平均数教学案例
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平均数教学案例范文第1篇
数学课堂的教学能力，主要就是指教师在数学课堂中的教学效果和教学的有效性。教学活动是教师具有明确的教学目标的一种认知性的活动，教学效果也是对于一个教师的教学能力的一种重要评价手段。
一、教学能力与教学目标
什么样的数学目标是明确的呢？教学目标要符合教学大纲；教学目标要符合教材的体系结构；教学目标要符合学生的年龄以及接受程度；教学目标要符合学生的认知水平。有效的教学目标是达到良好教学效果的前提，只有确立科学合理的教学目标才能较好地展开数学课堂教学，学生也会比较容易适应课堂新内容的学习与理解，在其认知水平上进行深化理解与学习，进而可以实践运用，完成随堂练习以及课后练习，也为后面的新知识的学习奠定基础，因此，明确教学目标是数学教师提高小学数学课堂效果的关键。
二、因材施教与分层教学
在数学课堂教学中要充分利用小学生的好奇心理以及身心特征实行因材施教，教师有效的分层教学可以进一步提高数学课堂的教学效果。对于教师的同一教学目标以及教学内容，每一个学生的接受程度是不一样的，因为每一个人的认知水平是不一样的。所以在教学过程中需要考虑到每一位学生的实际情况来展开教学，研究每一位学生的身心特征以及接受程度，进行因材施教的教学方式，使其更加容易掌握教学内容。学生的认知水平以及对于新知识的接受度不一样，学生的学习能力也是有层次之分的，因此，教师在结合因材施教的教学方法基础上进一步实施分层教学，这样往往可以取得较好的教学效果。
三、注重学生的主体地位
新课程教学改革中要求重视学生在课堂教学中的主体地位，教师在课堂教学中起着主导作用，引导学生更好地掌握学习方法和学习规律。有效的数学课堂教学要让教师与学生尽可能做到教与学的统一，数学教师在教授学生知识的过程中为了达到更好的教学效果可以采用更有效的教学模式，比如实践教学模式、自主探究教学模式、游戏教学模式等，让学生在自主参与下更加积极主动地探究学习内容。数学教师在课堂教学中还可以利用小学生较喜欢游戏的方式，通过设计趣味游戏来引导学生学习，进而激发小学生的学习兴趣以及学习的好奇心。学生通过在数学课堂上一起参与、一起探究、一起思考，既培养了动手能力也拓展了思维能力和创新能力。
四、建立教师与学生间的反馈机制
在数学课堂教学中要提高教师的教学能力一定要建立学生与教师之间的信息反馈机制。教师在课堂中应该充分发挥学生的自主探究能力，重视学生的主体地位。在教学中教师要及时细致地观察每一位学生的反馈状态以及其他的反馈信息，灵活调整教学节奏，提高或者降低教学内容的难度，选择适合的教学方式方法。了解掌握学生的学习状态以及接受程度才可以较好地掌握教学进度，进而达到较好的教学效果，教师的教学能力也在实践课堂的研习中获得较大的进步。
五、相关教学案例分析
下面再结合具体的案例进一步分析与研究如何提高数学课堂教学能力。理论与实践的结合可以更好地深化对教学能力的认识。
案例是关于《平均数》的教学，分析如下：
教学目标：让学生较好地掌握平均数的概念，了解平均数的意义，认识在生活中以及学习中平均数的重要性。学生可以读懂简单的统计图或者统计表，并可以解决一些简单的生活实际问题。提高学生的动手能力，加深对于平均数实质内容的理解。
教学方法：自主探究教学模式。
教学过程：教师让学生分组进行自主探究生活中的求平均数的现象进行列举。学生分组讨论自身对于平均数的认识以及自己试着概括。学生讨论完毕后再写成实践报告，将小组的认识与观察的现象记录下来。教师让学生们自主发言，进行评价。教师将平均数的概念进行分析讲解，在讲解平均数的由来以及意义过程中注意结合学生的实践探究的生活现象，让学生更加深刻理解平均数概念以及生活中的实践运用与意义。
随堂练习：小猫第一天钓了5条鱼，第二天钓了3条鱼，第三天钓了8条鱼，小猫平均每天钓了几条鱼？
平均数教学案例范文第2篇
关键词：小学教学；有效串联；简约课堂
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2013）03-0060-03
风风火火热闹的课堂看起来气氛很好，但静心思考却发现，能够紧扣教师心弦的教学绝不是那种表面热闹、华而不实的教学，因此，教学要返璞归真。我校立项承担了苏州市“十二五”教科规划课题，提出“农村小学构建简约课堂以提高教学有效性的实践研究”这一课题，以期能以“构建简约课堂”为新的突破口，在实践操作层面做一些研究，尽量排除课堂上一些形式化的、不必要的东西，通过构建简约课堂，最大限度地实现课堂教学的最优化。
教室中的学习是通过与对象世界（事物、教材）的相遇与对话，是通过教室中与教师、与伙伴的相遇与对话，是与自身的相遇与对话来实现的。因此，探讨课堂学习能否丰富、有效地展开，就要看活动是否把这三种对话成为串联的活动。佐藤学在《教师的挑战》中说道：串联是教学的核心。教师在教学中把教材与儿童串联起来，把一个儿童同其他儿童串联起来，把一种知识同别种知识串联起来，把昨天学到的知识同今天学习的知识串联起来，把课堂里学习的知识同社会上的事件串联起来，把儿童的现在同未来串联起来。
