数学期望范文精选

[摘 要] 离散型随机变量数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是用概率论和数理统计来反映随机变量取值分布的特征数。通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期让学生了解数学期望的理论知识与人类实践紧密联系，它们是不可分割、紧密联系的。

[关键词] 数学期望；离散型随机变量

【中图分类号】 O211.67 【文献标识码】 A 【文章编号】 1007-4244（2013）07-124-2

一、离散型随机变量数学期望的内涵

在概率论和统计学中，离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P（=xi）之积的和称为数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。数学期望又称期望或均值，其含义实际上是随机变量的平均值，是随机变量最基本的数学特征之一。但期望的严格定义是∑xi*pi绝对收敛，注意是绝对，也就是说这和平常理解的平均值是有区别的。一个随机变量可以有平均值或中位数，但其期望不一定存在。

二、离散型随机变量数学期望的作用

期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数。是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。在解决实际问题时，作为一个重要的参数，对市场预测，经济统计，风险与决策，体育比赛等领域有着重要的指导作用，为今后学习高等数学、数学分析及相关学科产生深远的影响，打下良好的基础。作为数学基础理论中统计学上的数字特征，广泛应用于工程技术、经济社会领域。其意义是解决实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析提供准确的理论依据。

三、离散型随机变量的数学期望的求法

摘 要：概率统计是研究随机现象与统计规律的科学，数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征。概率问题与我们的生活紧密联系，在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。通过几个例子将数学期望与经济生活中的问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决经济生活中的经济决策的可行性，体现了数学期望在经济生活的经济决策问题中的应用。

关键词：概率统计；数学期望；统计规律；经济生活

中图分类号：F224 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2013）17-0194-02

一、数学期望的由来及定义

（一）数学期望的由来

17世纪的欧洲，贵族中盛行赌博。当时法国有一位非常伟大的物理学家、数学家帕斯卡（大气压强的单位就是以此人的名字命名的），他的两位贵族朋友也喜欢赌博。一日，两人各拿出等额的资金进行赌博。他们玩了一种游戏，在一局游戏中，他们胜出的概率是一样大的，也就是说，这种游戏是完全靠运气的。两人约定，谁先赢满5局，谁就赢得所有赌金。在甲赢了4局，乙赢了3局时，一突发事件使得赌局不得不中止，这时有一个非常现实的问题是，赌金该怎样分。他们将这个问题交给了帕斯卡，帕斯卡并没有立即给出答案。而是与法国另外一位大数学家费马进行讨论。那么，他们是怎样解决这个问题的呢？

（二）定义

数学期望（mathematical expectation）简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人们实际生活紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。

【摘要】 数学期望是随机变量最重要的特征数之一，它是消除随机性的主要手段.本文通过对数学期望的概念、性质以及应用性的举例，阐述了数学期望在随机事件中的重要地位和很强的应用性.

【关键词】 数学期望；概率；随机事件

引 言 在17世纪中叶，以为赌徒向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼长久的份赌本问题：甲、乙两赌徒赌技不相上下，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部的赌本100法郎.当甲赢二局、乙赢了一局时，因故（国王召见）要中止赌博，现在要分这100法郎.1654年帕斯卡提出了分法，在其解法里面也首次出现了“数学期望”.

本文通过借鉴诗松的《概率论与数理统计》、中山大学数力系翻译的P.L.Meyer的《概率引论及统计应用》和石庆东发表在中国科技信息上的例谈数学期望这篇文章，对数学期望的相关性质以及应用做了进一步的探讨.

1.数学期望的定义

由于随机变量分为离散随机变量和连续随机变量，所以在定义数学期望式分两种情况.

1.1 离散随机变量的数学期望

设离散随机变量X的分布列为：

离散型随机变量的数学期望题，具有内容新、背景新、结构新、实际应用性强等特点. 在知识网络交汇点设计试题是数学命题的新特点和大方向，本文结合实例简要介绍数学期望与其它知识的交汇.

一、与不等式同行

例1 设[S]是不等式[x2-x-60]的解集，整数[m，n∈S].

（1）记“使得[m+n=0]成立的有序数组”为事件[A]，试列举[A]包含的基本事件；

（2）设[ξ=m2]，求[ξ]的分布列及数学期望[Eξ].

