沼田敬忠与《小学九数名义谚解》

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【摘 要】沼田敬忠的《小学九数名义谚解》是在日本享宝年间所著的一本数学注解之书。它在日本一直未受到应有的重视。实际上它为研究《九章算术》以及《九章算术》知识体系在日本的流传提供了不可多得的宝贵史料。通过对《小学九数名义谚解》的分析，可以看出中日在数学的上继承和发扬以及沼田敬忠用来更简单的语言来解释数学问题。

【关键词】《小学九数名义谚解》；注解；九章；沼田敬忠

一、《小学九章名义谚解》的作者

《小学九数名义谚解》（以下简称《小学》），这本由豫州新谷的小吏沼田敬忠（日本江户中期）于享保五年次庚子夏六月所著的书。此书因“世之者多不知、故其於小学本注九之目、皆臆度以之、故大朱注之旨、而甚欺学者之矣、其精算者多不知文字、故亦不能此也”，是以“遂以字俚解之、又逐附其布算之一二以名小学九名解附、惟欲使生知其名耳、若其之精、世有算之在焉、不於此云”。也就是说沼田敬忠认为，教儒学的人大多不知道数学，教数学的人大多不知道儒学。而他自己在两种学问都学习的基础上，通过《小学》本将其重要的真意向初学者解说，并添加了若干重要的例题、详细的数学方法等。

在《町见术・三条》的部分里有记述，这位沼田敬忠，是正德三年（1713年）8月被征召，享保八年（1723年）5月退休。估计是新谷藩的中小姓“沼田民助”（渡边雅道，八岛龙晴），因为享保年间并没有其他的沼田姓的新谷藩士。（出自《新谷藩御用万端控》）。另外沼田敬忠与儒家学者三轮希贤（执斋，1669―1744）、三宅尚齐（1662―1741）交流之后，进入了荒木村英的关流门下学习。根据《国史大辞典》，三轮尊崇初期的新谷藩士・中江藤树，在江户开设了明论堂，门人很多，曾与开办大阪德怀堂的中井庵有过交游的经历。此外，三宅是山崎宅的门下，在江户的忍藩当过儒者。做官后，在京都专门从事著述与教育。值得一提的是，三轮与三宅都是从荷兰人处接受了町见术，这么看来，作为儒者的三轮希贤，三宅尚齐是知道荷兰町见术的。

二、《小学九章名义谚解》的几种抄本

目前发现《小学九数名义谚解》有两个版本，一是安间家史料所的藏本（简称为安间本）；另一是在京都大学藏刊本。

兵库县山市的市立安间家史料馆所藏的和算书中有一本《小学九数（小标题是小学本注九数名义谚解并附术）》（享保5年（1720年）沼田敬忠自序・宝历11年神山跋）。这是一本由序一页・凡例一页・正文39页・跋半页组成、书页大小基本上是A4的大型手抄本。在《国书总目录》中，以《小学九数名义谚解》为题的，其他在京都大学（2卷2册），东京大学（1册），东北大学狩野文库（1册）都有同名的手抄本。（此外东北大学还有另外2册手抄本）但是，远藤立贞的《增修日本数学史》、林鹤一的《和算研究集录》，藤原松三郎《明智前日本教学史》，这些手抄本在本文中没有介绍。此外，在东京大学和东北大学还藏有马场正统在永嘉2年（1849年）所写的，名为《小学九数解》的手抄本。

三、《小学九章名义谚解》的内容

《小学九章名义谚解》与《九章算术》类似，它有“条目九个条”，凡天下算术都以此就个条目统称，故曰“九数”。也就是所谓的“一曰方田二曰粟布以至九曰勾股”，这“九条是也此九数”，即方田、粟布、衰分、少广、商功、均输、赢、方程、句股九章。现就传本，依次叙述如下：

