运筹学最大流问题

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了八篇运筹学最大流问题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

运筹学最大流问题范文第1篇

1.引言

 

随着我国高校大学生教学改革和考试改革的逐步实施，学校对各专业的课程体系及教学大纲都进行了大幅度调整。《运筹学》作为一门应用学科，主要采用系统优化的核心思想，对社会各种系统进行整体优化，力求寻找最优解，因此这门学科被广泛应用于军事、工业、商业、服务业、民政事业等各领域的最优化及统筹决策问题。本校的交通运输专业根据交通运输专业服务性的特点，将《运筹学》课程在2015年的教学大纲中改成了《交通运筹与优化》，这将运筹学与交通运输的专业联系得更紧密，更贴近交通运输行业的教学和实际需求;该课程改革给老师提出了新的要求，在今后教学方法和课程考核方面都需要随之做适当调整，本文将针对这两个方面进行探讨。

 

2.教学方法方面

 

《交通运筹与优化》是一门学科基础核心课，总共56学时(其中课程实验8学时)。由此可以看出该课程是一门实践性比较强的课程，这就要求根据专业特点设计合适的教学方法，根据以往经验从课堂教学内容和实验相结合的教学手段上着手。

 

2.1优化教学内容

 

根据专业培养目标，该课程的重点是线性规划、运输问题、网络优化部分是重点内容，也是基础内容。

 

一是线性规划部分：要对单纯形法和对偶问题进行重点分析，这是线性规划部分的难点和重点。对偶理论涉及的“影子价格”，属于经济运筹学的范畴，因此进行课堂教学时要结合经济学理论，使学生对对偶理论有直观的理解和认识。

 

二是运输问题部分：运输问题实际上是一类特殊的线性规划，很多学生的线性代数基础知识不扎实，在理解单纯形法时遇到很大困难。授课时需要对单纯形法的思想和步骤在学时上加以倾斜。

 

三是网络优化部分：这部分主要是图论知识，针对交通网络的特点，结合路网优化的目的主要讲解网络最短路、最大流和最小费用最大流问题。

 

在各部分教学中都要适当引入交通运输相关的例题和案例进行分析，做到让学生不仅知道怎么“做题”，还让学生用这个建模和计算方法解决交通运输领域的相关问题。同时开辟第二课堂，将实际案例引入课堂中，让学生自主发现问题、解决问题，而不是一味做老师列出的“应用题”。

 

2.2开设实验教学课堂

 

目前，我院引入了一套运筹学教学软件，为今后开设该课程的实验教学提供了很好的平台。实验教学学时设定为8学时，在这部分学习时间内要求学生加强对基本理论、算法的理解和应用;训练学生的数学建模能力和创新能力。在教学中，加强对软件运行结果的分析和讨论，使学生加深对运筹学算法的理解。并将课堂上学到的方法学以致用，应用于生活实践中，加深学生对课堂学习的理解。

 

3.课程考核方面

 

《交通运筹于优化》是一门理论性和实用性都很强的课程，不仅要求学生对基础知识加以消化吸收，还要求学生加以利用和创新，因此单纯的理论考试会导致学生出现“高分低能”的现象。在该课程考核方面，结合专业特点要求，我们建立了多元化的考核体系。

 

一是建立试题库：试题主要分为两类，一类是基础理论知识，主要考核学生对基础知识的掌握情况，这部分考题要求学生在规定时间内完成;另一类是案例分析，题型可以灵活设置，要求学生在一定课外时间内完成，可以分小组完成，每个小组的题目不一样，这样既能考核学生的合作能力，又能考验学生的学习情况。

 

二是实验考核：在规定时间内，要求学生在计算机上利用相关运筹学软件解决规定的题目，包括建模、求解及验算等，根据完成的实验报告综合评定。

 

三是教师评价：根据学生平时课堂上提问、回答、课堂练习的情况，考虑老师的评价。

 

四是其他方面：考虑学生的自评、考勤、论文等。

 

4.结语

 

本文根据交通运输专业学科基础核心课程《交通运筹与优化》的课程内容和特点，通过分析教学过程中可能遇到的问题，提出了相应的教学方法，从教学内容和实验教学方面分别进行了讨论;分析了当代大学生教育考核体制下的常规理论考试的考核方法对学生学习效果的影响，并提出了几种可供参考的改革考核方式。