为此，我把有效串联作为构建简约课堂以提高教学有效性的一种策略展开了实践性研究，下面结合具体的教学案例阐述四种有效串联途径。
一、情境串联——呈现形象思维与抽象思维的自然结合
捷克教育家夸美纽斯在其《大教学论》中曾说：一切知识都是从感官开始的。而心理学也认为个体的情感对认识活动至少有动力、强化、调节三方面的功能。情境教学强调教师提供或创设的情景，具有一定的情绪色彩，刺激学生的感官，促使学生的内在情感因素产生共鸣，激发和强化他们的求知欲望，努力揭示和获得场景提供的内在知识，最终从感性认识，经过情绪性的内在思维，上升为理性认识。
案例一：“认识角”教学设计
知识点：建立角的表象，知道角各部分名称，会画角，角有大小之分及比较大小。
串联思路：本例通过米奇妙妙屋中米奇的一系列活动，从角的表象、角的构成、角的数量、做角、角的大小以及角在生活中的应用等不同角度出发，设置了不同角度的情境串，从而引出本节课一个个的教学内容和知识点，完成教学目标。实践证明，学生对由动画情境涉及的几个知识点发生了浓厚的兴趣，整节课清晰、明了、高效。
情境一：播放视频：进入米奇妙妙屋，看看米奇在干什么，她从望远镜里看到了什么？
意图：呈现学生以前学过的一些平面图形：长方形、正方形、六边形、圆形、平行四边形、三角形。指出今天还要认识一个新的图形，从三角形上截下“角”，揭示课题。
情景二：米奇也要来和大家一起认识角，她搬出了自己的百宝箱，百宝箱中有些什么宝贝？这些宝贝上能找到角吗？
意图：通过找出三角尺、剪刀、钟面、五角星上的角，用红线描出，抽象出不同方向的角，建立角的表象，找出这些角的共同之处，知道角各部分的名称。
情境三：米奇画出了一些图形，判断哪些是角，哪些不是角？
意图：通过辨别判断，再次帮助学生巩固角的特征。
情景四：唐老鸭想要进入米奇的房子，米奇设置密码，藏在MTV这三个字母里，只要数出这三个字母里各有几个角就知道了。
意图：继续巩固角的特征。
情境五：唐老鸭和米奇一起做起了角，材料有：毛线、两根硬纸条、圆形纸片、两根小棒、吸管。
意图：交流运用各种材料做角的方法，说说应注意些什么，突出角的特征。
情境六：唐老鸭运用活动角变戏法，米奇想办法比较唐老鸭做出的角的大小。
意图：通过观察活动角的变化，感受角有大有小，得出角的大小与它的叉开程度有关。会运用重叠法比较不能一眼看出的两个角的大小。
情境七：欣赏，在运动场上，角还给我们带来力与美的震撼以及建筑中的广泛应用。
意图：实现数学与现实的紧密联系，感受数学知识的无穷魅力。
二、问题串联——生成探究活动的广度与
数学课程标准指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。如何实现这一理念，“问题串”的设置应当是一个有效途径。依据学生心理特点确定学习层次，将一节课的知识、能力、情感等构成系列，将教学内容设计成以“问题”为线索的纽带，通过师生共同探究，激发课堂活力，提高教学效率。
案例二：“平均数”教学设计片断
知识点：平均数的意义，平均数的算法，会用平均数比较、描述、分析一组数据的状况和特征。
串联思路：整节课围绕套圈男生套得准些还是女生套得准些的问题展开教学，根据学生的不同层次、不同角度的回答，设计一系列的问题，由浅入深、层层递进，不断地进行思考与探索，建立知识之间的纵向与横向联系，使学生的求知欲从潜在状态进入萌芽状态，使学生经历平均数这一知识形成、发展的过程，深刻体会平均数的意义。
问题一：出示男女生套圈统计图，男生套得准一些还是女生套得准一些？
意图：创设一个现实的、有意义的、富有挑战性的问题情境，4名男生和5名女生进行套圈比赛，每人套中的个数表示在条形统计图上，要比较男生套得准一些还是女生套得准一些。由于男女生人数不等，所以比较男、女生套中的总个数显然不合理。又由于女生中有2人套得成绩很好，另3人套的比男生少，所以很难对应着进行比较。由此引发学生产生认知冲突。
问题二：如果能有一个数来表示男生、女生的平均水平，就好比较，该用哪个数来代表男生的水平？
意图：由于学生有“平均分”为基础，又在现实情境之中，让学生自己想办法，可以在条形统计图上移多补少，使每人套中的个数同样多；也可以把各人套中的个数合起来后平均分。
问题三：像这样一个数代表某一小组的平均水平称为平均数。用平均数7与其他四个数比一比，有什么发现？
意图：体会到平均数能反映一组数据的状况，处于最小数与最大数之间。
三、模型为主线——串联起学习者新旧知识间的内在联系
数学课程标准明确提出：在数学教学中应当引导学生感悟建模过程及思想。在小学进行数学建模教学具有鲜明的阶段性、初始性特征，即要从学生熟悉的生活和已有的经验出发，引导他们经历将实际问题初步抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而对数学和数学学习获得更加深刻的理解。
案例三：“整数除以分数”的部分教学环节
知识点：探索整数除以分数的计算方法——整数乘分数的倒数。
环节一：从特殊入手，激活经验
出示几道整数除以分数的算式：
然后提出问题：整数除以分数虽然没有学过，但有的题也会计算。看一看，哪些题你能计算？有个要求，就是一定要说出算的理由。
