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教学目标:
1.使学生理解整除的意义.
2.认识有余数的除法.
3.掌握有余数的除法中各部分之间的关系.
4.培养学生分析、判断及逻辑推理能力和解决实际问题的能力.
教学重点:
理解整除的意义,进一步认识有余数的除法及各部分间的关系.
教学难点:
【摘 要】 本文重点阐述小学数学“归纳”教学环节存在的问题,以案例展示、解读、反思与修正阐明作者对“归纳”环节教学有效性的思考和感悟。
【关键词】 问题 反思 修正
数学的“基本思想”主要指演绎和归纳,这是数学教学的主线,是上位思想。演绎和归纳不是相矛盾的,其教学也不是矛盾的。有时通过归纳预测结论,再通过演绎验证结论,然后再次归纳得清晰的结论;有时经历演绎再归纳出结论。课改前“双基”教学重演绎轻归纳,课改后新课程教学,更应该重视培养学生的归纳能力,推进课改的深入发展。
《数学课程标准》前言阐述:“让学生亲身经历将实际问题,抽象成数学模型并进行解释应用的过程……”。这里“抽象成数学模型”就是归纳的过程,让学生在解决实际问题过程中学会从特殊到一般的推理能力。纵观当前课堂教学情况,“归纳”教学环节存在教师代替学生归纳的伪归纳现象和半归纳的状况。下面以两个教学案例进行解读、反思修正。
案例一:北师大版三年级上册正方形周长。
教材中教学资源:求边长30厘米的地砖周长。
学生尝试自主探究解决问题,反馈情况如下:
生1:我的方法是把地砖四条边的长相加,得到正方形地砖的周长。
近日听了五小三年级三位老师的《有余数的除法》的“同课异构”展示课,感触很深,总觉得实现有效课堂有一点不容忽视,那就是生成性教学的调控艺术。
我们知道,预设与生成是课堂教学的两翼,缺一不可。其中重视生成显得尤为重要。什么是生成性教学?在弹性预设的前提下,在教学过程中生生、师生合作与对话、碰撞中,出现超出教师预设方案的新问题、新情况,这些新情况根据教师不同的处理会呈现出不同的价值。
以《有余数的除法》为例来提醒自己,也提醒年轻的老师们,生成性教学的调控艺术要恰到好处。
【案例1】
Z老师教学《有余数的除法》:
⒈出示提问:7颗桃子分别放进3个盘子里,每盘几个?还剩几个?
⒉学生动手操作模拟分盘后,一学生汇报说:我先给每个盘子放2颗,还剩1颗再切成3份,每盘放一份。
师:一个桃子是不能切开分的。
教师在教“有余数的除法”这一内容时,要使学生初步理解有余数除法的意义,掌握有余数除法的计算方法,懂得除法试商的方法,并且知道余数要比除数小的规则。有效的教学强调的是有效果、有效率、有效用。通过这部分教学,不仅要教会学生书本的知识,还要让学生学会举一反三,培养学生初步的观察能力、概括能力和综合分析能力,这些都是学生要学好数学的基本能力。以生活为教学模型,采取开放、民主的教学形式,让课堂气氛变得活跃,激发学生学习的积极性,培养学生自主学习、合作学习的良好学习习惯。教案的设计难度要由易到难,由简单到复杂,根据学生的具体情况安排教学内容,在掌握基本解题方法和步骤以后再深入进行探究,遵循循序渐进的原则进行教学。
一、有关基本概念的教学
爱因斯坦说过:“兴趣是最好的老师”。诱发学生的学习兴趣,是保持高效教学的重要途径。小学生活泼好动,注意力容易分散,教师要采用生动、有趣的教学,帮助学生集中注意力。有余数的除法的概念抽象难懂,如果只是单纯的理论教学学生难以接受吸收,不能做到真正的学以致用。数学来自于生活,与我们的生活息息相关。利用生活中的实例将书本知识精彩生动的引入,不仅能使学生更快地明确即将学习的主题,更能让学生深入地理解学习的内容。将书本的知识现实化,以实际具体的事项代替生硬的文字,不仅可以引起学生对知识的兴趣,让学生意识到数学就在我们身边,也可以让学生轻松理解有余数的除法的基本概念。之前学生已经完成了整数除法的学习,对比教学,对于区分和掌握不同的概念发挥了重要作用。例如:有6个苹果,要平均分给3个小朋友,怎么分呢?那么7个苹果呢?这是一个有余数的除法的现实模型,用此事例引导学生对生活中数学进行思考,独自寻求解决问题的方法。