变力做功的探讨

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功的计算在中学物理中占有十分重要的地位,中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况,对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用,下面对变力做功问题进行归纳总结如下:

1、等值法

等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等,则可以通过计算该恒力的功,求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算,从而使问题变得简单。

例1、如图1,定滑轮至滑块的高度为h,已知细绳的拉力为F(恒定),滑块沿水平面由A点前进S至B点,滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点运动到B点过程中,绳的拉力对滑块所做的功。

分析与解:设绳对物体的拉力为T,显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变,但其方向时刻在改变,因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下,人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变,所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图1可知,在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为:

2、微元法

当物体在变力的作用下作曲线运动时,若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变,且力与位移的方向同步变化,可用微元法将曲线分成无限个小元段,每一小元段可认为恒力做功,总功即为各个小元段做功的代数和。

例2 、如图2所示,某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上,力F的大小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向一致,则转动一周这个力F做的总功应为:

A、 0J B、20πJC 、10JD、20J.

分析与解:把圆周分成无限个小元段,每个小元段可认为与力在同一直线上,故ΔW=FΔS,则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J,故B正确。

3、平均力法

如果力的方向不变,力的大小对位移按线性规律变化时,可用力的算术平均值(恒力)代替变力,利用功的定义式W=scosθ求功。

例3、一辆汽车质量为105kg,从静止开始运动,其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0,f0是车所受的阻力。当车前进100m时,牵引力做的功是多少?

分析与解:由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0,是线性关系,故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。

由题意可知f0=0.05×105×10N=5×104N,

所以前进100m过程中的平均牵引力:

W=S=1×105×100J=1×107J。

4、用动能定理求变力做功

在某些问题中,由于力F大小或方向的变化,导致无法直接由W=Fscosθ求变力F做功的值.此时,我们可由其做功的结果――动能的变化来求变力F的功:W=ΔEk.

例4、如图3所示,AB为1/4圆弧轨道,半径为0.8m,BC是水平轨道,长L=3m,BC处的摩擦系数为1/15,今有质量m=1kg的物体,自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

分析与解:物体在从A滑到C的过程中,有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功,重力做功WG=mgR,水平面上摩擦力做功Wf1=-μmgL,由于物体在AB段受的阻力是变力,做的功不能直接求。根据动能定理可知:W外=0,

所以mgR-umgL-WAB=0即WAB=mgR-umgL=6(J)

5、用机械能守恒定律求变力做功

如果物体只受重力和弹力作用,或只有重力或弹力做功时,满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功,可用机械能守恒定律来求解。

例5如图4所示,质量m=2kg的物体,从光滑斜面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下,在D簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零,已知从A到B的竖直高度h=5m,求弹簧的弹力对物体所做的功。

分析与解:由于斜面光滑故机械能守恒,但弹簧的弹力是变力,弹力对物体做负功,弹簧的弹性势能增加,且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面,弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点,则状态A:EA= mgh+mV02/2

对状态B:EB=-W弹簧+0 由机械能守恒定律得:

W弹簧=-(mgh+mv02/2)=-125(J)。

6、用功能原理求变力做功

能是物体做功的本领,功是能量转化的量度.由此,对于大小、方向都随时变化的变力F所做的功,可以通过对物理过程的分析,从能量转化多少的角度来求解.

例6、两个底面积都是S的圆筒,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为h1和h2,如图5所示,已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度相等,则这过程中重力所做的功等于.

分析与解:由于水是不可压缩的,把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中,利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管,如图6中的斜线所示。最后用功能关系,重力所做的功等于重力势能的减少量,选用AB所在的平面为零重力势能平面,则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为:

所以重力做的功WG=.

7、用公式W=Pt求变力做功

对于机器以额定功率工作时,比如汽车、轮船、火车启动时,虽然它们的牵引力是变力,但是可以用公式W=Pt来计算这类交通工具发动机做的功。

例7、质量为4000千克的汽车,由静止开始以恒定的功率前进,它经100/3秒的时间前进425米,这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变,求阻力为多大?

分析:汽车在运动过程中功率恒定,速度增加,所以牵引力不断减小,当减小到与阻力相等时车速达到最大值。已知汽车所受的阻力不变,虽然汽车的牵引力是变力,牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。但由于汽车的功率恒定,汽车的功率可用P=Fv求,因此汽车所做的功则可用W=Pt进行计算。

解:当速度最大时牵引力和阻力相等,

汽车牵引力做的功为 根据动能定理有:

解得:f=6000(N)

8、图象法

如果参与做功的变力,方向与位移方向始终一致而大小随时变化,我们可作出该力随位移变化的图象.如图7,那么图线下方所围成的面积,即为变力做的功.

例8、用铁锤将一铁钉击入木块,设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时,能把铁钉击入木块内1 cm.问击第二次时,能击入多少深度?(设铁锤每次做功相等)

解题方法与技巧:解法一:(平均力法)

铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功,但摩擦阻力不是恒力,其大小与深度成

正比,F=-f=kx,可用平均阻力来代替.

如图8,第一次击入深度为x1,平均阻力=kx1,做功为W1=x1=kx12.

第二次击入深度为x1到x2,平均阻力=k(x2+x1),位移为x2-x1,做功为W2=(x2-x1)= k(x22-x12). 两次做功相等:W1=W2.解后有:x2=x1=1.41 cm, Δx=x2-x1=0.41 cm.

解法二:(图象法)

因为阻力F=kx,以F为纵坐标,F方向上的位移x为横坐标,作出F-x图象(图9).曲线上面积的值等于F对铁钉做的功.

由于两次做功相等,故有:

S1=S2(面积), 即: kx12=k(x2+x1)(x2-x1),所以Δx=x2-x1=0.41 cm

总之,对于变力做功的问题,首先注意审题,其次在此基础上弄清物理过程,再建立好物理模型,最后使用以上谈到的各种方法进行解题,就会达到事半功倍的效果。