意图：在所有的整数除以分数的计算题中，被除数是1的除法最为关键，它是其他除法计算的生长点。解决这类计算题的知识基础有两个：一是分数除法的意义，二是倒数的认识。前面讲分数除以整数时，学生已经知道分数除法和整数除法的意义完全一致，倒数也是刚刚学过的知识，学生已经具备了探究被除数是1的分数除法的认知基础。在探究中，学生会运用多种策略来解决，但在比较中会发现运用倒数知识来解决更为直接。
环节二：类推联想，建构模型
除了被除数是1的除法，其他除法题又怎样算呢？
意图：因为学生没有学过整数除以分数的计算，所以，对如何计算也就有了强烈的动机。而前面对“1”的成功探索，学生自然对“2”、“3”、……的探究显得更为从容和主动。由“1”到“多”，学生从除法的变化规律想到商的扩大方法，依然是借助已有的知识经验来实现的，这种商的扩大，与把分数除法转化为分数乘法的策略不谋而合，他们会发现这些题的解决都存在一个算理模型——“1÷几分之几=1×几分之几的例数”。这里从“1”到“多”的教学，不仅仅实现的是学生认知结构的扩张，更是辩证法思想的具体践行。
四、赏识始终——链接学习者学习的热情与执着的态度
学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。在这个过程中，既能暴露学生产生的各种疑问、困难、障碍和矛盾，也能展示学生发展的聪明才智和创新成果，还可能会面临挫折和失败，但这却是学生学习、生存、成长、成熟所必须经历的过程，是能力智慧发展的内在要求。
通常，教师是把学生中好的发言串联起来，其结果是将学生的思考区分为好和不好的。因此，教师要树立这样的观念：尊重所有学生的思考是教师教学的基础。教师的责任不只是教知识，应善待每个学生的思考和挫折，认真倾听每个学生的沉默或错误，才能获得教学的立足点。
平均数教学案例范文第3篇
一、认真备课，深入浅出。
要上好40分钟的一节课，备课所花的时间何止40分钟，教师只有脚踏实地，深入钻研教材，熟悉学生的实际情况，才能深入浅出，做到胸有成竹，逐步提高授课水平，才能实现上出“大气”的课堂。
1、备教材。南宋著名学者陈善在《扪虱新话》中说过：“读书须知出入法。始当求所以入，终当求所以出。见得亲切，则是入书法；用得透彻，则是出书法。”教师备课，也由此“出入之法”。教师要“入”得教材，解读其中的内涵和价值，才有可能在教学中“用”好教材；要先对教学内容有较深的感悟，然后权衡取舍，抓住重点、难点和关键点，必要时根据当地学生实际情况对教学内容进行合理的加工重组。如：教学人教版三年级下册数学“统计中简单的数据分析”时，教材中设计的销售矿泉水的主题情景离我们山区学生的生活较远而理解起来显得困难，为此我作了加工重组：（1）、看视频：（制作了一段关于我校学生课间活动的视频材料，学校红领巾广播站小记者采访、调查喜欢跳橡皮筋、打篮球、下象棋等活动的人数）。（2）、师生互动：让学生观看视频后围绕“看了录像你都获得哪些信息？你能提出数学问题吗？你有什么疑问？”等问题来开展教学。这样在简练的教学环节中，在学生熟悉的情景中，在师生互动交谈中引入了主题“简单的数据分析”，根据学生的提问巧妙地出示统计表，制作了横、纵向条形图，作了简单的数据分析，完成了教学内容，突破教学重、难点，培养了学生提出问题、分析问题的能力。
2、备学生。课堂教学的目的是为了促进学生的健康、协调发展。课堂教学过程的设计必须以此作为出发点。美国教育心理学家奥苏贝尔所说：“如果我不得不把教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。”现在学生的学习渠道拓宽了，他们的学习准备状态有时远远超出教师的想像，许多课本上尚未涉及的知识，学生已经知道得清清楚楚了。如果教师按教材所设定的内容教学，起点不一定是真实起点。教师要遵循学生的思维特点设计教学过程，就必须把握教学的真实起点。例如：教学“两位数减一位数的退位减法”，我事先对学生进行调查，发现学生不仅熟练地掌握了“整十数加一位数的口算和20以内的退位减法”，并且大多数学生对将要学习的“两位数减一位数的退位减法”有相当的了解。因此，我把教学的起点定在：让学生“写出一个两位数减一位数的减法”可能会出现不退位和退位减法两种情况。
我们在备课时，要经常问自己：“学生是否已经掌握或部分掌握了教学目标中要求掌握的知识和技能？掌握的程度怎样？没有掌握的是哪些知识？哪些新知识学生自己能够自主学习？哪些需要教师的引导和点拨？”；要经常提醒自己要关注学生的知识基础、能力基础、认知基础、情感因素、个体差异。这样才能使教学设计符合学生的实际情况，才能达到教学是为了促进学生健康、全面发展。
二、关注课堂生成，提高教育机智。
叶澜教授指出：“要从生命的高度，用动态生成的观点看课堂教学”。学生是充满情感、富于想象、极具个性的生命体，要凸显学生的主体发展地位，要把课上得“大气”，教学环节要粗放精炼，师生关系和谐民主，学生思维敏捷活跃，必然导致再好的预设也不可能预见课堂上可能出现的所有情况，这对教师的课堂调控、驾驭能力提出较大的挑战。而课堂出现意料之外的情况时，一般都有生成的价值，此时教师可以而且应该调整教学预设，及时关注并有效利用生成资源，不可拘泥于预设的教案不放。例如：有这样一个教学案例：在教学“平均数应用题”时，教师出示：
小丽、小伟、小强在三次单元测试的成绩如下：