可让学生对此事件尽情发散思维,培养学生大胆猜想,敢于创新的学习习惯。只要是可以解决实际问题的方法,都是正确的方法。6个苹果一个小朋友分两个刚好分完,但7个苹果要怎么分呢?7个苹果,三个小朋友,先每一个小朋友发1个苹果,还有4个,再一人发1个苹果,发现还剩下1个苹果。为了公平起见无法继续进行派发了。更有奇思妙想的是可将苹果切成四瓣,一人一瓣,即每人分了1/3个苹果。先要明确余数的概念,余数通常称为剩余的数。这道例题生动、有趣地阐述了有余数的除法这一概念,讨论过后对结理论的规范性表述可让学生理性地认识这一知识点:7个苹果分了6个,每个小朋友分到了2个,2是商,剩下的一个就是“余数”。具体的实例可以简单、直观地将书本中的知识描述出来,更通俗易懂。对比学习的教学方法帮助学生温故而知新,既巩固了旧知识理解了新知识,又对二者有了明确的区分意识。
二、具体算法的教学
掌握有余数的除法的基本概念以后,要学会如何实际操作有余数的除法的运算。运算过程的每一个步骤都要谨小慎微,只要一个环节出现差错,都不能得到正确的答案,也会导致前功尽弃。有余数的除法的运算与整数的除法方法相似,采用对比的教学方式,先让学生观察有余数的除法的式子,并且将它与整数除法的运算进行对比和猜想,自行进行讨论。解有余数的除法时首先要列出竖式,对答案进行大概估算,然后将估算值代入算式中进行试商。还是以分苹果为例:7个苹果是被除数,3是除数,由6个苹果分给3个小朋友,每个小朋友可以分到2个苹果,即2是6除以3的商。回忆乘法口诀,估算7除以3的商是2或者3,将2和3依次代入竖式进行运算,然后观察哪个符合余数小于除数大于零的要求。将2代入竖式上方,因为3个小朋友每个小朋友分到了2个,即一共分了6个苹果,得出2×3=6,将6写在竖式下方。因为一共有7个苹果,现在只分了6个,7-6=1。根据余数要小于除数,因为1是小于3的,一个苹果无法继续分给三个小朋友了,所以1就是余数,将1写到竖式最下方。得出最终答案后,将所得答案进行验算,检验是一个重要的步骤,帮助检查答案是否正确,督促学生养成谨慎细心的学习习惯。用具体事例对书本知识进行讲解,不仅让原本枯燥乏味的书本知识变得生动有趣,还可以将不同的知识点之间连串起来,起到在所学知识中承上启下的作用。学会有关有余数的除法运算的三大基本法则后,学生必须要学会举一反三,将所学知识进行融会贯通。掌握了有余数的除法之后,教师可以带领学生进行练习,练习题的难易要循序渐进,几道简单的计算题让学生更熟悉运用有余数的除法,加深对知识点的记忆。在掌握有余数的除法的基本解题思路和步骤以后,教师便可继续出稍复杂的题目,带领学生进行探究。
高效的课堂离不开教师与学生的互动,离不开对具体事例的观察、猜想、讨论和总结,活跃的课堂气氛帮助学生集中注意力,学生也可更容易理解书本的内容,是保持高效率教学的重要途径。通过“有余数的除法”的学习,学生不仅要掌握书本知识,还要学会发现问题、解决问题,将数学与实际生活紧紧结合起来,将所学知识在生活中运用,将书本的数学思想吸收融合为自己的数学思维,养成自主学习、合作学习的学习习惯。
数学学科的本质,就是教给学生解决生活实际中问题的能力,引导学生建立严谨的逻辑思维习惯、科学态度。然而,小学数学知识大部分只强调学生用所学知识解决生活中的问题,培养学生严谨的思维能力和科学态度方面则相对较匮乏。还有部分教师在教学过程中只重视科学知识的传授,以题海战术为手段,最终为了迎合考试,而让数学课堂变得枯燥乏味,甚至偏离了数学课堂的本质。作为培养下一代社会全面的建设人才来讲,我想失去了思维能力和创新研究的人才,一定只是些机械的“蠢材”吧!为此,强烈建议教师,不要在数学课堂中把孩子们变成“计算器”“打字机”“搬运工”……我们要充分挖掘教材中的内容,让孩子们形成良好地解决问题的思维习惯,总结一套高效的学习方法,更要让孩子们对科学知识产生浓厚的学习兴趣,建立良好的科学研究态度。下面我将个人在工作中的几个案例展示给大家,共同探讨:
案例一:在教学“有余数的除法”时,教材中强调余数一定要比除数小。很多教师在这里都是采取让学生死记硬背的办法,并在随后的练习巩固中进一步强化。我讲到这里时提出了这样一个问题:“同学们,大家想一想为什么余数一定要比除数小呢?请大家独立思考后在将自己的意见和同桌交流。”很多学生冥思苦想,一筹莫展。几分钟过去了情况依旧,我知道他们是没办法独立完成了,于是便叫停了,让他们反过来这样想:“如果余数可以比除数大或可以和除数相等,那么81÷2可以怎么算?大家拿出作业本自己试着找答案,看谁找的答案多。”只见学生争先恐后地找着答案,有的学生已经开始小声讨论了。忽然有个学生举手,我试着让他回答。他说:“老师,我知道为什么余数一定要比除数小了,因为如果余数可以比除数大或相等的话,那么就有很多个答案,这个算式的答案就不确定了,这样就无法进行准确的机算了。”同学们深有同感,向他报以热烈的掌声。
案例二:在教学除法算式中,除数不能为“0”时,我也没有让学生简单的死记硬背,而是提出一个问题:“同学们你们想一想除数为什么不能为0?”教室里学生依旧苦着脸,有的紧锁眉头,有的抓耳挠腮,不知从何入手。紧接着我提出了下一个问题:“请同学们看黑板上的两个算式‘0÷0=’和‘108÷0’学生们拿起笔开始计算了。不一会儿学生们开始讨论了,“我的第二个算式怎么找不到答案”“我写了好多答案验算都不对”……我知道学们已经可以确定原因了。于是我顺势作了总结:如果除数是“0”,当被除数是“0”时,大家的答案是多少都对,因为验算都是正确的,但这个无限答案的算式显然就失去了意义;当被除数不是“0”而是其他数时,你们能找到答案吗?验算一下对吗?对!无法找到正确答案,这个算式也失去了意义,所以“0”不能作为除数。其实从除法的意义上讲,如果除数是“0”,就表示把单位整体分成“0”份,“0”份即一份也没有,分都没分怎么知道是多少?
案例三:在教学“圆的周长”时,我给学生们布置了这样的家庭作业:“地球赤道的半径a是6378.14公里,如果我们在离地球一米的地方画一个圆,这个圆的周长比地球赤道的周长多多少米”?请同学们回家计算,明天来和大家交流。当时,我听到不少学生在议论:“哇,不晓得有好多米了?”第二天,早早地就有学生到办公室找我,“老师你昨天给我们布置的家庭作业数字太大了,我无法计算,干脆把答案告诉我吧!”我故意卖了个关子,自己找答案吧!只见孩子们个个遗憾地走出了办公室,在教室里又展开了激烈的讨论。上课了,学生迫不及待地请我给大家讲解昨天的家庭作业。我走上讲台,在黑板上写出“6.28米”。孩子们个个瞪大了眼睛说:“老师不对吧,这么大个圆就只多出6.28米,怎么可能呢?”这时有个同学说,我用计算器算了是6.28米,但我不敢讲,觉得太不可思议了。我说:“看来有些同学还是没有动脑筋啊!听我来讲解吧!”圆的周长公式是:C=2πr,那么地球赤道的周长是:C=2πa,而地球赤道外一米的周长是:C=2π(a+1),可分解为C=2πa+2π,大家比较一下是不是只是多了2π,即6.28米。孩子们立即恍然大悟。我又补充道其实任何圆的半径增加1米,周长都增加6.28米。在日常生活中小圆的半径增加1米,我们可以看见明显的变化,可是地球赤道的半径增加1米,在宇宙中观察就犹如沧海一粟,看不出变化,这也是学生以后要学习的相对论。
(作者单位 四川省乐山市峨边县大堡小学)
摘 要:有余数除法是低年级数学的关键学习点,从思维逻辑培养、引导和具体教学方法上进行阐述,以给广大教师以有效启迪。
关键词:过程;计算规律;体验;思维
有余数的除法是低年级数学计算的一个过渡,是计算从单纯、简单到稍微复杂的一个起始点。更是数学学习难度加强后给学生心理压力的一个初步体现,认识有余数除法的教学意义,并合理应用教学方法,是低年级数学教师需要大力探求的。
为什么说有余数除法是数学学习的一个转折?首先,这种计算打破了以前整数除法的口诀限制,是一种知识更新,也是一种认知新起点。其次,从计算步骤来讲,有余数除法已经超越了“一步到位”,而是需要至少两个步骤才能完成,增加了学生思维的难度,对学生的思维方略是一个考验。那么如何把握这个关键学习阶段呢?
