关于恒成立问题的讨论

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇关于恒成立问题的讨论范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

高中阶段讨论的恒成立问题，涉及到函数、方程、不等式导数、数列等相关知识。解决这类问题往往方法千变万化，但基本都通过相互转化、数形结合的方法来解决。从而考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到积极作用，在高考中成为一个热点。常见的恒成立问题大致有以下几种解题思路。

一、形如kx+b＞0在区间［m，n］恒成立的问题

这类问题成立的充要条件k=0b＞0或k≠0f（m）＞0f（n）＞0

例如：ax+2＞0在x∈［-3，2］上恒成立，求实数a的取值范围。

解析：（1）a=0时，2＞0恒成立；

（2）a≠0时，-3a+2＞02a+2＞0?圯-1＜a＜.

综上，所以-1＜a＜.

二、形如ax+bx+c＞0在x∈R上恒成立的问题

这类问题成立的充要条件a=b=cc＞0或a＞0=b-4ac＜0.

例如：若函数f（x）=lg（mx+mx+1）的定义域为R，则m的取值范围是?摇?摇.

解析：要使f（x）=lg（mx+mx+1）的定义域为R，即mx+mx+1＞0恒成立，x∈R.

（1）m=0时，1＞0时，成立；

（2）m≠0时，m＞0m-4m＜0?圯0＜m＜4.

综上，所以0＜m＜4.

注：学生在解题过程中易忽略m=0这种情况。

三、形如ax+bx+c＞0在x∈［m，n］上恒成立的问题

这类问题讨论起来比较复杂，方法较多，常见的有：

（1）利用函数与方程的关系，根据根的分布情况解决令ax+bx+c不等式成立的充要条件为：

①a=0f（m）＞0f（n）＞0或②a＞0＜0或③a＞0≥0-＜mf（m）＞0或④a＞0≥0-＜nf（n）＞0或⑤a＜0f（m）＞0f（n）＞0

（2）也可结合函数图像求f（x）=ax+bx+c的最小值，f（x）＞0即可.

过程：①a≤0f（m）＞0f（n）＞0或②a＞0m≤-≤nf（-）＞0或③a＞0-＜mf（m）＞0或④a＞0-＞nf（n）＞0

（3）还可用分离变量的方法，转换成求函数求最值，a≥g（x）恒成立，等价于a≥g（x）；a≥g（x）等价于a≥g（x）.

例如：已知不等式x+px+1＞2x+p，如果当2≤x≤4时不等式恒成立，求p的取值范围。

解析：原不等式等价于p＞

令g（x）==-x+1，x∈［2，4］

g（x）=g（2）=-1

所以p＞-1.

四、恒成立问题注意变量的确定

例如：不等式x+px+1＞2x+p，如果当|P|≤2时，不等式恒成立，求x的取值范围。

解析：此题粗略一看与上例类似，但实际上是关于P的不等式。

原不等式化为（x-1）p+x-2x+1＞0.

成立的充要条件f（-1）＞0f（2）＞0，所以x＜-1或x＞3.

五、数形结合与恒成立问题

例如：设函数g（x）=x+1，f（x）=a+，若恒有f（x）≤g（x）恒成立，则求a的取值范围。

解析：此题学生可能采用分离变量的方法，但求函数最值时会遇到困难，我们可以采用数形结合的方法。设y=a+可得（x+2）+（y-a）=4，它表示以（-2，a）为圆心，2为半径的上半圆。y=x+1表示斜率为，在y轴上的截距为1的一条直线。由下图可知直线与圆相切且在直线下方a取值最大。由圆心（-2，a）到直线y=x+1距离等于半径2，得a=-5或a=（舍去），所以a∈（-∞，-5］。

六、恒成立问题中的不同变量与相同变量

例如：已知两个函数f（x）=7x-28x-a，g（x）=2x+4x-40x

（1）若对任意的x∈［-3，3］都有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围；

（2）若对任意的x∈［-3，3］都有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围。

解析：第一个问题是取相同x时f（x）≤g（x），可用分离变量的方法解题。

原不等式等价于a≥-2x+3x+12x，x∈［-3，3］恒成立.

令h（x）=-2x+3x+12x，利用导数求得h（x）=45，所以a≥45.

第二个问题是指任取一个x对应的函数值f（x）都不比任取一个x对应的g（x）大，这里的f（x）与g（x）中自变量可以不一样，解此题必须符合f（x）≤g（x），f（x）=147-a，g（x）=-48，所以a≥195.

七、导数与恒成立问题

例如：已知函数f（x）=x+x+bx+c，若f（x）在x=1时取得极值，且x∈［-1，2］时，f（x）＜c成立，求c的取值范围。

解析：当x=1时，f（x）=3x-x+b=0，b=-2.

f（x）＜c，x∈［-1，2］时成立.

即c-c＞x-x-2x，x∈［-1，2］时成立.

令g（x）=x-x-2x，利用导数求g（x）=2.

八、与对称性、周期性相关的恒成立问题

例如：f（x）=sinx+acosx的图像的一条对称轴方程x=，求实数a的值。

解析：由题意可知x∈R时，恒有f（x）=f（-x）.

即sinx+acosx=sin（-x）+acosx（-x）=cosx+asinx.

则（a-1）（cosx-sinx）=0，x∈R都成立，只有a=1.

九、与数列相关的恒成立问题

例如：不等式［（1-a）n-a］lga＜0对于一切正整数n都成立，求实数a的取值范围。

解析：令f（n）=［（1-a）n-a］lga，则：

a＞1，f（n）递减数列，f（n）＜0，即f（1）＜0，所以a＞1.

0＜a＜1，f（n）递减数列f（n）＜0，即f（1）＜0，所以0＜a＜1.

十、反证法

例如：设0＜a，b，c＜1，求证（1-a）b，（1-c）a不可能同时大于。

解析：假设（1-a）b＞，（1-b）c＞，（1-c）a＞

则abc（1-a）（1-b）（1-c）＞

又0＜a（1-a）≤［］=

同理：0＜b（1-b）≤，0＜c（1-c）≤.

因此，abc（1-a）（1-b）（1-c）≤，与假设矛盾，所以原结论成立。

通过对恒成立问题的探讨，我们不难发现，每个知识点之间是相互关联的，平时要注意观察，善于总结各种解题方法和思想。只有这样才能提高自己的数学分析能力和运用各种知识解题的能力。

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文