师：“哪个同学的成绩最好？”
根据本课的教学内容，解决这道题的方法自然是先求出每个人的平均成绩，然后进行比较，然而学生的回答却出人意料：有的认为小明成绩最好，理由是他的进步非常快；有的说小红成绩最好，理由是她比较稳定；也有人认为小强的成绩最好，理由是他的总分最高。教师先是一愣，然后对同学们的答案表示了充分的肯定，并高度赞扬了这些肯动脑筋的同学，接着老师提出了这样一个问题：“通过这个例子你有什么话要说吗？”学生讨论开了，最后大家一致认为，看待一个问题不能从单方面着手，在不同的标准下，往往会有不同的结果。从这个例子看出，我们不能低估了学生的能力，他们这一系列的看法难道不是从已有的生活经验来的吗？数学的学习不就是为了解决生活中的数学问题吗？为什么我们一定要让学生用平均数来解决这道题呢？他们这三种方法哪种比用求平均数来得差呢？这节课学生能得出这样的结论，远远比他们只掌握了用求平均数的方法解决要成功得多。而这也体现教师敢于摆脱预设教案的束缚，体现了教师灵活、果断处理非预设生成的教育机智。
当课堂出现非预设情况时，教师不能为完成预设教学而不闻不问，也不能一棍子打死，要根据实际情况调整预设，灵活处理，对处理的方法和结果，课后要认真进行反思，逐步提高教育机智。
三、学无止境，虚心“充电”。
平均数教学案例范文第4篇
一、采撷生活实例创设情境，激发学生的数学应用意识
数学教学应从学生熟悉的生活现实出发，教师要善于抓住数学知识与现实生活中的实例来创设情境，致力于寻求知识的原型，激发学生的好奇心，让学生感受到具体的实际问题就在自己的身边，增强了学习的主动意识，提高了学生的学习兴趣。
例如，我在教学二年级《厘米和米》的内容时，从学生的日常生活经验出发，根据学生的年龄特点，以具体的方式让学生把“厘米”和“米”区分开：（1）让学生出示自己的大拇指，用尺量一下大拇指的宽大约是1厘米，以形象化的思维让学生了解1厘米有多长；（2）让学生伸开双臂，量出两手之间的距离约是1米，以具体的演绎方式让学生了解1米大约有多长；（3）出示练习题，黄瓜长约3（ ），黑板长约3（ ），爸爸的身高约175（ ），让学生一边说一边用手比划，从而对所学知识逐步深入地了解，并适当地逐级递升，以符合学生的认知规律和特点，最终达到所要求的教学目的。
二、挖掘生活素材创设情境，培养学生的数学应用意识
生活中充满着数学，作为一位教师，我们要挖掘生活素材，让学生能够认清数学知识的实用性。同时，教师也要利用多种媒体和网络，收集数学知识在生活中应用的素材，向学生展示现实生活中数学知识和信息的广泛应用。这样不但可以让学生了解数学的发展过程，体会其价值，而且可以帮助学生领悟数学知识的应用过程，增强学生学好数学知识的信心，更加深了学生对数学知识应用意识的了解。
在教学“元、角、分”的知识后，我开展了一次模拟购物的活动场景，并分组实践。每组找一名学生做收银员，其余学生做顾客，手持不同面值的代币券，自由购物。在购物的过程中，让学生运用元、角、分去进行换算、找钱等一系列的计算，并分小组总结、汇报、讨论，在这一活动过程中，你运用了哪些知识？你又碰到了什么问题？你解决了吗？你是怎样解决的？说出来分享一下吧！这样的活动设计，符合学生的年龄特点，以现实和游戏相结合的形式，寓学于乐，学生深切感受到生活中处处有数学，体验到数学的魅力，训练了自身的生活技能，同时也培养了应用意识。
三、用足数学教材创设情境，增强学生的数学应用意识
在数学教学过程中，数学教材里有许多的数学信息呈现在其表面上，为学生学习提供服务，但其背后还隐藏着许多不为人重视的数学知识。这样，在教学过程中，我们教师不仅要充分利用数学教材表面所呈现的数学信息，还要尽可能地提示其背后所隐藏的数学知识，突出其教育内涵，让其以不同的形式呈现于课堂上，展现其不同的价值，为学生的学习提供有力的服务。打开学生的社会视野，激发学生的学习欲望，使他们在知识的应用中获取学习的能力。
在设计“平均数”的教学课件时，我先根据教材所给定的例题进行重组：（1）先进行简单的处理，让学生回忆已有的知识，适当讨论并提问。（2）通过链接，对例题进行丰富，增加“合计”和“平均”，从而导入本节课的中心。（3）通过引导和分析，让学生找出平均数的正确算法，让学生深刻体会“平均数”的意义。（4）设计一份让学生调查家庭的用水、用电情况，并在家长的帮助下计算“平均每月用水多少吨”“每月用电多少度”的练习题。对教材进行这样的重组、拓宽，能充分体现数学知识在实际生活中的应用价值，更让教材成为学生学习的一个载体，学生在轻松获取知识的同时，更增强了学习应用能力。
四、深挖数学教材创设情境，提高学生的数学应用意识
新课程标准指出，学生学习数学不能仅仅停留在掌握知识的层面上，而必须学会应用，使所学数学富有生命力，真正实现数学的价值。所以，教师在教学过程中要深挖数学教材，突出每个知识点的应用价值，除了让学生了解常见的知识中充满了数学应用之外，还要积极挖掘其在数学中的应用。针对教材，教师可有意识地设计教学案例，也可以针对教材改造例子，让学生去体验、去实践操作。
平均数教学案例范文第5篇
一、让课堂环境贴近生活
课堂环境的生活化就是要将教师和学生的生活经验融入到教学当中，使其成为影响学生学习的一种外部条件，从而使学生可以在课堂环境中接触到熟悉的生活的感受，让学生对数学有一种喜爱感，从而起到良好的教育作用。