一、用具体数学问题导出计算过程
此时的学生已经熟悉了表内乘、除法计算,对简单的除法竖式已经有所了解,并且大致已经能操作基本过程,但具体的有余数除法还不能明确原理,更不能熟练进行计算。这时,枯燥的讲解是意义不大的,最好的方法是用数学解题示例的演示来“说话”,比如,教师可以出一道事例题:家里有6个苹果,分给爸爸、妈妈和自己,每人几个?学生会很快给出答案,并能用竖式计算方法计算出来;如果有7个苹果,同样三个人区分,会出现什么结果呢?先问学生结果,其实多数学生会得出答案:还剩一个,但怎么来的答案,回到计算就不容易了。这时教师就可以利用竖式计算,试商方法在此展示,这样的计算演示要经过几次,熟能生巧,熟也能让学生找到规律,充分理解。
二、着重强调“余数要比除数小”的计算规律
“余数要比除数小”是有余数除法计算的一个规律和计算法则。对这一理论教师一定要着重强调,并在实际操作中重复,让学生加强记忆。要让学生理解这个原理也利用人的思维逻辑规律。比如,用试商来强调,可以用设问法:教师在演示时先问学生,这个商可以吗?在学生的思维逻辑过程中,慢慢得出结果,引导学生思考、理解。另外就是一定要验证结果,余数是不是比除数小,这个过程既是一种强调的方法,相当于重复讲解,也是让学生确认这个理论的方法。
摘要:近些年来,新课标不断推出新的要求、新的挑战,随着这些要求的提出,小学数学的教学也面临着改革。当下小学数学中最重要的课题就是如何激发调动学生的积极性,如何让学生有自主学习的意识。针对小学数学教学方法的改革,本文主要针对小学数学中有余数除法的教学的改革进行研究。
关键词:小学数学 除法 余数 教学方法
一、设置意境,激发学生的学习兴趣。
小学的教学中最首要的任务是激发学生的学习积极性,以前的数学教学过程就是学生机械式的“接受”知识的过程,这样不仅影响了教学效率,还降低了学生的学习积极性。 新课标中的教学方法是由老师对数学问题设置相应的情景,引导学生进入情境中,对所设的问题进行思考,这样不仅培养学生主观能动性和独立思考能力,还提高了学生的学习兴趣和积极性。
如:在教解余数的除法时,老师可以设置一个“团团抱”游戏,从班级小朋友随意挑出20名参加游戏,其中男女小朋友各10名,让所有参加的小朋友围成一个圈并在讲台上走动,然后老师随意喊一个数,小朋友根据老师喊的数抱成一团,落单者被淘汰,这时候老师让其他小朋友记下老师刚刚喊的数及剩余的人数,随后游戏继续,以此类推直到最后只剩两位小朋友,也就是这场游戏的赢家,老师可以适当的给他们精神或物质鼓励。最后恢复课堂秩序,老师让小朋友把刚刚所记下来的数字读出来,这时候老师提问:为什么会有的小朋友没有团团抱?由此引出余数这个概念。
通过这个游戏,小朋友不仅充分认识了余数―分后还有剩余,还了解了余数永远比除数小,使原本枯燥的课堂更加的生动,气氛更加活跃,学生更能够在快乐中学习。
二、 生活教育,化抽象为具体。
生活伴随着我们左右,生活中的数学更是无时无刻与我们相见。在教学实践中,把枯燥乏味的数学具体化、生活化,把学生的生活中的故事课堂化,使抽象的数学化为有趣的生动的生活课,这样有益于学生理解余数的含义,并能够灵活运用。
在一次集体备课活动中,一位教师提出这样的问题:“除数是小数的除法有余数吗?”真可谓一石激起千层浪,这个问题立即引起了大家的热议。教师们主要有两种不同的观点,他们各执一辞,谁也说服不了谁。
A方观点:
小数除法根本没有余数的说法。小数除法应该研究计算结果是否是循环小数,而不是是否有余数。小数除法法则中说到“除数是小数的除法,先移动除数的小数点,使它变成整数,然后按照除数是整数的小数除法来计算”,而除数是整数的小数除法法则中有一句“如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数的末尾添0,再继续除”,也没有提到最终的余数的问题。如果说除到哪一位,剩下的是余数,那到底除到哪一位呢?这样的话,余数岂不是不确定啊,何谈余数?