一曰“方田”（共22题），以御田畴界域，道面积之算，载易题知大概。方田章首先对“方”、“田”、“方田”以及“以御田畴界域”进行注解，其后附上方田术22题。其题论述不同形状土地面积的计算，其田亩的算法有方田（四边一样的正方形）、直田（长方形）、梯田（等腰梯形）、斜田（直角梯形）、勾股田（直角三角形）、圭田（等腰三角形）、棱田（菱形）、圆田的求面积术及图形；还有附有钱田、田、弧田、池田、卵田、三角田、三斜田、异形直田、直剪勾股田、二斜勾股田、三斜勾股田、直并三斜田但并未给予题术进行说明，只交代这些是可由前面的方田题到棱田题的变形可以推算之。按照日本的田亩租税制度，《方田》凡直线型面积算法合理，只是在一些计量单位上与唐（中国）有异同。首先，方田章记田亩长和《九章算术》一样都是以“步”为单位，但是它们的亩法是不同的，如唐井田法命：1亩=100步或者1亩=250步或者1亩=240步；而在日本统一规定：1亩=30步、1段=10亩、1町=10段。其次，

圆田积（日本）=周×径=

（这是以关孝和圆率为准，周率=355，径率=113），别于日本圆田积的算法：圆田积（中国）=周×径（此方法与日本一样）=径2（这里得到的乃属近似算法）。方田章虽然未涉及到分数的运算，但是正如《小学》编者所表达的著文宗旨“方田术数多难枚举之故，但载其容易者少许，欲使之知其大概耳”。

二曰“粟布”，以御交质变易。首列出“粟”、“布”的注解以及“以御交质变易”在日本语中的不同解释。此章问题大都为各米粮、金钱之间的换算而设，且其术至简易并且在《小学》本中开始举一反三，即在原题的基础上再延伸一题。但与《九章算术》的粟米章有差别的是，它分别列了粟布术（共12题）和粟米术（2题）两种，将粟布与粟米之法区分即：粟布指所有布帛粮食器材等与金钱之间的换算，粟米就指各种谷物之间的换算。如粟布术：

“今以银十钱买得麦二斗五升此ツモリデハ麦一石几钱ニ当ルゾト问”

“答曰一石价四十钱”

其术列麦子一石为实以所买得麦子二斗五升为法，即

1石×=40钱。

这里即是简单的物、钱的换算，但值得注意的是在这里日本还是沿用中国古代的粮食换算单位即：一石等于十斗、一斗等于十升、一升等于十合。

粟米术：“今有精米八斗一升九合于米一斗耗九合问其原米几何”

“答曰原米九斗”

曰列米一斗内减耗九合余九升一合为法除精米八斗一升九合，则8斗1升9合÷（1斗-9合）=9斗。

与《九章算术》粟米章之法约定“粟率五十，米三十，米二十七，米二十四……”即粟米、米、米、米等一斗之值相比为50：30：27：24……有所区别是，在《小学》的粟米章并未列出诸率，但其在例题设置时却将精米（即米）与米之比0.91恰好与《九章》中所约定米27与米30之比0.90近似。这或许巧合为之，也或是著者在参考《九章算术》粟米之法后的有意为之，亦或是著者依据当时日本的粮食生产情况而定……笔者认为这有待后人去细细考证，或是否也从侧面引证了《小学》的著者是在接触《九章算术》知识体系的前提下完成著作的。

三曰“衰分”，以御贵贱廪税，即今天的分配比例之术。它分衰分术（共5题）和差分术（共5题）两种。衰分术主要涉及的是物、人的上中下、高低贵贱等级的分配问题包括等差数列、等比数列等，如题：

“今有廪给米千四百石上中下士三人配分之上士之半分ラ中士取リ中士之半分下士取レバ各几何ト问”

答曰“上士八百石 中士四百石 下士二百石”

由术可知下士分得一份，中士分得二份，上士分得四份，相加之共得7份以为法。再用廪米千四百石除之就得出上士分得八百石、中士分得四百石、下士分得二百石。

而差分术与衰分术有些许的不同，差是指两物之间的差多少或者是贵贱之差，在《算学启蒙》中的差分术和问诸术都类似，例题如下：

“今有鸡兔共十二其足并之共三十八问鸡兔各几只”