运筹学最大流问题范文第2篇

（一）运筹学

运筹学是上世纪40年代开始形成的一门学科，起源于二战期间英、美等国的军事运筹小组，主要用于研究军事活动。二战后，运筹学主要转向经济活动的研究，研究活动中能用数字量化的有关运用、筹划与管理等方面的问题，通过建立模型的方法或数学定量方法，使问题在量化的基础上达到科学、合理的解决，并使活动系统中的人、才、财、物和信息得到最有效的利用，使系统的投入和产出实现最佳的配置。运筹学的研究内容非常广泛，根据其研究问题的特点，可分为两大类，确定型模型与概率型模型。其中确定型模型中主要包括：线性规划、非线性规划、整数规划、图与网络和动态规划等；概率型模型主要包括：对策论、排队论、存储论和决策论等。

（二）物流学

物流作为一门科学也是始于二战期间，美国根据当时军事的需要，对军火的运输、补给和存储等过程进行全面的管理，并首次使用了“LogisticsManagement”一词。其后对于物流的概念不断演变发展，内容也逐渐完善。我国在2001年8月1日开始实施的国家标准《物流术语》中对物流作了如下规定：物流即物品从供应地向接收地的实体流动过程，根据实际需要，将运输、存储、装卸、搬运、包装、流通加工、配送、信息处理等基本功能实施有机的结合。

（三）运筹学与物流学

运筹学与物流学作为一门正式的学科都始于二战期间，从一开始，两者就密切地联系在一起，相互渗透和交叉发展。与物流学联系最为紧密的理论有：系统论、运筹学、经济管理学，运筹学作为物流学科体系的理论基础之一，其作用是提供实现物流系统优化的技术与工具，是系统理论在物流中应用的具体方法。二战后，各国都转向快速恢复工业和发展经济，而运筹学此时正转向经济活动的研究，因此极大地引起了人们的注意，并由此进入了各行业和部门，获得了长足发展和广泛应用，形成了一套比较完整的理论，如规划论、存储论、决策论和排队论等。而战后的物流并没像运筹学那样引起人们及时的关注，直到上世纪60年代，随着科学技术的发展、管理科学的进步、生产方式和组织方式等的改变，物流才为管理界和企业界所重视。因此，相比运筹学，物流的发展滞后了一些。不过，运筹学在物流领域中的应用却随着物流学科地不断成熟而日益广泛。

二、运筹学在物流领域中主要应用的概况

运筹学作为一门实践应用的科学，已被广泛应用于工业、农业、商业、交通运输业、民政事业、军事决策等组织，解决由多种因素影响的复杂大型问题。目前，在物流领域中的应用也相当普遍，并且解决了许多实际问题，取得了很好的效果。以下总结一些当前运筹学在物流领域中应用较多的几个方面。

（一）数学规划论

数学规划论主要包括线性规划、非线性规划、整数规划、目标规划和动态规划。研究内容与生产活动中有限资源的分配有关，在组织生产的经营管理活动中，具有极为重要的地位和作用。它们解决的问题都有一个共同特点，即在给定的条件下，按照某一衡量指标来寻找最优方案，求解约束条件下目标函数的极值（极大值或极小值）问题。具体来讲，线性规划可解决物资调运、配送和人员分派等问题；整数规划可以求解完成工作所需的人数、机器设备台数和厂、库的选址等；动态规划可用来解决诸如最优路径、资源分配、生产调度、库存控制、设备更新等问题。

（二）存储论

存储论又称库存论，主要是研究物资库存策略的理论，即确定物资库存量、补货频率和一次补货量。合理的库存是生产和生活顺利进行的必要保障，可以减少资金的占用，减少费用支出和不必要的周转环节，缩短物资流通周期，加速再生产的过程等。在物流领域中的各节点：工厂、港口、配送中心、物流中心、仓库、零售店等都或多或少地保有库存，为了实现物流活动总成本最小或利益最大化，大多数人们都运用了存储理论的相关知识，以辅助决策。并且在各种情况下都能灵活套用相应的模型求解，如常见的库存控制模型分确定型存储模型和随机型存储模型，其中确定型存储模型又可分为几种情况：不允许缺货，一次性补货；不允许缺货，连续补货；允许缺货，一次性补货；允许缺货，连续补货。随机型存储模型也可分为：一次性订货的离散型随机型存储模型和一次性订货的连续型随机存储模型。常见的库存补货策略也可分为以下四种基本情况：连续检查，固定订货量，固定订货点的（Q，R）策略；连续检查固定订货点，最大库存的（R，S）策略；周期性检查的（T，S）策略以及综合库存的（T，R，S）策略。针对库存物资的特性，选用相应的库存控制模型和补货策略，制定一个包含合理存储量、合理存储时间、合理存储结构和合理存储网络的存储系统。