B方观点:
小数除法也应当是有余数的。如“0.09÷0.04商2,余数是( )”,这类题目是考查余数所在的数位问题,要不商2以后,余下的部分不叫余数又叫什么呢?
刨根究底:
看来,小数除法到底有没有余数还真是教师们普遍困惑的问题,值得思量、探究。为得到比较权威的解释,我查阅了金成梁编著的《小学数学疑难问题研究》一书,这本书在第47页对带余除法的定义是:一个整数除以另一个不为零的整数,得到整数商后还有余数,这样的除法叫做“带余除法”。带余除法的定义也可以这样表述:已知两个整数a、b(a≠0),要求这样的两个整数q、r,使得q、r满足b=aq+r,0
看来,“带余除法”是定义在自然数集上的一种运算。只要除数不为零,不完全商和余数都存在,并且都是唯一的。按照这一说法,小数除法应该没有余数这一说法。
一、低效教学与高效教学的概念
什么是低效教学?课改专家、华东师大崔允博士说:“教学有没有效率,并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真,而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好。如果学生不想学或者学习没有收获,即使教师教得很辛苦也是无效教学。同样,如果学生学得很辛苦,但没有得到应有的发展,也是无效或低效教学。”
在教学过程中,教师的教与学生的学脱钩,从而导致效率极低甚至是零的教学,叫低效或无效教学。
什么是高效教学?高效教学是新课程背景下催生的一种教学理念,即指在正确的教育教学思想指导下,通过教师的有效行为,取得最佳的教学效果,促进学生有效的发展。在新课程理念下,高效的数学教学要以学生的进步和发展为宗旨,教师必须具有一切为学生发展的思想,运用科学的教学策略,使学生乐学、想学、学会、会学,促进学生的全面发展、主动发展和个性发展。可见,二者有着本质的区别。下面就以两个教学案例来判定什么是有效教学,什么是是低效教学。
二、两个教学案例给了我们答案
【案例一】
1.创设情景。
(1)师:小朋友们,你们喜欢体育运动吗?看来,每个小朋友都很喜欢体育。瞧,我们学校的小朋友正在开运动会呢!
摘 要:在小学数学小数除法计算中,是根据商不变的性质,把除数是小数的除法转变成除数是整数的除法进行计算。可是,在实际教学中,小数除法的余数问题却在练习和试卷中出现,小数除法的余数唯一,看起来很容易,细细思考并不简单,让小学五年级学生做确实有一定的难度。
关键词:扩大法;添加法;计算法;分解法;定位法
新人教版小学数学五年级上册中主讲了小数的乘法和除法问题。可是,在实际教学中,我发现学生练习册和考试试卷中却有这样的题:13.8÷2.7的商是5时,余数是( ) A.3 B.0.3 C.0.03。此题虽是选择题,答案也唯一,看起来很容易,细细思考并不简单,让小学五年级学生做确实有一定的难度。
小数除法是否有余数,如果有又怎样确定,还真是教师普遍困惑的问题,值得思考、探究。为得到比较权威的解释,我查阅了徐兆强编著的《初等数论》一书,这本书在第9页对带余除法的定义是:对任意整数a,b且b≠0,存在唯一的数对q,r,使a=bq+r,其中0≤r
这个定理主要是对整数除法而言的,但是,在实际解答小数带余除法的过程中,由于有很多师生不明确小数带余除法的意义,故得不出一个确定的答案。
王相国在《不完全商与小数的带余除法》一文中作了阐述:做带余除法的方法为:按照除法运算法则作a÷b,当商到个位仍不能除尽时,所得到的整数部分商为不完全商,而被除数减去除数与不完全商的积所得的差,即为余数;对于确定的数a,b,不完全商与余数是唯一的。
对于此题,通过研究和向学校里数学前辈进行了请教,我用了下列几种方法帮助学生正确理解。
一、扩大法