答曰“鸡五羽 兔有7疋”

术曰列：一共的十二只用兔子的4个脚的数乘之得48，内减一共的足数38余10以为法，作为实际差别之数。再用兔的4足内减鸡的2足余2作为法则。实如法而一则（10÷2=5）鸡有5羽，用鸡兔共有的只数12内减之余下即得兔有7疋。

四曰“少广”（共10题），以御积幂方圆，求面积或体积或边径之法。首列开方术继乃开立方、开圆、开立圆等术，其开方、立方的布算步骤大致与《九章算术》相同。

开圆术=

此术已较为准确。此外，由于受《算法统综》的影响，少广章附有珠算图，并且给出了来自《算学启蒙》中的“明横”。

五曰“商功”（共5题），以御功程积实，详解各种体积、工程量的算法。如筑城、凿池、掘川、筑堤、填海、崩山、作家、作器物等，转而求其筑掘工人的工程量，以此来求得工人应得的工钱。与《九章算术》不同，本章并未涉及复杂的柱体计算，只是简单介绍如堤坝等类的体积计算和更多的求工程量的算法。

六曰“均输”（共4题），以御远近劳费。四题以道路远近、僦价费省，定均输粟数，或均输人数、令劳费相等。均输章4题列有比例分配、混合比例、连比例等应用问题。如

“今人数十八人??共船?借?时赁银二十钱??借????此十八人?内三人?三里乘?船??才?九人?七里乘六人?十三里乘?船路?里数?多少?应??右?赁银?出?时?各何程?问。”

答曰三里乘三人分一钱二分六里，7里乘9人分8钱8分2里，13里6人分10钱9分2里。

其术列3人×3里=9里作为三人率，9人×7里=63里为九人率，6人×13里=78里为六人率。三率并之即9里+63里+78里=150里以为法，150里÷总赁银21钱=1分4里为乘法。列三人率：9里×1分4里=1钱2分6里，即3人借此船行3里花费赁银1钱2分6里；列九人率：63里×1分4里=8钱8分2里，即9人借此船行7里花费8钱8分2里；列六人率：78里×1分4里=10钱9分2里，即6人借此船行13里10钱9分2里。

七曰“盈”（共5题）以御隐亲互见。本章主要是解决盈亏问题，多采用混合比例题及各种代数应用问题。如首题云“盗人在桥下布?配分??桥?上?在?闻?其人数?布?数?知?只云每人布十二端?分???八十二端余?每人十四端??分???六端不足???云问人数布数几何？”“答曰：盗人数九人，布数百二十端。”术曰将余的12端与不足的6端相加（12+6=18），得18端为实。另将其分布数14端与12端内剪（14-12=2），余2端以为法，以实除法则（18÷2=9）即人数为9人，再用12端×9人+12=120即为布匹数。此术的人数与总布数是不知的，可设每人分布a余布b，每人分布a′不足布b′，则依此术得人数=，布数=。问题中b、b′二数可为正可为负亦可为零，算式均可相通。这里与《九章算术》的盈不足术相同。

八曰“方程”（共2题），“以御错柔正负。主要讨论线性方程组解法，特别是一次式解法。其方法与现代的高斯消元法基本相同此外还提出了正负数及其加减运算法则。本章还有一道不定方程的问题。

九曰“勾股”以御高深广远，本章列有勾股术6题，另外还列了3题的町见术。整章详载了勾股弦及其差并互求算法，以及相似勾股形边的比例问题以致用于测望高远，并附有测高图。勾股弦及其差并互求算法，均与《九章算术》类似。本章着重于应用问题，极富趣味。

作者简介：茅清清（1989.07- ），女，江苏南通人，东华大学人文学院科学技术史专业12级硕士研究生，研究方向：数学史。