（三）图（网络）论

自从上世纪50年代以后，图论广泛应用于解决工程系统和管理问题，将复杂的问题用图与网络进行描述简化后再求解。图与网络理论有很强的构模能力，描述问题直观，模型易于计算实现，很方便地将一些复杂的问题分解或转化为可能求解的子问题。图与网络在物流中的应用也很显著，其中最明显的应用是运输问题、物流网点间的物资调运和车辆调度时运输路线的选择、配送中心的送货、逆向物流中产品的回收等，运用了图论中的最小生成树、最短路、最大流、最小费用等知识，求得运输所需时间最少或路线最短或费用最省的路线。另外，工厂、仓库、配送中心等物流设施的选址问题，物流网点内部工种、任务、人员的指派问题，设备更新问题，也可运用图论的知识辅助决策者进行最优的安排。

（四）排队论

排队论也称随机服务理论，主要研究各种系统的排队队长、等待时间和服务等参数，解决系统服务设施和服务水平之间的平衡问题，以较低的投入求得更好的服务。排队现象现实生活中普遍存在，物流领域中也多见，如工厂生产线上的产品等待加工，在制品、产成品排队等待出入库作业，运输场站车辆进出站的排队，客服务中心顾客电话排队等待服务，商店顾客排队付款等等。根据系统排队的服务设施数量、系统容量、顾客到达时间间隔的分布、服务时间的分布等特征，可分为（M/M/1/∞），（M/M/1/k），（M/M/1/m），（M/M/s/∞），（M/M/s/k），（M/M/s/m）几种不同的情况，不同情形套用相应的模型可以求解。

（五）对策论、决策论

对策论也称博弈论，对策即是在竞争环境中做出的决策，决策论即研究决策的问题，对策论可归属为决策论，它们最终都是要做出决策。决策普遍存在于人类的各种活动之中，物流中的决策就是在占有充分资料的基础上，根据物流系统的客观环境，借助于科学的数学分析、实验仿真或经验判断，在已提出的若干物流系统方案中，选择一个合理、满意方案的决断行为。如制定投资计划、生产计划、物资调运计划、选择自建仓库或租赁公共仓库、自购车辆或租赁车辆等等。物流决策多种多样，有复杂有简单，按照不同的标准可化分为很多种类型，其中按决策问题目标的多少可分为单目标决策和多目标决策。单目标决策目标单一，相对简单，求解方法也很多，如线性规划、非线性规划、动态规划等。多目标决策相对而言复杂得多，如要开发一块土地建设物流中心，既要考虑设施的配套性、先进性，还要考虑投资大小问题等，这些目标有时相互冲突，这时就要综合考虑。解决这类复杂的多目标决策问题现行用的较多的，行之有效的方法之一是层次分析法，一种将定性和定量相结合的方法。

三、运筹学在物流领域中的进一步应用与发展

前面介绍了目前运筹学理论在物流领域中应用较多的几个方面，下面对其在物流领域中的进一步运用和发展作了一些思考。

（一）运筹学理论结合物流实践

虽然运筹学的理论知识很成熟，并在物流领域中的很多方面都有实用性，可现行许多物流企业，特别是中、小型物流企业，并没有重视运筹学理论的实际应用，理论归理论，遇到实际问题时许多还是凭几个管理者的主观臆断，并没有运用相关的数学、运筹学知识加以科学的计算、论证、辅助决策。因此，对于当前许多企业、部门，应该加强对管理者、决策者的理论实践教育，使之意识到运筹学这门有用的决策工具。

（二）扩大运筹学在物流领域中的应用范围

现行的运筹学知识在物流领域中的应用主要集中在以上的几个方面，运筹学作为一门已经比较成熟的理论，应该让其在物流领域中的发挥更大的作用，进一步探索，尽量把物流领域中数字模糊化、量化不清的方面数字化、科学化，运用运筹学的知识准确化、优化。

（三）把运筹学知识融合在其他物流管理软件中

把运筹学在物流领域中应用的知识程序化，编制成相应的软件包，使得更多不懂运筹学知识的人也能运用运筹学的软件辅助决策。目前运筹学的软件比较多，但是具体到物流领域中应用的还寥寥无几，因此针对物流领域中常用的运筹学软件应大力开发。另外，把运筹学的部分功能融合在其他物流管理软件中，也是一个很好的发展方向，能引起管理者和主管部门的重视，提高企业的管理水平，取得比较好的经济效益。

