分层叠加技术在平衡区组正交表中的适用性研究

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摘 要： 结合区组设计的平衡性和组合正交性等特点，分析传统正交表的设计方式和相遇平衡概念的推广方法。引入矩阵象理论，把正交表的分层叠加方法应用在平衡区组正交表中，逐步推算证明并以算例验证该分层叠加技术的适用性，能有效拓展平衡区组正交表的构造技术，保持了分析过程中正交表数据的正交性，并减少试验次数，提高试验效率。

关键词： 分层叠加技术； 平衡区组正交表； 相遇度； 矩阵象理论

中图分类号： TN911?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2016）03?0098?03

Applicability of layering and superposition technology in

balanced block orthogonal table

YANG Xue

（Changchun Architecture and Civil Engineering College， Changchun 130000， China）

Abstract： According to the characteristics of the balance and combination orthogonality of the block design， the design method of the traditional orthogonal table and promotion method of meet equilibrium concept are analyzed. The matrix image theory is introduced to apply the layering and superposition method of the orthogonal table to balanced block orthogonal table. The applicability of this technology is verified by gradual calculation and certified with a computing instance. The method can effectively expand the construction technology of the balanced block orthogonal table， maintain the orthogonality of the orthogonal table data in analysis procedure， reduce the test number， and improve the test efficiency.

Keywords： layering and superposition technology； balanced block orthogonal table； meet degree； matrix image theory

平衡区组正交表在区组设计上要求具有组间平衡、相遇平衡和正交性等特点，同时，它作为正交表的推广，与正交表的设计相类似，能像正交表一样开展试验设计与数据分析。此外，在构造技术上，平衡区组正交表也和正交表相似。前人经过深入研究，引用矩阵象理论推导出分层叠加技术这一简单的构造技术。这一技术主要针对两个只有一列水平数不一定相同的正交表，通过重新编号逐层叠加而形成水平数是原正交表水平数之和的高水平列。这种构造技术简单便捷，能提高试验设计的效率。通过推导证明和算例检验正交表分层叠加技术在平衡区组正交表中的适用性和有效性，能促进分层叠加技术的推广应用，为后续的研究奠定基础。

1 区组设计的平衡性和正交性

传统平衡不完全区组设计与部分平衡不完全区组设计能反映这一水平不同的区组设计的平衡性，其中重复次数概念又名组间平衡概念[1]。根据平衡区组设计中有关设计因子和总体均值的分析总结，组间平衡概念的定义如下：

定义 当区组设计[Db×kv]能够满足[rx=i=1brixki=][r>0，?x∈1，2，…，v]这一条件时，区组设计是组间平衡的。

传统分析中有很多种组间平衡概念的推广方法，如张应山等学者提出了一个试验设计组间平衡区组的方法：当[rx=i=1brixki=r>0，?x∈1，2，…，v]时，区组设计组间平衡。这一方法在传统分析上有着一定的优势，但难以满足组间平衡条件，在构造设计上较为困难[2]。

平衡区组正交表在区组设计上不仅具有组间平衡的特点，还存在正交性。正交性概念起源于方差分析中的独立性，能保障不同的人以不同的设计开展试验都能得到一致的分析结论。此外，广义正交表具有很多和正交表相同的性质[3]。

性质 广义正交表[GLnb1v1…vt；vt+1…vm]有着以下的常见性质：

2 分层叠加技术在平衡区组正交表中的应用

根据推理设两个相遇和组间平衡区组正交表如下：

也是相遇和组间平衡区组正交表，从而定理得证。

3 算例与说明

根据上述的定理把类型不同而水平数相同的平衡区组正交表进行叠合，进而组成了区组大小不一样的平衡区组正交表。

这一例子，最后的平衡区组正交表以外的平衡区组正交表都具有饱和性，可见该试验设计既不影响分析过程中正交表数据的正交性，又减少了试验次数，提高了试验效率[8]。

4 结 语

平衡区组正交表作为正交表“有条件”的推广，不仅有着组合正交性质，而且具有组间平衡性质。从定理的推导证明中可以看出，分层叠加技术在平衡区组正交表中的应用能导致区组表示列对应的区组个数发生变动，而保持了其他列水平数不变。这种构造技术具有两大明显的优点：一是只要求水平数一样，能够保持区组设计的平衡性；二是进行同时叠加，可以保持叠加后的相互正交性。从推导和算例中可以看出，分层叠加技术适用于平衡区组正交表的构造设计，能提高试验设计的效率，值得推广应用。

参考文献

[1] 廖靖宇，张建军，田萍，等.正交平衡区组设计矩阵象的概念及其基本定理[J].数学的实践与认识，2012，42（17）：170?177.

[2] 罗纯，潘长缘.穷举法寻找正交平衡区组设计[J].应用概率统计，2011，27（1）：1?13.

[3] 张明珠，吴亚桢.正交平衡区组设计的替换构造[J].山西大学学报（自然科学版），2012（3）：38?41.

[4] 田金亭，张应山，张晓琴，等.平衡区组正交表与正交表的比较及应用[J].数学的实践与认识，2009，39（22）：19?23.

[5] 廖靖宇，杨林，张应山，等.平衡区组正交表的分层叠加技术[J].数学的实践与认识，2013，43（24）：113?122.

[6] 庞善起.一类正交投影矩阵及其相关正交表[J].应用数学学报，2005（4）：668?674.

[7] 王惠婷，廖靖宇，张建军，等.正交平衡区组设计与广义正交表[J].许昌学院学报，2013，32（2）：8?13.

[8] 吴亚桢，廖靖宇，张应山，等.正交平衡区组设计统计分析模型参数估计的分布特征研究[J].数学的实践与认识，2012，42（3）：212?221.