解析 （1）由[x2-x-60]得，[-2x3]，即[S={x|-2x3}]，由于整数[m，n∈S]且[m+n=0]，所以[A]包含的基本事件为（-2，2），（2，-2），（-1，1），（1，-1），（0，0）.

（2）由于[m]的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，

所以[ξ=m2]的所有不同取值为0，1，4，9，且有[P（ξ=0）=16，][P（ξ=1）=13]，[P（ξ=4）=13]，[P（ξ=9）=16]，

数学学科的系统性和严谨性决定了数学知识之间深刻的内在联系. 这里的联系，既包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系.又包括各部分知识之间的横向联系，知识的纵横联系必然形成知识网络的交汇，近年来“强调基础、能力立意、在知识网络交汇点处设计试题”已经成为最近两年高考试题的主要特色.因此，在学习中，应该关注并研究数学交汇问题的求解，以开拓视野，进一步提高数学的思维能力.本文结合实例简要介绍数学期望与其他知识的交汇性.

一、与不等式整合

例1 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0

（1）求方差Dξ的最大值；

（2） 求2Dξ-1Eξ的最大值.

解析 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p， P（ξ=0）=1-p，

从而Eξ=0×（1-p）+1×p=p，Dξ= （0-

p）2×（1-p）+ （1-p）2×p=p-p2，

【摘要】本文先引用了一个定理，接着通过两个例子阐述了函数的数学期望在一些期望求解问题中的应用能够大大简化其解题过程.

【关键词】随机变量;函数;数学期望

在实际应用中，常常需要求随机变量函数的数学期望.例如，Y=g(X)，要求E(Y)，我们可以不必求出Y的分布，而直接由X的分布来求E(Y).

定理 设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)（g为连续函数）.

（1）设X为离散型随机变量，其分布律为

p{X=xk}=pk,k=1,2,….

若级数∑∞[]k=1g(xk)pk绝对收敛，则有

E(Y)=E［g(X)］=∑∞[]k=1g(xk)pk.

摘 要 数学期望是随机变量最基本的数学特征之一，它是简单算术平均的一种推广。数学期望的应用范围比较广，在经济决策别在物流管理、投资决策和风险分析方面起着重要的作用，往往是决策者决策时的主要依据，还有许多经济、生活方面的问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决。本文例举了数学期望在各类决策中应用的实例，体现了数学期望在实际生活中的有效性和实用性。

关键词 数学期望 经济决策

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）05-0087-02

数学期望简称期望，又称均值，是随机变量最基本的数学特征之一，它是简单算术平均的一种推广。其本质运用就是对于一个随机事件，采用计算数学期望的方法将问题简化并得出最优方案，结合实例分析总结出这些方法的实用性和有效性，最终得到较科学的决策方法。因其符合客观条件，合理科学，得到了人们的关注。于是通过实践，人们打破了数学的界限，将它推广到了经济活动和实际生活，特别在物流管理、投资决策和风险分析方面，有许多问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决。

一、相关随机变量的数学期望

1.数学期望的性质

（1）设C是常数，则有E（C）一C

（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E（CX）=CEX

摘 要：教育孩子时切忌用消极的心理暗示，不要总是挑孩子的缺点、指责孩子的错误，那样做会让孩子失去信心，丧失克服困难的勇气。

关键词：心里暗示；数学教学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）05-287-01

有位哲人说过：“用暗示的方式演绎出严肃的真理，比直截了当提出更能为人接受。”在教育学生的过程中也是一样，在适当的时候加入一些心理暗示的教学模式，往往会事倍功半。期望心理暗示指的是在无对抗的条件下，用高期望的语言或者行为对被期望者进行诱导的间接方法，从而对他人的心理和行为产生主动影响，使人们按照一定的方式去行动或接受一定的意见，使其思想、行为与暗示者期望的相符合。美国心理学家罗森塔尔考查某校，随意从每班抽3名学生共18人写在一张表格上，交给校长，极为认真地说：“这18名学生经过科学测定全都是智商型人才。”事过半年，罗森又来到该校，发现这18名学生的确超过一般，长进很大，再后来这18人全都在不同的岗位上干出了非凡的成绩。这一效应就是期望心理中的共鸣现象。