（四）立足物流现实，改进运筹学理论应用不足之处

运筹学的理论虽然在物流领域中应用很多，并在某些领域演绎出了许多经典的模型和公式，但其中有些模型是基于一些假设条件基础之上的，和实际生活中的情形相差很大。如存储论中的一些模型，Q、R、S、T都是一个精确的值，而现实生活中由于需求的变化独立于人们的主观控制能力之外，因此在数量和时间上一般无法精确，其随机性和不确定性使得库存控制变得复杂。因此随着理论的日益成熟和对实际情况的了解，对其不足之处应加以改进和完善。

五、结语

物流学主要研究物流过程中各种技术和经济管理的理论和方法，研究物流过程中有限资源，如物资、人力、时间、信息等的计划、组织、分配、协调和控制，以期达到最佳效率和效益，而现代物流管理所呈现的复杂性也不是简单算术能解决的，以计算机为手段的运筹学理论是支撑现代物流管理的有效工具。物流业的发展离不开运筹学的技术支持，运筹学的应用将会使物流管理更加高效。

【参考文献】

[1]熊义杰.运筹学教程[M].北京：国防工业出版社，2004.

[2]宋伟刚.物流工程及应用[M].北京：机械工业出版社，2003.

[3]汝宜红.物流学[M].北京：中国铁道出版社，2003.

[4]王转，程国全，冯爱兰.物流系统工程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]储雪俭.现代物流管理教程[M].上海：上海三联书店，2002.

[6]杨海荣.现代物流系统与管理[M].北京：北京邮电出版社，2003.

运筹学最大流问题范文第3篇

关键词:网络编码;吞吐量;P2P;网络安全

中图分类号:TP393文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)26-7383-02

1 网络编码概述

2000年,香港中文大学的R.W.Yeung和N.Cai首次提出了网络编码,其核心思想是在网络中参与传输的节点,其输出边上传输的数据可以通过该点多条输入边上传输的数据的某种线性或非线性变换得到,而参与传输的所有节点对数据的变换应保证最终所有接收节点可以正确恢复出信源所发送的信息。

网络编码的工作原理是把不同的信息转化成位数更小的“痕迹”,然后在目标节点进行演绎还原,这样就不必反复传输或者复制全部信息了。痕迹可以在多个中间节点间的多条路径上反复传递,然后再被送往最终的目的端点。它不需要额外的容量和路由―只需把信息的痕迹转换成位流即可,而这种转换现有的网络基础设施是可以支持的。

2 网络编码原理

网络信息流的最大流最小割定理:对于已知的网络流图,信源S到信宿T的流量的最大值w等于其最小割的容量[1],即max flow(S,T)=min C(S,T)。

对于只有一个信宿的网络,依靠路由就可以获得最大流。下面看一个具有两个信宿的多播网络,如何获得网络多播的最大流,通信网络如图1所示。

这是一个单信源两信宿的网络,假设每条链路无时延无差错,其中S是源节点,Y和Z是目的节点。图1(a)给出了每条边的信息速率均为1bit/每单位时间。由最大流最小割定理容易得出从信源到目的节点的最大流均为2。由此得到信源S可以同时发送2bit信息给t1和t2。图1(b)给出了一种编码方案,可以看出,为了从信源节点S同时传输2bit信息b1b2到目的节点,则在中间节点3处,必须采用网络编码,使输出边(3,4)传输比特的线性组合为b1+b2(模2加),那么在目的节点t1和t2处才可分别由b1和b1+(b1+b2),b2和b2+(b1+b2)恢复出所有信息b1b2。如果按照传统路由方式,在一个单位时间内将无法把b1b2传输给节点t1和t2,这就是网络编码的优势。

3 在通信网络中的应用

网络编码的应用潜力巨大,应用领域涉及无线网络、P2P系统、网络安全和分布式文件存储等网络的多个方面,本文在此作以归纳。

1) 无线网络

无线网络的物理层广播特性和业务流的双向性非常适合使用网络编码最新的热点集中于物理层网络编码、基于编码的协作方案设计以及实际编码协议性能评估等。相对于传统的合作方案,基于网络编码的方案在同等的频谱效率下可达到更高的分集增益。Katti 等人针对无线网状网提出了基于机会的网络编码协议COPE,并在20个节点的网络测试床上完成了协议实现。这是首个搭建测试床检验实际编码协议性能的研究,结果表明即使在网络连接动态变化甚至出现拥塞的情况下,COPE 协议仍能有效支持多路单播流[2]。

