基于高职环境下微分中值定理教学的研究

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摘 要 微分中值定理是《微积分》教学中的一项重要内容。它不但是导数应用的理论基础，也是构建《微积分》中“微分”与“积分”两大概念体系的桥梁。张景中等指出，“直观易懂，简易明快，让学习者用较少的时间和精力就能明白其原理”是第三代《微积分》发展的方向。这里探讨了微分中值定理的直观的教学方法，以提高学生学习微分中值定理的反应速度和理解力。

关键词 高职教育 微积分 微分中值定理 直观教学

中图分类号：O172.1 文献标识码：A

1微分中值定理的直观教学

1.1罗尔定理的直观教学

由罗尔中值定理的条件，（1）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，（2）函数f（x）在开区间（a，b）内可导，（3）f（a）=f（b）。

图1

因为f（x）连续函数在闭区间上[a，b]上必能取到最小值m和最大值M。

略去f（x）C的情形。M与m至少有一点在区间[a，b]内部取到，不妨设在（a，b）内至少有一个点 ，使f（ ）=M。

如图1割线P0N的斜率k与割线P0H的斜率满足

k≥0≥k。

因为函数f（x）在 点可导，所以曲线y=f（x）上P0点处切线存在，设切线的斜率为k切，由切线的定义以及极限的性质，所以

且，

所以可得罗尔定理的结论k切=f'（ ）=0。即在（a，b）内至少存在一点 ，使得f'（ ）=0。

1.2拉格朗日定理的直观教学

由拉格朗日中值定理的条件，（1）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，（2）函数f（x）在开区间（a，b）内可导。

图2

由罗尔定理上述证明的启发，可以在曲线y=f（x）上，选择曲线弦AB两侧距离弦AB最远的点，如P0点（见图2 ）。

因为f（x）在 0点处可导，所以曲线y=f（x）上P0点处切线存在，设P0点处切线的斜率为k切。如图可知，割线P0N的斜率k与割线P0H的斜率k满足k≥kAB≥k

又由

所以由定理得f'（ 0）=kAB。

因为弦AB的斜率

kAB=。

所以可得拉格朗日定理的结论，

f'（ ）=kAB=

1.3柯西定理的直观教学

由柯西中值定理的条件， （1）f（x）和g（x）在闭区间[a，b]上连续，（2）f（x）和g（x）在开区间（a，b）内可导，且g（x）≠0，

设参数方程，所确定的曲线如图3：

图3

由参数方程确定的曲线L弦AB的斜率为

kAB=，

同样在曲线L上选择曲线弦AB两侧距离弦AB最远的点P0（g（ ），f（ ））（见图3 ）。

因为曲线L上P0点切线的斜率

，

由拉格朗日定理的证明可知，P0点切线的斜率k切=kAB，

所以可得柯西定理的结论

.

2结束语

在高等职业教学中，由于受到课时资源与学生数学基础的影响，一些定理的证明可以不讲，“知其然，而不知所以然”是必然的，除教学内容上显得空洞乏味外，由于受到传统数学知识认知过程的影响，也时常不能满足部分学生学习的要求。一种直观易懂的教学方法可以提高高职数学教学的效率和教学效果。通过上述的讨论，介绍了自己对微分中值定理教学方法的一些浅薄的认识，期望对读者在教学中有所帮助。

基金项目：安徽省精品资源共享课程 （2013gxk118）； 淮南职业技术学院教研项目（HJX14-1）。