一、人有可被高期望暗示的心理趋向

暗示是利用通常不用的大脑储备的手段，目的在于加快学习。后来人们把它归纳为心理学上的依据：人有可暗示性 。即人的可意会性、可启示性、可影响性，“是人类个体之中一种普遍的品质”，由于它才使人和环境间的无意识关系发生作用。人虽都具有可暗示性，但接受暗示的能力各不相同。它受制于发出暗示和接受暗示双方各自的体力、智力、职业能力、社会地位等多种因素。如果前者在这些方面都优于后者，那么就可产生较强的暗示能力，反之则可能使暗示受到抵制以至失去作用。人具有接受暗示的能力，但同时也具有反暗示的能力，这种反暗示的防线通常有三道：1、逻辑防线，“对于它印象上认为不合逻辑动因的，一概挡驾”；2、感情防线，“对于不能达到创造信任感和安全感的，一律挡驾”；3、伦理防线，“凡与个人的道德原则相矛盾的暗示，都是不可能被接受的”。这三道防线为人所共有。在使用暗示教学时，决不是要去强行突破这三道防线，而是相反，要取得与这三道防线的协调，引起心理上的共鸣，从而克服它。

二、高期望心里暗示易产生高效益

心理学家马尔兹说：“我们的神经系统是很‘蠢’的，你用肉眼看到一件喜悦的事，它会做出喜悦的反应；看到忧愁的事，它会做出忧愁的反应。” 当你习惯地想象快乐的事，你的神经系统便会习惯地令你处在一个快乐的心态。所以，我们只能输入积极的语言，比如，“在我生活的每一方面，都一天天变得更美好”、“我的心情愉快”、“我一定能成功”等，语句简洁有力，不要含糊、脱离实际及与人攀比。有人说“我要赶超某某”某某不是一个不变的指标，人家也在发展。你要与自己比，成为自己心目中最好的，永远向上的。

在新课程改革实施的过程中，要想较为全面的实现教学目标，大面积提高教学质量，必须抓好“期望生”的教育。期望生的可塑性很大，抓则可进，不抓则退。如果我们肯花大力气去抓，期望生则大部分可转化为优等生。重视数学期望生教育，符合大面积的期望生及其家长的要求和心愿，可以调动全体学生学习的积极性，使每个学生在德、智、体各方面都全面发展。

一、数学“期望生”及其特点

设某次考试的平均成绩为μ，标准差为σ，我们把考试成绩在[μ-σ，μ+σ）内的学生称为“期望生”。若某次数学考试的成绩在[μ-σ，μ+σ）内的学生称为数学“期望生”。笔者以高中入学成绩为依据，划定数学“期望生”，进行探索研究。

数学“期望生”的共同特点：学习成绩中等或中等偏下，课堂上能听懂，能懂得基础知识和基本概念，基础知识掌握不牢，解题过程不规范，计算较繁琐，速度慢，准确度不高，证明条理不清，做题习惯于模仿，独立思考能力差，学习方法不够科学；学习品质方面，竞争意识较差，从众意识较强；意志不坚强，抗挫折能力较差；自卑心理高于自信心，缺乏持久的进取心；自我控制与自我约束能力较差；等等。

数学“期望生”还有各自不同的特点，根据他们不同的特点，可把他们分为三类：①苦干型。这类学生学习勤奋，珍惜时间，由于数学素质较低，数学智力没得到开发，理解、记忆等能力较弱，方法不科学，不善于思考，因此，学习效率低，成绩不见起色，常常事倍功半。②心理型。这类学生平时成绩较好，但大型考试如期末统一考试或检测时发挥不正常。自卑心理严重，缺乏自信心。以至于认为自己不行，没有出路，造成对教师缺乏信任或对老师怀有敬而远之、敬而怕之的心理，很少主动提问和回答问题。③可塑型。这类学生学习成绩忽高忽低，他们具有正常的智力水平，但他们的意志较为薄弱，缺乏毅力和恒心，缺乏战胜困难的勇气和锲而不舍的精神。自我约束、控制能力差，极易受到外界的因素和周围环境（如网络游戏、言情小说等）的影响，一遇到困难就裹足不前，垂头丧气，甚至自暴自弃，最终落入困难生的行列。这类学生占数学期望生总数的70%，他们都很聪明，若措施得力，可以教育成为优等生。这类学生教育的关键是强化学习兴趣，提高学习动力，加强意志培养。