2) P2P系统

网络编码应用在P2P网络中主要有以下三个方面的好处:第一,减少了文件的下载时间。在一个大范围分布式的端到端系统中,找到最优的分组发送时间十分复杂,尤其是主机对于底层网络拓补知之甚少的情况下更是如此,而使用网络编码,网络拓补和发送先后对文件发送时间的影响将会大大减小。第二,由于编码后的分组具有多样性的特点,即使服务器在文件下载过程中离线,或某些网络节点下载结束后立刻离开,都不会产生太大影响,所以基于网络编码的方案与一般的方案相比具有更好的健壮性。第三,与基于转发的协议相比,基于网络编码的协议仅仅在刺激合作机制实现的时候,性能受到一点影响。

3) 网络安全

中继节点对编码数据的恶意修改可能会导致网络编码使用受限甚至不可用1 消除拜占庭敌手影响一直是网络编码安全应用研究中备受关注的问题。有人提出一种用散列函数检测拜占庭敌手的方法。Jaggi进一步给出了一种多项式复杂度的分布式算法,在可纠正敌手错误的前提下,同时达到最优组播速率,该方法无需对编码节点添加新的功能,对无线和有线网络均适用。Krohn 等人提出一种基于同态散列函数的方法用于检测被修改的编码分组,但该方法需要将计算好的散列值预先通过其他通道分发给所有节点,因此该方法具有一定的局限性。有人利用椭圆曲线算法给出了一种适用于网络编码的签名方案,除了可检测被修改的分组,还加入了对数据的身份认证功能[3]。

4) 分布式文件存储

分布式文件存储是网络编码又一个应用热点。Acedanski 等人研究了在多个存储资源受限的节点间进行分布式文件存储的问题,比较了无编码存储、基于纠删码存储和采用随机线性码存储3 种策略,仿真结果表明,基于随机线性码的分布式存储策略,在无需全局文件服务器的参与时,其性能接近集中式全局调度算法。

4 主要优缺点简述

网络编码最初是为使多播传输达到理论上的最大传输容量,从而能取得较路由多播更好的网络吞吐量。随着研究的深入,网络编码在均衡网络负载、提升带宽利用率等方面的优点逐渐凸现。

4.1 提升网络吞吐量

无论是均匀链路还是非均匀链路,网络编码均能够获得更高的多播容量,而且对于节点平均数越大,网络编码在网络吞吐量上的优势越明显。从理论上可证明:如果Ω为信源节点的符号空间,OVO为通信网络中的节点数目,则对于每条链路都是单位容量的通信网络,基于网络编码的多播的吞吐量是路由多播的Ω(SOVO)倍[4]。

4.2 均衡网络负载

网络编码多播可有效利用除多播树路径外其它的网络链路,可将网络流量分布于更广泛的网络上,从而均衡网络负载。图2(a)所示的通信网络,其各链路容量为2。图2(b)表示的是基于多播树的路由多播,为使各个信宿节点达到最大传输容量,该多播共使用SU、UX、UY、SW和WZ等共5条链路,且每条链路上传输的可行流为2;图2(c)表示的是基于网络编码的多播,假定信源节点S对发送至链路SV的信息进行模二加操作,则链路SV、VX和VZ上传输的信息均为ab,最终信宿X,Y和Z均能同时收到a和b。容易看出,图2(c)所示的网络编码多播所用的传输链路为9条,比图2(b)的多播树传输要多4条链路,即利用了更广泛的通信链路,因此均衡了网络负载。网络编码的这种特性,有助于解决网络拥塞等问题。

4.3 提高带宽利用率

在图2(b)中的路由多播中,为了使得信宿X,Y和Z能够同时收到2个单位的信息,共使用了5条通信链路,每条链路传输可行流为2,因此其消耗的总带宽为:5×2=10。在图2(c)表示的网络编码多播中,共使用了9条链路,每条链路传输可行流为1,其消耗总带宽为:9×1=9,因此带宽消耗节省了10%,提高了网络带宽利用率。

虽然网络编码优点突出,但运用网络编码增加了计算的复杂性,而且网路节点需要缓存足够的输入信息,因此编码操作增加了传输时延和节点的额外的I/O、CPU消耗。一些学者对网络编码的综合性能进行了初步的研究和探讨。统计数据表明,即使应用最有效的随机网络编码,其编码和译码的时间也不容忽视。此外,应用网络编码还存在同步问题,这主要是由于信宿节点必须等待收到足够的编码信息,才能开始译码.同步问题给在实时系统中应用网络编码提出了挑战[5]。