让课堂环境贴近生活，要注意教室环境对学生的影响，教室在布置的过程中，要在色彩上选择冷色调，这样有利于学生可以在平稳的环境中学习；将一些教学成果展示给学生，这样有利于师生情感的调节；班级的人数应该得到控制，这样有利于给学生留出足够的学习和活动的空间。
在课堂教学的过程中，教师要注意将学生在生活中的背景知识和生活经验结合起来设计教学，从而使小学生通过有儿童趣味的生活化的问题情境，把生活经验和背景与课堂知识结合起来，也从另一个角度丰富了学生的生活经验。比如，在学到用分数表示可能性大小的时候，可以给学生播放一段视频，一个风和日丽的下午，突然出现了乌云，那么一会儿会出现什么情况呢？有的学生会说下雨，有的会说打雷，但是到底会发生什么呢？通过老师的讲解，让学生明白各个情况发生的可能性，使小学生理解如何用分数来表达某件事情发生的可能性。
二、让教学用具来自生活
在教学的过程中，教师要采用一切可以利用的生活化的教学用具进行教学，比如，在进行七年级“丰富的图形世界”教学的时候，就可以给学生展示生活中常见到的事物作为教学用具，比如教室的门窗、粉笔、黑板、笔、杯子等，借用这些熟悉常见的事物来对学生进行授课。这样就可以利用生活化的教学用具形象生动地让学生认识知识，让学生感受到生活和学习是密切相关的，也有利于学生成绩的提高。
小学生本身具有很强的好奇心，对事物的观察能力比较强，所以在小学数学教学的过程中要注意对学生的观察能力进行培养和教育，通过生活中的教具对学生进行教学，可以使学习内容更加的形象生动，更易于理解，使学生更容易地学到知识。
三、让教学例题源于生活
随着教学改革的进行，数学生活化已成为一种切实可行的教学方法。在教学过程中，教师要在生活中寻找教学案例。生活化教学主要是要打破教学和生活上的隔阂，让学生在生活中体验教学，在生活中锻炼自己的能力，养成写日记的习惯，在生活中潜移默化地受到数学思想的影响，去认识生活，去认识生活中的数学思想，只有这样才能形成一种学习数学的有效学习模式，实现教学的生活化和生活化的教学。
在生活中寻找教学案例还需要教师关注学生的生活，关注学生的思维，例如，小学生有一种喜欢玩耍的天性，学生在课间玩到的一些游戏也可以被应用到教学当中，课间有一些女学生会玩跳绳，如果班内有18个女生，老师可以将学生分成几个小组，每个组该拥有几个人？这样教师就可以不用费力地去讲抽象的理论，可以让学生轻而易举地理解除法和余数的关系，学生也会觉得数学是如此的贴近生活，产生学习数学的兴趣，从而有利于学生的学习提高以及教学目标的达成。
四、让课后作业应用生活
课后作业的设置是一个非常重要的环节，它可以帮助学生理解以及消化课堂的知识，可以让学生将理解到的内容应用到实际中。当前苏教版的教材和练习册中，有的习题比较脱离学生的生活实际，这样在教学的过程中就很难调动学生学习的积极性。教师在布置课后作业的过程中，可以设置一些符合生活实际情景的问题，这样教师就可以通过生活化的例子弥补课本例子的不足，让学生通过相关的生活问题，理解课本所述内容，从而激发学生的学习兴趣，让学生的数学意识得到培养和能力得到提高。例如，在学习求平均数时，为了加强对这一知识的理解，可以设置一些学生生活中经常遇到的问题作为作业，少儿频道经常会出现一些节目比赛，其中有一种计算排名的方式，就是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把各位选手的平均分算出来，再进行排名。教师在设计练习题的时候可以结合这类型的生活范例对其进行设计，这样也有利于学生增强对课本知识的理解和在生活当中的应用。
平均数教学案例范文第6篇
【关键词】统计学 学科特点 教学对策
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）11C-0152-03
统计学是研究统计数据的艺术和科学，凡需要用数字来分析的地方，就有统计存在。统计学作为认识论和方法论，其重要性不言而喻。高职经济管理类专业通常以社会经济统计为内容开设统计学基础课程，该课程是各专业的专业基础课程，但一直以来教学效果不尽如人意。原因有很多方面，随之而来的教学改革层出不穷。学者们大多从教学目标、教学内容、教学方法与手段等方面进行尝试和探讨，取得一定的成果。本文将选取另外一个切入点作进一步探讨，即从统计学学科特点入手，着眼于分析高职学生学习统计学基础课程的瓶颈问题，进而提出有针对性的教学策略。
一、统计学学科特点
“统计”一词从字面上理解可以拆分为“统”与“计”，“统”指的是把社会经济中总体现象的数量方面归集到一起，为“计”提供前提和依据；“计”指的是对总体数据进行汇总、计算、分析，找出社会经济现象总体的规律。由此可以看出统计学的学科特点比较明显，即：数量性、总体性、具体性和实用性。
二、学生学习瓶颈分析
（一）从数量性分析
由于社会经济统计的研究对象是社会经济现象的总体数量方面，因此，数量性就成为社会经济统计的首要特点。数量性特点具体包含三个方面的内容：数量特征，即社会经济现象的规模、大小、水平等；数量关系，即社会经济现象的内部结构、比例关系、相关关系等；数量界限，即引起社会经济现象质量互变的数量界限。例如，完成计划与未完成计划有质的差别，计划完成程度100%就是质与量互变的界限。可见，对数量性认识的关键就是需要学生理解数量的特征和涵义，即对统计指标的理解，并运用数学方法，通过数学公式计算并理解数量之间的关系以及数量的界限问题。
