一节“深厚”的数学课

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五年级下册的《确定位置》一课，是小学生凭生活经验描述位置逐步发展到用抽象的数对确定位置。在实际教学中，很多老师都是就“数对”教“数对”，一节课下来，总感觉学生没有“吃饱”。有幸听了“数学王子”张齐华老师执教这一课，他对教材、学情的用心解读，对数学知识的系统把握，使得他的课备得深，站得高，看得远，从而呈现出了一节既有深度又有厚度的数学课堂。现撷取几个精彩片段，以飨读者。

「片段一给学生创新的“支点”，探求新知

课始，张老师通过猜他儿子的位置，引导学生复习了二年级学的确定位置的方法。（过程略）

师：既然二年级时我们学的方法已经能够确定位置了，那我们今天还来研究什么呢？

生：我觉得是不是有比像“第3排第4个、第4组第3个”更简洁的方法，也可以用来确定位置。

师：是呀，真和数学家们想一块去了！那下面的时间，我把任务留给四个小组，看看能不能集中大家的智慧，创造出一种更简洁，同时也很准确的方法。

学生以小组为单位展开研究，教师巡视，并把学生中出现的典型方法记录下来：

①4排3个②43③4．3④竖4横3

⑤43 ⑥4-3 ⑦4，3

师：这些方法似乎都很简洁，到底选哪一种好呢？还是请大家来作裁判吧。

大家一致批评前三种。

师：难道这三种一点值得肯定的地方都没有吗？

生：不对，它们好歹都比原来要简洁些！

师：这就是一种进步！

接着，张老师通过呈现相关的图示，组织学生进行交流，明确行和列的一些规定。（过程略）

师：试想，如果只给你第4列，行吗？只给第3行呢？（生答略）

师：看来，行数和列数还真的缺一不可，少了谁，都无法确定他的位置。既然如此，我觉得剩下的几种方法似乎都不错呀。哪种更好呢？

生：我觉得第④种肯定不行，既然有数字又有汉字，看起来就不简洁。

师：不过，老师很好奇，他们小组明知加上汉字不够简洁，为什么还非得要添上这两个字呢？

生：我知道！如果不添上这两个字，那就不知道这里的4和3哪个是行，哪个是列了。

生：如果这样，那我觉得第⑥和第⑦种也都不行。虽然它们都保留了4和3，并且也很简洁，但是，由于它没有说清楚哪个行，哪个是列，所以很容易混淆。还是第⑤种比较好，竖的箭头表示列，横的箭头表示行。连在一起就是第4列第3行，而且也很简洁。

师：同意这位同学观点的请举手。（绝大多数学生表示同意）这么多同学都同意啊？那你们不是成心为难老师嘛！

生：为什么？

师：因为数学家们最终采纳的方法，已经被你们给否定掉了！

生：啊？

师：猜猜看，他们最终采纳的可能是其中的哪种方法？

生：不会是最后一条吧？

师：真被你猜中了！那现在，你们觉得这种方法怎么样？

生：我还是觉得不行，你不说清楚哪个表示列，哪个表示行，别人还是要混淆的。

师：这么说，连数学家们的观点你们也敢反驳？

生：我觉得就可以用第⑤种，既简洁又准确。

生：用第⑦种也行，但必须加个规定。

师：什么规定？

生：得规定哪个数是行数，哪个数是列数，以后遇到这样的情况，都按照这样的规定。

师：真是太棒了！你绝对和数学家们心有灵犀！告诉大家，其实数学家们选择第⑦种方法时，也发现了它的漏洞。怎么办呢？后来一讨论，干脆一不做、二不休，给它来个规定：以后凡是像这样用行数和列数来确定一个点的位置的，我们通常都将列数写前面，行数写后面。现在，还会起误会吗？

生：不会了。

师：按照这样的规定，哪个数写前面？

生：4。

师：后面呢？

生：可以写上3。

师：中间还得加上个逗号。后来，为了进一步作出区分，他们干脆又在列数和行数外面加上了一个小括号。（边介绍边板书）像这样，用列数和行数所组成的一个数对来确定位置，就是我们今天要研究的内容。

［赏析］对于“数对”方法的处理上，张老师没有采用直接告诉学生的方法，而是在新知的生长点上质疑：“既然这样的方式已经能够确定位置了，那我们今天还来研究什么呢？”促使学生产生学习新方法的内在需要，有效地激发了学生学习新知的积极性。正如一个学生问的那样：“我觉得是不是有比像‘第3排第4个、第4组第3个’更简洁的方法，也可以用来确定位置。”张老师于是推波助澜，“是呀，真和数学家们想一块去了！那下面的时间，我把任务留给四个小组，看看能不能集中大家的智慧，创造出一种更简洁，同时也很准确的方法。”于是，学生在这种有意义又极富挑战的问题下，主动尝试着，思考着，创造出了多种确定位置的方法，而比较方法优劣时的辩论，恰恰折射出人类逐步“发明”用“数对”确定位置所经历的某些过程。

我们不可否认，用直接“告诉”学生“数对”的方法，再加以强化练习，会比较省时，而且学生可能会掌握得更好。但正如张齐华老师说的：“用数对确定位置这一内容原本附着的更为丰富、更为饱满的教学价值，往往因为这种不必要的忽视而无形中被普遍弱化了。”笔者认为，用数对确定位置的教学，不能仅仅停留在“了解、掌握”层面，而应有更重要的一些价值。通过让学生经历“产生需要简单方便的记录形式――学生自行创造记录形式――在辩论中统一记录形式”的过程，使学生获得对数学“简洁美”和“符号化思想”形成的有意义的认识。