5 未来发展方向

经过多年的快速发展,基于网络编码的新理论和新应用不断涌现,可以说,网络编码正给现有网络带来变革性的变化。但从研究的深度来看,仍处于探索阶段,还存在一些尚未解决的问题或者尚未探索的领域。网络编码未来的发展方向主要体现在以下几个方面:

1) 网络编码理论的进一步完善。现有的网络编码理论研究主要集中于单源组播网络的线性网络编码,针对多源组播网络和非组播网络的网络编码理论研究还远不够深入,如何利用非线性网络编码优化网络性能,也是未来一个重要的研究方向。

2) 网络编码与其他相关领域的技术的融合。包括网络编码和信源编码Slepian2Wolf 的联合设计与优化、网络编码与信道编码和调制技术的进一步结合以及网络编码与多描述分层编码的结合等,都是值得关注的方向。

3) 降低网络编码的复杂度。网络编码对网络性能的提升伴随着设计和实现复杂度的增加,综合考虑性能增益和网络开销,实现最小代价的网络编码是将来需要深入研究的问题[6]。

4) 网络编码在实际网络和复杂流量条件下的性能改进。网络编码在无线网络和P2P系统中具有广阔的应用前景。目前涉及实际网络编码系统的性能分析和评估的研究还较少。针对实际网络的拓补结构,结合IP路由技术、交叉层设计思想以及优化理论,实现编码感知的高效路由和调度算法将成为今后研究的重点问题。此外,在流量动态变化的真实网络中,具有可变速率的网络编码技术也将是值得关注的研究方向[7]。

6 结束语

网络编码理论是网络通信研究领域中的一项重要突破,自从首次提出以来,已迅速发展成一个重要的研究范畴,并对信息论、编码、通信网络、网络交换理论、无线通信、计算机科学、密码学、运筹学、矩阵理论等领域带来了深远影响。网络编码已成为现今世界各地一流大学及工业实验室最热门的研究领域之一,也是众多国际研讨会的热门议题。网络编码带给网络应用一场模式革命。几年前,微软以网络编码作为核心技术开发出“雪崩”(Avalanche)原型软件。“雪崩”对于P2P通信的大规模内容分发而言,传送速度可高出BT(BitTorrent)20%~30%。由于P2P通信占互联网带宽的60%以上,所以研究人员估计,未来十年,网络编码技术将会产生巨大影响,从计算机通信、无线通信到其他各类通信,都会广泛地采用网络编码。

参考文献:

[1] 杨行峻,郑君里.人工神经网络与盲信号处理[M].北京:清华大学出版社,2003.

[2] 陶少国,黄佳庆,杨宗凯,等.网络编码研究综述[J].小型微型计算机系统.2008,29(4):583-589.

[3] 杨林,郑刚,胡晓.网络编码的研究进展[J].计算机研究与发展,2008,45(3):400-407.

[4] Ho T,Karger D,Medard M,et al.The benefits of coding over routing in a randomized setting[C].Yokohama,Japan:IEEE International Symposium on Information Theory,2003:442.

[5] Tomislav Nad.Promblems with network coding in overlay networks[EB/OL].zoo.cs.yale.edu/class/cs490/04-05a.

[6] Lun D S, Ratnakar N, Medard M,et al.Minimum-cost multicast over coded packet networks[J].IEEE Trans on Information Theory,2006,52(6):2608-2623

[7] Fong S L, Yeung R W.Variable-rate linear nerwork coding[C].Chengdu:IEEE Information Theory Workshop,2006.

[8] 彭铁光.基于多播的网络编码研究[J].电脑与信息技术,2008,16(3):23-24.

运筹学最大流问题范文第4篇

工程项目的进度计划与传统的“机器排序”问题有着较大差异：一是工作节点有着明确的先后作业顺序并且一般不能改变，例如房屋的修建必须是从基础开始。二是工作节点的作业时间有着较大的不确定性，由于气候、设计等因素造成的工期变化极为常见。三是由于工程项目进度计划的时间窗单位比较大，所以最初的进度计划制定没有像一般的制造加工业那样要求精确。因此工程项目中的进度优化集中于研究对资源如何进行分配，而不是各工序之间的作业次序调整。

1、网络计划优化

现代的工程项目都是应用基于CPM和PERT的网络计划技术作为计划、分配、控制的重要手段和工具。最常见的网络计划进度优化方法是强制缩短法，即采取措施使网络计划中的某些关键工作的持续时间尽可能缩短[3].目前关于工期进度优化方法的研究思路也集中于不断改进强制缩短法，力求在优化项目工期的同时，使所增加的额外成本最小。吴育华等学者提出了割集平行路线差额法解决工期优化的算法[4]，刘津明运用“最大流最小截”理论研究了工期一成本非线性变化时工期优化的算法思路[5].随着现代信息技术的日益成熟，使用Management scientist等软件可以非常迅捷的求出基于上述强制压缩法进行进度优化的最优结果[6].

