小议三角函数图象和平面向量的两个问题
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摘要：本文主要论述了高中数学三角函数和平面向量中的常见问题，分析了三角函数图形变换和由图象确定函数表达式的基本方法，探讨了平面向量基本定理和两个基本公式的应用．
关键词：变换；表达式；基本定理；基本公式
三角函数是传统的中学高中数学比较重要的部分． 这一部分内容，由于公式多，应用的技巧性强，所以使初学者常常感到十分棘手． 虽然现行教材对其有所删减，但难度依然不小． 特别是初等函数的周期性和图形的变换，在这一章里体现充分，故我们对此不能掉以轻心．
[⇩]关于图形变换
在三角函数中，常常将函数f（x）变换到函数g（x）的图形问题是我们经常容易出错的问题. 实际上它的解法的基本原理很简单，将g（x）表示成a・f（ωx＋φ）＋k的形式后，就能很好得出结果，现举例如下.
例1 函数f（x）=sin3x+cos3x经过怎样的变换得到函数g（x）=cos2x－sin2x的图象？
解析 f（x）=sin3x+cos3x=sin3xcos
设g（x）=f（ωx＋φ）⇒sin2x+
2x+π=sin3ωx+3φ+
⇒3ω=2且π=3φ+，
解得ω=，φ=π．
（1）即g（x）=f
x+π，故函数f（x）的图象先向左平移π个单位（纵坐标不变）；再将所得的图象的横坐标变成原来的倍（纵坐标不变）得到g（x）的图象．
（2）也可以先将f（x）的图象上的横坐标变成原来的倍（纵坐标不变）；再将所得图象向左平移π个单位得到g（x）的图象．
注意
（1）先压缩，再平移的单位不再是|φ|个单位，而是
个单位．
（2）这里所作的平移和压缩变换不只有三角函数才可进行，而对任意满足g（x）＝f（ωx＋φ）的两函数f（x）和g（x）均成立．
（3）由于任意函数的图象都是由点构成的，所以图象变换实质上是图象上任意一点的移动，压缩变换. 利用此法则有下面的解法．
设f（x）上任意一点（x，f（x））变换后得点（x1，g（x1）），
由纵坐标f（x）＝g（x1）得
sin3x+
=sin2x1
+π
⇒3x+=2x1+π⇒x1=x－π，
可得上面的说法（2），
又由
x1=x－π==
=x－
π得上面的说法（1）．
明确了实质，对f（x）按向量a平移后得g（x）问题也就顺理成章地解决了．
例2 函数f（x）=sin2x+
按向量a=（1，2）平移后得函数y=g（x）的图象，求g（x）．
解析设f（x）上任意一点（x，f（x1））平移后的点为（x，g（x）），
则（x1，f（x1））＋（1，2）=（x，g（x））⇒x1+1=x，
g（x）＝f（x1）+2
⇒g（x）＝f（x－1）+2=sin2x+
－2+2．
[⇩]由图象确定函数的表达式
正、余弦函数的图象一般用“五点法”作出，而给出图象确定函数表达式问题中，图象上一般不会全给出这五个关键点，所以解题时容易出错．
例3函数y=Asin（ωx＋φ）（ω>0）的图象如图1所示，求函数的表达式．
[y][4][O][x][-1][3][-4]
图1
解析因为图象的平衡轴为y=0，且过点（-1，0），（3，0），故==3－（－1）=4即ω=，A = 4，
所以y=4sin
x+φ，将（3，0）代入得
sin
π+φ=0，且x=0时，y
⇒π+φ=kπ⇒φ=kπ－π，sinkπ
－π
所以φ=2nπ－π，则y=4sin
x+2nπ－
π（n∈Z）．
从解法中，我们可以总结出这类问题的解法：先求ω，再求A，最后代点定φ，解题时一定要类比标准函数y=Asinx来作． 通常可得出A=，ω=（xmax表示函数取最大值的x，xmin表示相邻的取最小值的x）．
[⇩]公式a2=a2的应用
此公式可将距离的计算，转化为向量内积的运算，有时可给解决问题带来很大的方便．
例4已知O为ABC所在平面内一点，满足|OA|2+|BC|2=
|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，求证：O是ABC的垂心．
证明由|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2⇒・+・=・+・⇒2－2=2－2⇒（+）（－）＝（＋）（－） ⇒（＋）・＝（－）・⇒・（＋＋＋）=0
⇒・（＋）=0⇒・=0
⇒OCAB．
同理，OBAC，OABC，故O为ABC的垂心．
[⇩]平面向量基本定理的应用
我们已经知道：如果平面上非零向量a，b不共线，则平面上任一向量c，一定存在唯一的一对实数m，n，使c=ma+nb，这个定理实质上是坐标定义的理论基础，正确应用它，可以帮助我们顺利地解决许多问题．
例5 ABC中，=，=，且+λ=+μ（a，μ∈R），求λ和μ.
解析令=b，=c，则==b，=c，
故+μ=b+μ（+）=b+μ－b+
c=（1－μ）b+μc．
又因为+λ=c+λ（+）
=c+λ－c+
b=（1－λ）c+λb，
由+μ=+λ及平面向量基本定理得
1－μ
=λ，
μ=1－λ，解得λ
=，
μ
=.
[⇩]基本公式：a－b≤a+b≤a+b
我们知道向量无大小，但向量的模为非负实数，它们是有大小的，而要解决模的大小，中学只有两个公式：（1）a・b≤ab；（2）就是a－b≤a+b≤a+b，下面证明．
证明（1）由a・b≤abcosθ≤ab，
当且仅当a与b夹角为0时，即a与b同向时取得等号．
（2）由a+b2=（a+b）2=a2+b2+2a・b
≤a2+b2+2ab=（a+b）2．
又因为a+b≥0，
所以a+b≤a+b．
同理可证a－b≤a+b．
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