学习瓶颈一：对统计指标认识不清，缺乏理解和应用。统计指标是十分重要的统计学基本范畴，是统计的语言。不管是统计初学者还是统计学家，都应该非常重视统计指标的理解和应用。然而统计指标从概念上来看似乎非常简单，即统计指标简称指标，是反映总体数量特征的概念和数值。例如，“2014年我国的GDP为63.64万亿元，同比增长7.4%”，这里有两个指标，前者是总量指标，后者是相对指标。对于初学者的高职学生来说，往往只是简单的认为这只是两个数字，前者是个很大的数字，后者说明“多了些”。具体指标含义是什么？说明什么社会经济现象？怎么统计得到的？有何意义？学生对这一系列说明统计指标的涵义、特征及意义的问题，缺乏认知和理解，也就不会去思考和计算分析数量关系以及数量界限了，更谈不上对指标的应用以及拓展了。
学习瓶颈二：对数学公式有一种天生的恐惧感，只为考试记忆，不去理解其涵义。统计学研究的是数据，需要用到很多数学公式，而在高职统计学基础课程中，需要运用的公式是比较基础、相对简单的，比如，相对指标的计算、平均指标的计算、动态水平指标的计算等，计算公式通常只涉及基本的四则运算。但高职学生往往觉得这些公式抽象而复杂，不容易理解；通常只是简单的采取死记硬背的方式来应付考试，其结果或者是记漏了公式中个别重要符号或数字，导致计算错误；或者完整把公式记住了，但不懂怎么把数据代入公式，究其原因是对公式的涵义不理解。因此，高职学生对于数学公式在计算上应该有足够信心，摒弃对数学公式这种天生的恐惧感，把主要精力放在对公式涵义的理解上，以及拓展到现实案例的应用上，即做到从理解中应用公式，从应用中认识公式。
（二）从总体性分析
统计的研究对象不是个体现象的数量方面，而是社会经济现象总体的数量方面。研究现象总体的数量特征，首先需要明确界定统计总体，即根据一定的目的和要求所确定的研究事物的整体，是由客观存在的、具有某种共同性质的许多个别事物所构成的整体，简称总体。构成总体的每个个别事物称为总体单位。例如，研究某地区物流企业的发展状况，该地区所有的物流企业构成的整体就是总体，而每一个物流企业就是总体单位。总体具有三个特征：同质性、大量性和变异性。从概念上来讲，总体和总体的数量特征是两个不同概念。
学习瓶颈三：容易混淆总体与总体的数量特征，造成对基本概念“总体”的理解混乱。统计总体是根据一定的目的和要求所确定的研究事物的整体，即具体事物的集合；而总体的数量特征指的是这些事物的数量方面，即数据的集合；显而易见，统计研究的对象不是事物的集合，而是数据的集合。所以，总体从概念上可以理解为具体事物的集合，而在统计上总体是一组观测数据，而不是一群人或一些物品的集合。例如，研究某企业员工的工资水平，从概念上总体是该企业所有员工集合，而在统计上总体是该企业所有员工工资收入的数据集合。其实在这个问题上，对于有经验的统计人员来说没有区分的必要，但对于初学者来说却很容易造成对总体概念理解的混乱。
（三）从具体性分析
统计学研究的是具体社会现象的数量方面，不同于数学上纯粹的、抽象的数量研究，统计学所研究的数量是在一定时间、地点、条件下的具体事物的数量表现。例如“数据显示，2015年1-3月我国累计进口汽车25.8万辆，同比负增长17.1%”，就是很具体的。如若没有了具体性，那就只剩下数字了，失去了统计指标的意义。
学习瓶颈四：对统计信息职能重视不够，容易忽略数量的具体性。统计最基本的职能就是统计信息，指的是统计具有信息服务的功能，也就是通过系统的搜集、整理和分析统计资料，提供大量有价值的、以数量描述为基本特征的统计信息，服务于经济社会。忽略数量的具体性，信息将毫无意义。高职学生面对一个数据往往容易只关注数量本身，而忽略了这个数据所处的具体时间、地点、条件，这对于一个现实数据来说是不充分的，而从中获取的信息也是不完整的，甚至是错误的。
（四）从实用性分析
统计学的发展历史悠久，其含义也在不断发生变化，通常所说的社会统计学是介绍有关社会现象调查资料收集、整理、分析和推论的统计方法，是人们认识经济社会有力的工具。其应用领域非常广泛，是为自然科学、社会科学的多个领域而发展起来的，为多个学科提供了一种通用的数据分析方法。比如，自然学科领域的农业、医学、地理、工程等；社会科学领域的精算、金融、管理、社会学等。统计学的多学科性及其通用性就需要初学者具备一定的社会经济常识，为更好的理解和应用统计知识做好准备。
学习瓶颈五：缺乏社会经济常识，宏观理解能力不足。高职统计学基础课程属于专业基础课程，通常在第一学期或第二学期开设。学生从高中刚进入大学，对社会经济常识的积累和理解还相对欠缺。笔者曾经做过一个对比，在同一个学期给大一新生和大二学生分别讲授统计学原理这门课程，发现学生的理解接受能力有较大差别，其主要原因就在于大一新生相对于大二学生来说，对社会经济常识的积累和理解有明显欠缺，具体体现在：一是大一新生的社会经济常识严重匮乏，比如一个班55人，听说过GDP的人数不多，听说过CPI的几乎没有；二是大一新生对社会经济现象不是很感兴趣，有点“事不关己高高挂起”的意思；三是大一新生对社会经济现象的观察和理解不足。