强制压缩法要求必须从外界投入新的资源到关键线路的工作节点中，然而在现实工程项目建设中经常缺乏多余资源，这就要求利用网络计划中非关键工作的既有资源进行工期优化，解决所谓的赶工问题。基于上述思想，本文对单代号网络计划中固定资源约束下的工期优化算法进行探讨。

2 、算法思想

利用非关键工作的既有资源进行工期优化，就是利用非关键工作的时差，抽调其中的部分资源用于加强关键工作，以缩短关键工作的持续时间，使工期缩短〔3].利用关键线路的转移进行工期优化的最终结果，是使网络计划中出现尽可能多的关键线路，或者是关键线路的工期与次关键线路的工期差值最小。即当原关键线路的工期经过优化达到设定缩短的工期目标时，就认为工期优化已达到期望。

利用关键线路的转移优化工期，必须先明确关键线路上有可以压缩的关键工作，非关键工作节点有关键线路上可压缩工作节点压缩所需的资源，并且这种资源可以分割转移。非关键工作节点上的资源转移会延长其自身的工期，而关键线路上的工作节点接受了转移的所需资源后会缩短计划工期，从而缩短项目的整体工期。根据资源输出和输入节点的位置，原网络计划中的所有线路工期有可能出现不同程度的延长或缩短，但压缩后的原关键线路工期不能小于次关键线路工期。同时，工作节点上资源的输出或输入量也受到最小资源需求用量和最大压缩时间的约束。因此，将非关键工作中的资源转移到关键线路上的工作中进行工期优化，要解决如下问题：如何选择进行资源输出的非关键工作节点，各非关键工作节点输出多少资源，以及如何选择关键线路中的资源输入节点，各压缩节点输入多少资源。

3 、算法模型

3.1 前提假设

为简化研究，进一步假设网络计划的所有节点中只有一种可以分割转移并且影响工期的资源。以往的大部分工期优化研究都是基于成本费用和工期之间的关系，通常项目所需的各种资源也能转化为费用进行衡量，因此我们的假设不失一般性。调整非关键工作节点的总时差会影响其后工作节点的最早开始时间，加大项目的不确定性，因此这里仅选择具有自由时差的非关键工作节点作为资源输出对象。同时，假设工期优化前的网络计划中只有一条关键线路，在满足约束前提下，各工作节点的资源变化量与工期变化量成线性关系。

3. 2 变量假设

设网络计划由m个工作节点和二条线路组成分别记为J＝{1，2， ……，m}和I={1，2…二}.特别地，将关键线路表示为cp ， cp∈ I ，关键线路上的p个工作节点表示为cpk， cpk ∈ J， k∈P， P ={1 ， 2， ……， p} .以xj表示工作节点 j 资源的输入或输出量，qj为工作节点j的计划资源用量。qj‘表示工作节点j资源需求量的极值，对于关键线路上的节点，qj’表示工期经过最大压缩后，完成工作所需的资源量，对于非关键线路上的节点，qj‘表示充分利用自由时差后完成工作需要的资源量，因此有xj ≤ |qj – qj’|.由前所述，在网络计划只做一次性工期优化的前提下，同一工作节点的资源只能单方向转移（输入输出）或者不发生变化。设tj为工作节点j的计划工期，以tj表示工作节点j工期变动的最大范围。对于非关键工作节点，tj表示可以利用的自由时差，对于关键线路上的工作节点，tj表示极限压缩时间。设aj为工作节点j上资源与工期时间的相关系数，aj表示约束条件下单位资源量对工期的影响程度，由资源变化量与工期变化量成线性关系的假设，有

进而工作节点j因为资源量变化而引起的工期时间变化量为ajxj.设Tcp， Ti （i≠cp）分别表示关键线路和非关键线路的计划工期，aij表示工作节点j的资源变化对线路i工期的影响系数。

3.3算法分析

令Aj＝qj×tj， Bj＝{Aj}.Aj表示节点j上包含有工期和资源用量的计划安排，Bj表示关于节点j所有可行计划安排的集合。根据是否是关键节点，有：

基于关键线路的转移而提出的工期优化算法，是寻找能最大压缩工期的集合B，B={Bj}， j ∈ J .

