提出了一种新的时间平均方法,此方法用前一时刻和后一时刻的值来修正当前时刻的电流值,消除了振荡,而且相对以往的平均方法提高了MOT算法的稳定性,对精度的影响很小。这里采用电场积分方程(EFIE)MOT算法的隐式格式(Implicit),在TM,TE高斯平面波激励情况下分别计算了两个例子:圆柱和方柱。又采用一种新的时间基函数BLIFs来结合新的时间平均法,取得了很好的效果。经过Matlab软件的数值分析,可以看出此时间平均法更加稳定和精确。

关键词:时域电场积分方程;时间平均法;隐式算法;时间步进算法

中图分类号:TN820.1文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)04-174-03

A Novel Average Technique for the Stability of Two-demension TDEFIE

ZHANG Cheng,LUO Wei,WU Xianliang

(School of Electronic Science and Technology,Anhui University,Hefei,230039,China)

Abstract:A new time average method using time domain electric integral equation,which adds the front and back of the current electricity to eliminate oscillation,it is presented to calculate two-demension conducting cylinder for improving the stability more than other average approaches and the precision influenced by the method can be almost ignored.An implicit method using EFIE is adopted to calculate two examples apiece inspired by TM and TE gauss plane wave:circle cylinder and square cylinder.Except that,a new temporal basis funcion BLIFs used in the novel average technique acquire better impression.The results of Matlab simulation prove the stability and precision of the approach.

Keywords:time domain electric integral equation;time average method;implicit method;marching-on-in-time

0 引 言

TDIE是四种数值算法中发展较为滞后的一种,但由于其在电磁散射和辐射中无可比拟的优势,得到越来越多的关注。影响它发展的原因主要是后期不稳定现象。许多学者经过潜心研究对其做出了各种假设,其中具有代表性的有:A.G.Tihuis认为在建模时对时间和空间进行了一系列近似带来误差,从而在时间步进过程中积累,最终导致发散;B.P.Rynne认为目标本身存在某些内谐振频率。以上只是许多猜想中的两个假设,人们基于以上假设对TDIE稳定性的改进做了很多尝试,在一定程度上改善了MOT算法的时间后期稳定性。这里基于时域电场积分方程的隐式算法[1-3],提出了一种新的时间平均方法,并与时间基函数(BLIFs)相结合[4],进一步的推迟了振荡产生时刻;其后将本文方法与B.P.Rynne的三步平均法和吴振森的先五步后三步的平均方法[5]做了比较,证明此方法的优越性。

1 TDEFIE的隐式MOT迭代过程

由理想导体表面切向电场为零的边界条件,得到时域电场积分方程(TDEFIE):

[At+φ]tan=[Ei]tan(1)

其中矢量位为:

A=μ4π∫c∫∞z′=-∞J(ρ ′,t-R/c)Rdz′dc′(2)

标量位为:

φ=14πε∫c∫∞z′=-∞qs(ρ ′,t-R/c)Rdz′dc′(3)

由电流连续性定理s•J=-qst,可将电流J与电荷q联系起来。为了利用时间步进(MOT)算法求解(1)式,将散射体横截面的周界上感应电流J(r,t)用空间基函数fn(r)和时间基函数BLIFs展开为:

J(r,t)=∑Nk=1∑Tl=1Ik(t)fk(r,t)Tl(t)(4)

式中:N为边界的离散段数;T为总的时间迭代步数。将式(4)代入式(2)和式(3)可得离散化后的矢量位A和标量位φ:

A(rm,tn)=μ4π∑Nk=1∑∞l=-∞Ik(tn-Rmkl/c)kk,la(5)

φ(rm,tn)=-14πε∑Nk=1∑∞l=-∞∫tn-Rmkl/ct′=0Ik(t′)dt′•

∫k,l∫patchfk/郸Rds′a(6)

式中:a是第m段矢量位单位向量,

kk,l=ΔτΔz|rm-rk|2+z2l,fork≠morl≠0

4Δτkln(1+2),fork=m &l=0

空间基函数采用常用的脉冲基函数,这里要注意由于拐角处的电流连续性问题脉冲基函数的分段区间在TM波和TE波激励下是不同的:

TM:fm(ρ)=1,ρ∈ρm-1 to ρm

0,otherwise

TE:fm(ρ)=1,ρ∈ρm-1/2 to ρm+1/2

0,otherwise

具体剖分如图1所示。

图1 剖分示意图

以脉冲函数为检验函数,运用矩量法(MOM)得到:

fmaτ,[At+φ]=[fmaτ,Ei]

其中内积被定义为:

[a,b]=∫Ca•bdC′

这里采用隐式算法,矢量位A对时间的一阶导数用的是后向差分近似。

由于隐式算法的时间步长Δt>Rmin/c,则必然有落在待求时刻tn与前一时刻tn-1之间的点,此时刻的电流未知,所以要把矢量位A与标量位φ分为两个部分,时刻落在tn-1

2 新平均法和BLIFs时间基函数

当前已经提出的平均法有三步平均法和先五步后三步平均法等,这些平均法运用在本文二维情况下显得有些力不从心,其对稳定性的改进效果很差。具体表达式如下:

三步平均法:

Im(tj)=14[Im(tj+1)+2Im(tj)+Im(tj-1)]

先五步后三步平均法:

Im(tj)=18[Im(tj+2)+Im(tj+1)+4Im(tj)+

Im(tj-1)+Im(tj-2)]Im(tj+1)