三、教学对策
（一）强化统计指标的理解与应用是认识数量性特点的最主要内容
统计指标是统计学中最重要的一个概念，是学习统计知识的基础和重要内容：描述统计通过统计指标来描述总体的数量特征；推断统计需要用样本指标来推断总体指标。两者都会涉及到统计指标概念、类别、性质的理解和应用。然而，传统的高职教学对于统计指标侧重于理论概念和类别的讲解，通常是按照统计指标内容体系（见图1）逐一讲解、举例、分析、计算。试想，学生面对这么多指标概念和分类，忙于死记硬背之外，就没有更多的时间来理解体会了，更不会把指标应用到实际当中。
因此，对统计指标的课堂讲解应该以实际应用为主线，以培养学生的思考能力、实践能力、创新能力为目标，按照综合指标和动态数列指标两大类，选取合适的热点论题开展课堂讨论，让学生在理解和应用统计指标的同时，提高统计学学习的兴趣。具体做法如图2所示，首先课堂围绕合适的热点论题展开，比如学校评价问题、房价问题、经济发展总量和速度问题等。其次，学生分组讨论，进行指标设计，与其他小组相互分享思路和结果。第三，教师参与讨论，主要任务是引导学生的思路，帮助学生确定科学合理的指标。最后，由教师根据教学内容和目标归纳总结统计指标，并就其概念、分类、作用及拓展进行分析。
（二）弱化数学公式讲解，注入统计思想分析
统计思想指的是关于“为何统计、统计什么、如何统计”的认识、理解或观念，也是人们关于统计的世界观和方法论。统计学中的数学公式，不同于数学上纯粹的、抽象的数学公式，它其中往往蕴含着具体现实问题的基本统计思想。例如，组中值的基本计算公式为“上限加下限除以二”，其统计思想是：组中值是上下限之间的中点数值，以代表各组标志值的一般水平；组中值并不是各组标志值的平均数，各组标志数的平均数在统计分组后很难计算出来，就常以组中值近似代替；使用组中值代表一组数据时有一个必要的假定条件，即各组数据在本组内呈现均匀分布或在组中值两侧呈对称分布。如果实际数据的分布不符合这一假定，用组中值作为一组数据的代表就会有一定的误差。认识了组中值的基本统计思想，组中值的计算公式就好理解了，进而，开口组组中值公式中“通过相邻组组距作为该组组距来计算”也就不难掌握了。
（三）强调教学案例的实际化、专业化，有助于总体性与具体性特点的理解
教学案例的选择是关系到案例教学成功与否的关键，一个合适的案例能让学生豁然开朗，达到应有的教学目的；一个失败的案例反而会让学生对所学的知识更加困惑。目前，高职案例教学有两个较明显趋势：一是考虑到学生的理解和接受能力，案例越来越通俗易懂。比如，班级人数统计案例、班级成绩统计案例、学生消费统计案例等；二是考虑到学生的计算能力，案例中的数据越来越简单、好算。诚然，这两个趋势的出发点都是为学生考虑，但这样的教学案例未免有些枯燥、脱离实际，不利于学生对总体性和具体性的理解，同时也影响了学生对统计学的兴趣。统计学教学案例的运用，应该把统计概念同经济实际联系起来，站在企业角度分析经济关系和经济问题；应通过对经济过程和经济实践中的一些实际问题的分析、比较，引导学生准确地运用统计知识去认识经济现象总体。
（四）引导学生对社会经济常识的课后阅读与思考，有助于实用性特点体会
社会经济常识是理解统计基础知识必备的前提，也是知识延伸、创新能力提高应具备的基础。比如涉及到经济热点的一些常见名词和概念：GDP、CPI、财政收入、人均可支配收入等。社会经济常识的获取是要靠日常生活中的多留意、多阅读、多思考的，这其中教师的引导作用效果明显。有了社会经济常识的准备，学生才能对社会经济中的数量进行分析，可以透过数字看现象本质，能读懂经济数据资料，能写统计分析报告， 具备较强的处理和分析数据的能力，特别是具备应用统计思想和方法解决实际经济或管理问题的能力。
（五）通过统计调查实践，帮助学生自主构建学科特点体系
传统的统计教学课堂通常以教师为主体，学生的学习主要靠的是外界的强加性输入，已有很多研究表明，学生在这种灌输式的学习方式下获取的知识，其输出效果是不佳的。如何使学生由知识的被动接受者转变为知识主动吸收和主动建构者，成为统计课堂教学的改革方向之一。统计调查实践将帮助学生自主构建学科特点体系，具体做法是：由教师拟定一些真实的、有现实意义的调查任务，让学生分组完成。每个小组需要完成的任务有：选定调查主题或自拟感兴趣的、有现实意义并可行的主题；拟定调查方案；实地调查；整理数据，分析数据；撰写调查报告；PPT演示、分享。这些任务在教师的指导下由学生自主完成，有利于学生知识能力的提高。首先，通过统计调查实践，学生能更有效的理解和拓展抽象的统计概念与指标。其次，学生能较系统的运用所学统计基础知识完成统计调查实践。第三，学生通过努力完成一项自己感兴趣的、有现实意义的“系统工程”，有利于兴趣的培养以及职场能力的提升。第四，学生构建了团队意识，强化了沟通交流能力。
在我国高等教育毛入学率逐渐提高目标的要求下，高职的入学门槛整体在降低。高职学生的文化基础薄弱，学习兴趣和积极性不强日益凸显。为适应新的形势，高职院校必须深化教学改革，高职教师必须从不同角度，不断改革和提升教育教学方法。统计学原理课程是高职经济管理类专业的核心基础课程，具有明显的学科特点，是学生感觉到最难学的课程之一。本文通过对统计学学科特点的剖析，归纳总结了学生学习统计学基础课程的瓶颈问题，并提出相应的教学对策。在课程教学改革上，为统计学原理课程教学改革提供了新的角度，也对别的专业基础课程教学改革有一定的借鉴意义。
