三角函数范文精选

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三角函数与函数交汇的试题是近两年常考题型，主要以选择题形式呈现，用来考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力，难度较大.

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解答三角函数与函数交汇的试题时，需要充分运用三角函数的奇偶性、周期性和对称性，并结合函数性质的定义进行讨论；要尽量作出所要求函数的示意图，从数形结合的角度考虑问题会更直观.

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■ 函数y=■的图象大致为（ ）

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A B

一星题:立足概念,夯实基础

二星题:立足重点,查漏补缺

三星题:立足难点,提升能力

一星题

1. 已知M=α 2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z,N={α|-6≤α≤6｝,则M∩N=

(A)

(B) α -≤α≤

(C) {α|-6≤α≤6｝

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三角函数的值域及其周期性有它的独特之处，针对这一特点每年都设置有不同的高考试题，常见的考查形式是直接考查，在2012年的高考试题中则以数列为背景考查了这两个性质，难度比较大.

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一般地，解答三角函数与数列交汇的试题的思路是根据三角函数的周期性确定数列的特点，进而利用数列的相关知识求解.

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■ 数列{an}的通项公式an=ncos■+1，前n项和为Sn，则S2012=_____.

破解思路 本题的设问启发考生，这个数列必定是一个特殊的数列，于是要集中精力发现这个特殊性，为此必须列出一定数量的项，通过观察发现其特点. 根据通项公式计算得到：a1=1，a2=2×（-1）+1，a3=1，a4=4×1+1=5…. 根据三角函数的周期性可知该数列中奇数项都等于1，偶数项a2n=2n×（-1）n+1. 进一步求和发现a1+a2+a3+a4=6，a5+a6+a7+a8=6，…. 根据通项公式的特点，可以判断这个特性可以推广，得到a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6. 进而求出S2012.

经典答案 由已知，a4n+1=（4n+1）×cos■+1=（4n+1）×cos■+1=0+1，a4n+2=（4n+2）×cos■+1=（4n+2）×cosπ+1=-（4n+2）+1，a4n+3=（4n+3）×cos■+1=（4n+3）×cos■+1=0+1，a4n+4=（4n+4）×cos■+1=（4n+4）×cos2π+1=（4n+4）+1，所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6，即S2012=■×6=3018.

几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.

1．角函数的计算和证明问题

在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：

（1）三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.

注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.

(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.

例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（）

（A）锐角（B）钝角（C）直角

一、定义不清,混淆象限角与区间角

例1若α, β为第一象限角,且α>β,则

(A) sinα>sinβ (B) sinα

错解: 函数y=sinx在第一象限是增函数, α>β, sinα>sinβ,选A.

错因分析: 象限角的概念不清,误将第一象限角理解成0,上的角. 若取α=2π+,β=,可知A明显不对.

正解:第一象限角的取值范围为2kπ,2kπ+(k∈Z), 当α=2π+,β=时,sinαsinβ,即三种大小关系都有可能. 选D.

二、忽略隐含条件,扩大取值范围

例2已知α∈(0,π)且sinα+cosα=,则cos2α的值为

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三角函数应用题既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变形的技能，因而备受命题者的青睐，常常以解答题的形式出现，难度中等.

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解三角函数应用问题有下列几个基本步骤：第一步，阅读理解，审清题意；第二步，搜集、整理数据，通常是引入角作为参变量，建立数学模型；第三步，利用所学三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，求出结果；第四步，将所得结论转译成实际问题的答案.

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■ 如图1，某市拟在长为8千米的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈[0，4]）的图象，且图象的最高点为S（3，2■）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°.

（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；

（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

三角函数在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或计算器，没了它们怎么办呢？

那么，三角函数有没有笔算可以解决的方法呢？带着这样的思考对一些三角函数的算法进行了一些小结，供大家一起研讨：

正弦和余弦的较为精确的算法：

众所周知，在数学里有一个重要的公式：cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB。从这个公式里我们可以看出每个函数值之间都有存在着一定的联系，那么这个联系是什么呢？通过这个联系能否找到笔算解决的办法呢？归根结蒂这个联系就是上面的公式，因为通过此公式可以从一个函数值推出其它三角函数值，也就是所谓的另种笔算解法。

经上面介绍，大家大概可以明白这个解法是利用所推出公式来计算的，但是不是要推出并记住所有的公式呢？大可不必，只需9个就可以了，

即：C2=2C2-1

C3=C（4C2-3）

C4=8C2（C2-1）+1

教材：角的概念的推广

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1.回忆：初中是任何定义角的?(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2.讲解：“旋转”形成角(P4)

突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

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三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现. 大部分三角函数解答题都与三角形有关，主要以三角形为背景考查正弦定理、余弦定理和三角函数等知识点的同时，又考查同学们是否具有挖掘已知条件，优化求解过程的计算能力.

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解答此类问题的基本思路是凭借整体代入、差异分析（边与角互化、角与角间的转化）、消元、降幂等思想方法的引领，结合三角公式，充分运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理进行三角变换.解题时要注意灵活运用A+B+C=π及角的范围等隐含条件.

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■ 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b=5c，C=2B，则cosC等于（ ）

A. ■ B. -■

C. ±■ D. ■

本章的重点是锐角三角函数的定义和直角三角形的解法，难点是综合运用知识解决实际问题.通过本章的学习，同学们要会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求相应锐角，能运用锐角三角函数解直角三角形及相关的实际问题.

一、深入理解锐角三角函数的概念

1.理解锐角三角函数的定义.

（1）正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关；

（2）在RtABC中，∠C=90°，锐角三角函数值[ab]、[ac]和[bc]都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而唯一确定，因此它的大小仅与角的大小有关，而与所在的直角三角形的边的长短无关；

（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一个完整的符号，tanA不是tan与A的积，离开了∠A，“tan”就没有意义了，只有合起来，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；

（4）符号tanA表示∠A的正切，在符号tanA中，习惯省去角的符号“∠”，当用希腊字母α、β等表示角时，其正切中角的符号习惯上也省去，但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时，角的符号“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

2.应用锐角三角函数的定义.