二、数学“期望生”的教育研究

1.教育步骤。①确定对象，归类存档。我们以高中入学成绩为依据，计算全校学生数学的平均成绩和标准差，划定数学“期望生”，确定研究对象，建立期望生的档案。②制定计划，确定目标。每一个期望生都要制定学习计划，确定下一阶段的学习目标，并确定一名“赶超对象”。③采取措施，有效转化。加强对期望生的德育和品质教育，培养学习兴趣，提高课堂教学艺术，对学习的各个环节进行具体的指导。④及时总结，再定新标。在每次考试结束后，由班主任、任课老师和学生一起分析总结，并让家长提出切实可行的意见。

2.教育策略。①多途激励，培养品质。期望生由于受到学习上的挫折，使他们缺乏必要的学习自信心，因此在数学教学中我们必须利用多种途径，来调整学生的不良心态。②讲究艺术，激发兴趣。教师要落实“以人为本”新理念，教学中，注意创设问题情景，改变传统的输入式教学法，形成师生互动，生生互动的自主探索模式；教学内容从易到难，降低坡度，以期望生接受为宜；教法上充分考虑期望生的实际情况，分类推进，因材施教。③及时反馈，有效辅导。对期望生的学习情况要及时进行反馈，针对期望生的知识缺陷，进行必要的个别辅导十分重要。辅导时要把握好个别辅导的时机并选取灵活的辅导形式。课前预习时，主要辅导新课涉及到的旧知识，先弥补缺陷，使期望生能和优生同一起点学习新课，以消除障碍。课上合作交流时，及时出现在他们身旁，启发他们深入思考、积极探讨问题，增加学习的动力。课后面批作业，发现问题，当面辅导，立即解决。教师除了有针对性对学生个别辅导之外，还可培养一批优秀的数学辅导员，对期望生进行辅导，效果较好。④合作学习，帮扶结对。数学合作学习，是教学中学生学习的一种组织形式，是学生在小组或团队中为了完成共同的数学课堂学习任务，按照明确的责任分工进行的互学习。这是一种新的学习模式，主要致力于构建一种学习群体。通常以小组学习为主要形式。数学合作学习有利于面向全体，促进每一个学生的发展，其中期望生的获益最大。⑤指导学法，提高能力。加强学法指导，构建数学模型，形成数学能力。在课堂教学中，应不失时机地创造机会，指导期望生如何学习，使他们不但能“学会”而且能“会学”。教学过程中，尽可能地让期望生掌握较多的数学学习方法，养成良好的学习习惯，培养善于调控自己学习过程和灵活应用各种数学知识的能力。⑥坚持家访，家校合作。加强对期望生的家访，特别是对那些对子女要求不严的期望生的家访，家长和学生很受感动，这些期望生也进步较快。与家长一起促膝谈心，谈家长的人生观、世界观、责任心、事业心对孩子潜移默化的影响，谈家长的鼓励和信任对学生成长的意义，谈学生的长处和进步，谈与孩子交流的方法和时机，谈老师对学生的期望和信心，谈同学对孩子的帮助和友谊，同时也让家长谈对老师的意见和建议、对孩子的理解和希望，使大部分家长意识到家庭教育的重要性与家校合作的必要性，与老师联手为学生的进步营造宽松、和谐的心理空间。对学生的期望值过高或过低，都会导致学生学习信心不足或不稳定。教师和家长要有意识地给予他们更多的赞许和信任，这些都将会转化为期望生的自信心，期望生一旦进步，会得到成功的情感体验，增加学习动力。

摘 要 数学期望是概率论中的一个重要概念，是随机变量的数字特征之一，体现了随机变量总体取值的平均水平，本文主要阐述了数学期望的定义和性质，讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。

关键词 概率统计 数学期望 实际问题 应用

早在17世纪，有一个赌徒向当时的法国数学家提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。他们两人获胜的机率相等.但是当其中一个人赢了2局，另一个人赢了1局的时候，由于某种原因终止了赌博。问：赌资应该怎样分才合理？”那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率统计的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+（1/2）*（1/2）=3/4，或者分析乙获胜的概率为（1/2）*（1/2）=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决，风险决策中的期望值法便是处理风险决策问题常用的方法。数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平。

一、期望的概念及性质

1、离散型随机变量的数学期望

设X是离散型随机变量，其分布律为P（X=xi）= pi（i=1，2……），若级数xi pi绝对收敛，则称该级数的和为X的数学期望，记作E（X），即：

E（X）=xi pi

2、连续型随机变量的数学期望