金融高频时间序列的MODWT波动分析

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摘要：与经典小波变换相比，利用最大交叠小波变换（MODWT）对非平稳时间序列进行分解时，由于没有下采样的过程，因此可以最大限度地减少数据信息的遗失。该文通过对股指期货主力合约一天中的采样数据进行研究。发现MODWT可以有效地对序列中的波动与趋势进行分解。此外文章中还发现，如果分解层数足够多，那么大部分的趋势信息则被波动信息所覆盖。因此总结出用小波对零均值数据进行滤波时，要适当选择分解的层数。

关键词：最大交叠小波变换；分解；消噪

中图分类号：TP391 文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)10-2454-02

Financial High Frequency Time Sequence MODWT Fluctuation Analysis

ZHAI Bo

(Department of Business, University of Shanghai Science and Technology, Shanghai 200090, China)

Abstract: Compared with the classical DWT, the maximum overlap wavelet transform is non-decimated, so when decompose time series, it can reserve the maximum data information. This paper researches the daily trading amount data of stock index future top contact and found that MODWT can effectively decompose the fluctuations and trends. There is another finding that if the level of decomposition is enough, the trend information can be covered by the fluctuations. So when wavelet is used as the filter for the zero-mean data, the level should be selected appropriately.

Key words: maximum overlap wavelet transform(MODWT); decomposition; denoising

时间序列分析作为数理统计学的一个分支，是研究随机过程的一个重要的工具，在社会科学、自然科学、管理与工程技术领域有着广泛的应用。伴随着计算机技术的发展，数据的获得与处理变得越来越容易。以金融高频时间序列为研究对象是我们日常生活中接触非常多的问题，也最难处理，尤其是一些数据带有非线性、非平稳性和长记忆性等非平稳性的特征。长期以来,小波由于其良好的时频特性，一直都是时间序列处理强有力的工具，在数学界更有“数学显微镜”的美称。与经典的离散正交小波变换(DWT)相比，modwt没有下采样的过程，因此在每一个时间点上都有一个相应的小波函数的值与其对应，因此其突破了正交小波对数据的长度必须是2N的限制。对于高频数据，由于采样十分紧凑，因此MODWT也大大避免了因为下采样造成了数据信息的遗失。由于离散平稳小波基的冗余性，在处理相关问题上优于离散正交小波变换。

本文介绍了MODWT的基本性质，并从股指期货主力合约的日数据入手，介绍了小波去噪的原理。与此同时，总结出在用小波进行消噪过程中，不易将尺度放得过大，否则会滤除掉有用的信息。

1 预备知识

1.1 高频金融时间序列

高频时间序列数据是指在细小的时间间隔上抽取的观测值，在金融市场中，高频率采集的数据可以分为两类：高频数据和超高频数据。高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。而超高频数据则是指交易过程中实时采集的数据。高频数据和超高频数据两者之间的最大区别是:前者是等时间间隔的，后者的时间间隔是时变的。一般而言，金融市场上的信息是连续的影响证券市场价格运动过程的。数据的离散采集必然会造成信息不同程度的缺失。采集数据频率越高，信息丢失越少；反之，信息丢失越多。

1.2 MODWT（最大交叠小波变换）

MODWT的小波基为：

（1）

其中：j=-1,…,-J,K=1,…N，J=log2N，N是时间序列的长度，例如

由小波分析理论我们知道，通过小波基的伸缩和平移，原序列可以分解成各个尺度空间内的细节序列和近似序列的加和：

（2）

其中i是经过MODWT变换之后得到的第i层细节系数，而每个子序列i都是该尺度上小波基的线性组合

（3）

2 股指期货主力合约算例

本文以股指期货主力合约为研究对象，由于股指期货的特殊性，其一天之内的交易量比较频繁，投资者的行为对其价格指数的影响也相对比较明显，因此日内高频数据的波动性对投资者的行为决策提供了相当重要的依据。这里我们通采集了沪深300指数的主力合约在8月13日这一天的交易时间指数点的样本，样本长度为259，其时序图形如图1~图2所示。

图2是经过四层MODWT分解之的尺度系数的重构，可以看出，相比原序列，这条曲线明显平滑了许多，并且隐藏在微小的波动之下的真实趋势显露了出来。这就是小波这个数学工具的最大的功能之一。序列经过去噪之后，一些高频的，非正常规律的波动被消除了，留下的是序列自身的起伏趋势信息，也是所要研究的最本质的规律。从图中可以看出，序列的起伏是带有周期性的，主要集中在100S和50S这两个数值上。因此，对于交易者而言，以这两个周期进行买或卖可以获得最大收益。

对经过预处理之后的时间序列数据进行八层MODWT变换，得到式八组小波系数序列d1,…d8，以及第八层的尺度系数a8，如图3所示，由于MODWT没有下采样的过程，因此分解之后在每个尺度上都有259个数据。

由以上各层尺度上小波系数图可以看出，第一层的小波系数波动最为剧烈，而且波动值较小，因此属于典型的高频信息，这些小的波动是非本质的，可以看作是噪声。尺度越大，波动越平缓，并且缓慢地呈现出一定的趋势。这样得出一个规律：对时间序列的消噪来说，小波分析可以很好地实现高低频分量的分离，但这种分离是有一定限度的，如果分离层数过少，容易遗漏频率比较低的噪声。相反分解的层数过多的话，则会将频率比较大的真实信息过滤掉。

图4显示了八个尺度上了细节系数之和与原序列的比较，用圆圈表示细节序列和，加号表示原序列。可以看出，对应于x轴每个值，圆圈里边都含有一个加号，这说明两序列基本上完全拟合，这也说明最后一个尺度上的尺度系数对我们进行小波分解几乎产生不到影响。

3 结论

本文中简单介绍了小波这一数学工具在处理时间序列时发挥了非常有效的作用。它通过对小波函数与尺度函数的伸缩和平移，将序列的高频信息与低频信息分离开来，从而达到消除噪声的目的。但文中也说明了另一个问题，在分解的尺度选择上要适中，过小的话容易将一部分高频信息遗漏，过大的话容易滤除有用信息。文章还利用真实数据验证了，对一组零均值的序列，当分解到极大尺度时，可以忽略尺度信息而完全用波动信息的加和来表示原序列。

参考文献：

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