以Fmax表示关键线路节点输入资源后所能压缩的最大工期，固定资源约束下的工期优化问题可以转化为解决如下嵌套模型：

式（2）表示对于非关键工作节点在工作量恒定的前提下输出资源会导致其工期延长但工期延长量不能超过可利用的自由时差。同理式（3）表示对于关键线路上的工作节点输入资源会使工期缩短工期的缩短量不能超过极限压缩时间。（4）式表示工期优化后的关键线路工期不小于网络计划中的其它线路的工期。（5）式表示节点资源改变对工作线路工期的影响。式（6）和式（7）分别表示非关键工作节点中输出的资源全部输入到关键线路的工作节点中，各节点资源量改变的绝对值非负。

转贴于

在实际工期优化时，非关键工作节点的自由时差和充分利用时差后完成工作所需的最小资源量，关键线路上工作节点的极限压缩时间和对应的需求资源量是已知的，由

可以求出各节点的资源时间相关系数从而把上述模型转化为线性规划问题求解。下面以一个算例说明固定资源约束下运用转移关键线路法进行工期优化的解决过程。

4 、算例说明

我们引用文献[7l的算例作为工期优化对象随机给出了关键线路上工作节点的最大压缩工期并以（tj+tj） （qj-qj‘）=qj×tj 给出各节点工期极值下的资源需求量。图1显示了单代号网络图中各工作节点的计划工期和资源消耗量。

各工作节点上的资源一时间参数如表1所示。

网络计划各工作线路的计划工期以及其上可进行资源转移的节点如表2所示。

对此算例进行工期优化，实质上就是从H， J， E，L，M节点向C， F， 1， K节点输入资源，这里用lindo程序运算求解，主要结果如图2所示。

图2中的结果表明在不从外界投入资源的情况下，可以利用网络计划中的既有资源，使工期最大缩短4个时间单位。在实际的工程建设中，很多都是以季度作为制订网络计划的时间单位，因此上述算法对于工程实践中的工期优化有着明显的意义。图3为算例经过工期优化后的网络计划图（数据取整），优化后的网络计划中出现了3条关键线路：A一B一H一O，A一C一F一I一K一O， A一M一O.

5 、小结

本文提出了运用关键线路的转移进行工期优化的一类算法。在网络计划的既定资源约束下，利用非关键工作的自由时差将其上的资源转移到关键线路的可压缩工作上，从而缩短了整个网络计划的工期。为简化模型，本文只利用有自由时差的非关键工作作为资源输出对象，但也可以将具有时差的工作节点一并考虑，从而可能获得更大的优化效果。此外，节点的工期一资源并非一定成线性关系，已有学者利用灰色预测方法对这一问题进行了深入研究[8].在实际的工程项目中，工期优化还必须考虑资源均衡等诸多现实问题。因此一般情况下仅需将原关键线路的工期进行一次性优化到达工期优化的期望值即可，实际上如果在优化后新的关键线路上仍然有可以继续压缩的工作节点，并且非关键节点上也有相应的时差资源，就可以再次利用上述算法进一步进行优化。但如果完全利用非关键节点的时差资源后仍不能满足工期优化期望，则必须重新利用强制压缩法从外部投入新的资源。在明确资源和工期的相关系数后，本文提出的算法转化为了很多商业软件都能求解的规划问题，对算法在实际工程行业中的推广有着积极作用。

参考文献：

[1]K. Houleiman. H.Lecocq. A new efficient simulated annealing algorithm for the resource一constrained project scheduling problem and its multiple mode version [J]. European Journal of0perational Research. 2003（149）：268一281.

[2]Rolf H.Solving project scheduling problem、by minimum cut computations [J]. Management Science， 2003， 49（3）：330-350.

[3]白思俊。现代项目管理（中）[M].北京：机械工业出版社，2003.

[4]吴育华，李崇斌，吴灵慧。割集平行路线差额法—一种确定网络计划最佳工期的有效算法[J].管理工程学报，1996，10（2）：67一71.

[5]刘津明。工程项目进度计划优化方法的研究[J].天津大学学报，2003，36（5）：610一613.

[6]David R. Anderson， Dennisn J. Sweeney， Thomas A. Williams. An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making [M].Thom son Learning， 2003： 340.