=14[Im(tj+2)+2Im(tj+1)+Im(tj)]

本文提出的平均法是在三步平均法的基础上加以改进,其效果远胜于前两种平均法,具体计算式如下:

Im(tj)=1M[0.5Im(tj+1)+(M-1)Im(tj)+

0.5Im(tj-1)]

式中:M为正整数,本文算例取M=5。

这里所用的时间插值基函数的表达式为:

T(t)=sin(πt/Δt)πt/Δt•sin[a(t/NΔt)2-1]sinh(a)(t/NΔt)2-1,

|t|≤(N+0.5)Δt

0,|t|>(N+0.5)Δt

式中:a=πNδ;Δt=π(1-δ)/`0;δ的取值范围为[0,1];N为正整数,本文算例取N=7,Δt=1。

3 数值计算

本文采用Matlab软件进行仿真,并计算了4个算例,分别是TM波和TE波激励情况下的无限长方柱和圆柱。TM波圆柱半径取1.0 m,方柱边长取1.0 m;TE波圆柱半径取0.5 m,方柱取边长0.8 m。

文献[1]的结果是指仅用时间基函数BILFs代替文献[1]中的三角基函数,不经过任何平均处理后得到的结果。

假定入射波为高斯平面波,其中TM波和TE波形式各如下:

3.1 TM波

电场只有z方向,Eiz = E0 4Tπe-γ2,γ=4T(ct-cto-r•k)。式中:k为波传播方向,本节算例中入射角取π,即k=[-1,0],E0= 120π,c为真空中光速c=2.9×108,ct0=6.0,T=4.0。由于z方向无限长,所以Φ•az=郸氮z=0,从而电场积分方程可简写为:[At]tan=[Ei]tan,即Atan=∫t0Eitandt。

3.2 TE波

电场只有横向分量,磁场只有z方向,Hiz = H04Tπe-γ2,γ=4T(ct-cto-r•k)。其中H0=1.0。其他各参数同TM波。图2为BLFS时间基准函数图,图3为高斯平面波的时域图,图4为高斯平面波频域图。

图2 BLIFs时间基函数N=7,Δt=1,δ=0.5

图3 高斯平面波的时域图

图4 高斯平面波频域图

图5为TM高斯平面波激励下半径α=1.0 m圆柱,截面圆心在z轴,离散段数N=24,时间步长Δt=1.350 3×10-9电流密度随时间变化关系,观察点(1 m,0°,90°)。

图5 电流密度随时间的变化关系(一)

图6为TM高斯平面波激励下边长L=1.0 m方柱,截面中心在z轴,离散段数N=24,时间步长Δt=6.095 7×10-10电流密度随时间变化关系,观察点(0.5 m,0°,90°)。

图7为TE高斯平面波激励下半径α=0.5 m圆柱,截面圆心在z轴,离散段数N=18,时间步长Δt=7.524 8×10-10电流密度随时间变化关系,观察点(0.5 m,0°,90°)。

图6 电流密度随时间关系(二)

图7 电流密度随时间关系(三)

图8为TE高斯平面波激励下边长L=0.8 m方柱,截面中心在z轴,离散段数N=24,时间步长Δt=5.777 8×10-10电流密度随时间变化关系,观察点(0.4 m,0°,90°)(横向坐标为时间,纵向坐标为切向电流密度)。

图8 电流密度随时间关系(四)

4 结 语

由Matlab数值仿真结果可知,在TM高斯平面波激励下,三步平均法和先五步后三步平均都更提前了振荡时刻,效果更差,而本文平均法在最后时刻仍没有发现振荡现象;对于TE高斯平面波激励,虽然前两种旧的平均方法都推迟了振荡时刻但效果都不是很明显,本文方法却可以将振荡时刻近一步延迟,从而证明了本文新平均方法的优越性。

参 考 文 献

[1]Rao S M.Time Domain Electromagnetics [M].New York:Academic Press,1999.

[2]Rao S M,Tapan K.Sarkar.Time-domain Modeling of Two-dimensional Conducting Cylinders utilizing an Implicit Scheme-TM INCIDENCE[Z].Microwave and Optical Technology Letters,1997.

[3]Rao S M,Douglas A Vechinski,Tapan K Sarkar.Transient Scattering by Conducting Cylinders-implicit Solution for the Transverse Electric Case[Z].Microwave and Optical Technology Letters,1999.

[4]Pisharody G,Weile D S.A Robust Solution to Time-domain Integral Equations for Perfect Electric Conductors using Loop-tree Decomposition and Bandlimited Extrapolation[A].IEEE Antennas and Propagation Society AP-S International Symposium[C].2004(4):4 204-4 207.

[5]吴振森,泰三团,代少玉.一种改善TDIE时间步进算法稳定性的新平均方法[J].电波科学学报,2004,19(Z1):102-105.

[6]Hu J L,Chan C H.An Improved Temporal Basic Function for the Time Domain Electric Field Equation Method[Z].Electronics Letters,1999.

[7]A.Al-Jarro.Time Domain Integral Equation Techniques:1 D and 3 D Models[J].Electrical and Electronic Engineering,Nottingham:University of Nottingham,2004.

[8]赵延文,聂在平,徐建华,等.时域电场积分方程的稳定求解[J].电波科学学报,2004,19(2):148-152.

[9]逯贵祯.一种新的迭代算法研究[J].电波科学学报,2001,16(Z1):40-42.

[10]文柯一.电磁理论的新进展[M].北京:国防工业出版社,1999.