「片段二给学生思辨的平台，深化理解

师：请符合要求的同学迅速起立。看谁反应快。（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。

（相应的五名学生一一起立。）

师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一对？

生：这五个数对列数都是3，说明他们都在第3列。

师：说起来容易，那你有本事也来说几个数对，也让一队同学站起来吗？

生：（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）。

师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑。有没有不一样的？

生：（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）。

师：发现了什么？

生：这次站起来的是一行，因为行数没变。

师：真不错！不过，说五个数对，站起来一排，张老师觉得这还不算什么。我能只给一个数对，就可以请一队同学站起来，你们信吗？

生：不信！

师：口说无凭，要不试试？「屏幕显示数对（4，x）符合要求的同学请站起来。

（第4列同学陆陆续续地站起来。教师面对第一名学生）

师：奇怪，我上面写（4，1）了没有？

生：没有。

师：那你站起来干吗？还不坐下去。

生：不对，（4，x）中的x是一个未知数，既可以表示1，也可以表示2、3等。

师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站起来。

生：不厉害。我也会！

师：是吗？谁来试试？

生：（x，4）。

……

生：老师，我还可以让全班同学都站起来。

师：是吗？越来越厉害了。试试！

生：（x，x）。

师：来，符合要求的站起来！（全班学生都站起来了）。嗯，让我看看，当x等于1时，谁站起来？「数对为（1，1）的同学举手示意了一下不错！当x等于2呢？

「数对为（2，2）的同学也示意了一下，此时，有些学生开始犹豫了，也有的学生迅速坐了下来。

师：奇怪，有人开始坐下去了，采访一下，你为什么又不站了？

生：因为我发现，当x等于1时，只有（1，1）可以站，同样，当x等于2、3、4……时，只有（2，2）（3，3）（4，4）……其他人不可以站。

生：我有补充。虽然字母可以表示任何数，但两个相同的字母只能表示两个相同的数。（此时，剩下的同学陆陆续续都坐了下去，只有符合要求的六名学生站着）

生：我知道了，可以用（x，y）。

师：这一次，符合要求的请站起来。（所有学生都站起来了）其实，有时错误并不重要，重要的是要从错误中吸取教训，并对问题获得更深入的认识。

［赏析］数对是用两个参数（几列几行）在二维空间上来确定位置，它作为一种符号刻画了物体和所在位置的对应关系。学生在学习新知时已有所领悟，这里安排报数对起立的游戏，目的是使学生对数对进一步深化理解，同时又充分体现了“数学知识从实际中来、到实际中去”的应用价值，并从具体数对（3，1）（3，2）等到半抽象数对（x，4），再到抽象数对（x，x）、（x，y），不仅把学生的求知欲望充分调动了起来，同时使学生的思维有了进一步的飞跃，水到渠成地建构了数学模型――有序数对（x，y），让学生在更高的层面上把握数对的本质。

「片段三搭建“已知”和“未知”的桥梁，提炼升华

师：今天这节课，我们一起研究了用数对确定位置。通过今天的学习，你觉得确定一个点的位置，需要几个数？

生：需要两个数。

师：一个数行吗？

生：不行。

师：为什么？

生：因为，比如只给列数，那一列中就有好多个点，如果没有行，就不知道是哪一个。

师：那如果只给行数呢？

生：也不行，因为一行中也有好多个点。

师：总之一句话，要确定一个点的位置，至少需要几个数？

生：两个数。

师：一个数真的不行吗？

生：不行。

师：那好，我们来看下面这幅图。（出示下图）瞧，他们正在排队买票呢。小明排在第二个，谁是小明？

生：戴帽子的那个男孩儿。

师：奇怪，我只给了你一个数，你们不也一下子就确定了小明的位置吗？继续来看。（出示下图）4这个点在哪儿？

生：在3的后面。

师：瞧，不也一个数就确定了点的位置了吗？

生：老师，这不一样。

师：哪儿不一样？

生：这两幅图里只有一行，所以要确定点的位置，只需要一个数就行了。而今天学的不光是一行或一列了，而是有几行几列，我们先要确定它在第几列，然后再确定它在第几行，所以需要用两个数。

师：说得真好！那么，既然确定位置，有时需要一个数，有时需要两个数，那么――

生：有时可能需要三个数。

师：多有气魄的联想！不过，用数对来确定位置，究竟有没有什么时候需要三个数？如果真有，那什么时候才会需要用到三个数呢？这些问题，就留给大家在未来的数学学习过程中慢慢去探索和研究吧！

［赏析］关于确定位置，在各个学段都能找到它的踪影，大体思路是：用具体的语言描述生活情境中的确定位置，逐步发展为用抽象的数对确定位置，再拓展到平面坐标系或极坐标系等。具体的安排是从一年级的一维空间过渡到二、五年级的二维空间，再渗透到初中、高中的多维空间的确定位置。张老师对整个知识体系是了然于胸，他一连串抛出几个问题：“为什么用数对确定位置需要两个数”“用一个数行吗”“为什么有的时候用一个数也行”“会不会存在需要用三个数来确定位置的情况”，不断地引起学生的思维冲突，说“一个数”，实则是为了“三个数”，“拉回去”实则是为了“延出去”，反思实则是为了升华。使学生在“不平衡――平衡――不平衡”的螺旋上升中，获得对“用数对确定位置”的更深理解和更准确的把握。同时，使学生看待问题不再单一，课堂的时空也不再局限于40分钟。这样的结尾如“跳高”一般美丽，知识的升华和拓展无处不散发着一种沁人心脾的数学的芬芳，它给予学生的影响也是多元而立体的。

（作者单位：江苏省无锡市洛社中心小学）

责编 /张 鹤