【参考文献】
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[7]朱艳.高职统计学案例教学探析[J].中国科教创新导刊，2011（10）
平均数教学案例范文第7篇
【摘 要】文章结合高中数学新课程教学案例，就自主体验式教学作了探讨，旨在通过创设有效问题教学情境，促使学生在自主探究过程中较好地理解和掌握新知，在知情意行的体验过程中，促进学生全面而有个性地发展。
关键词 高中数学；自主体验；教学模式
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）33-0051-02
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”随着高中数学新课改的深入，体验式学习越来越受到教师的重视。数学学习是以学生为主体，以学生已有的知识和经验为基础的主动学习和自主建构过程。作为教学活动组织者、引导者和合作者的教师应不断创设有利于学生主动学习的问题教学情境，提供贴近生活的实例材料，使学生在自主、合作、探究学习过程中找到新旧知识之间的冲突点、切合点，以便有效理解和掌握新知，让学生真正成为学习的主人，使学生的主体意识、能动性和创造性得到不断发展，从而促进学生全面而有个性的发展。据此，笔者在多年的高中数学新课程教学中，就自主体验式教学模式作了持续地探索和实践。下面结合教学案例谈谈自己的教学感悟：
【案例1】随机变量的均值
这节课的重点与难点是取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义。为此，创设了如下问题情境。
问题情境：甲、乙两运动员，他们射击所得到的环数分别用X1，X2表示，从他们的平时训练中，我们得到X1，X2的概率分布如表1。我们该如何比较甲、乙两运动员射击水平的高低呢？
学生自主探究：
1．直接比较甲、乙射击所得的环数。从分布列来看，甲命中10环的概率比乙大，似乎甲的水平高一些；但甲命中7环的概率也比乙大，似乎甲的水平又不比乙高，可见这样比较很难得出合理的结论。
2．计算甲、乙射击所得的平均环数。学生很容易联想到已学过的求平均数的知识来求解：不妨设甲、乙各射击n次，则甲射击n次的平均环数＝（10×0．7×n＋9×0．1×n＋8×0．1×n＋7×0．1×n）÷n；乙射击n次的平均环数＝（10×0．6×n＋9×0．3×n＋8×0．1×n＋7×0×n）÷n。从解答结果简单来看，运动员乙的平均水平比甲高。这似乎合情合理，但却反映出学生对“概率”与“频率”两个概念存在混淆。
3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本平均值的计算方法：x1p1＋x2p2＋…＋xnpn计算样本的平均值，其中pi为取值为xi的频率值。通过类比，让学生自己总结出离散型随机变量X的平均值，从而得到取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义。然后迁移到该案例，可简单计算得到：
E（X1）＝ 10×0．7＋9×0．1＋8×0．1＋7×0．1＝9．4
E（X2）＝ 10×0．6＋9×0．3＋8×0．1＋7×0＝9．5
由于E（X1）＜ E（X2），即甲射击环数的均值小，从随机变量均值上讲，运动员甲的水平没乙高。
反思：教师通过实际问题的创设，让学生从已有的知识出发，自主探求解决问题的各种不同方法。对于所得的结果，让学生通过相互的交流、学习、合作，从而寻求到解决问题的最优方案，并能用这种经验来找别的方法、解决其他相近问题，这样学生就自主探求到了知识的来源，体验到了知识的归宿。
【案例2】几何概型
这节课的主要任务是理解几何概型的概念，并掌握几何概型的概率计算公式及其应用。既然是几何概型，就离不开几何问题的运用。为此，创设了三个问题情境作为新课导入。
问题情境1：见面问题。老师和小红约定9点到10点在操场见面，不管谁先到，等20分钟后就离开。两人都履行了约定。问：老师和小红见面的概率。该问题在实际生活中很常见，不过却很少引起人们的思考。在这里以概率问题给出，学生凭现有知识无法很快得出答案，这就激发了学生的学习动机。
问题情境2：剪绳子问题。取一根长3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？让学生分组合作，通过实践操作来分析问题，通过归纳整理来体验解决问题的过程。
问题情境3：转盘游戏问题。如图1，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区时，甲获胜，否则乙获胜。请讨论甲获胜的概率。
该问题由学生自己来回答表述，自主体验完成。
创设上述3个问题情境作为导入，既可引导学生与学过的古典概型进行比较，又可让学生体验几何概型的运用实例，为学习几何概型的概念、基本特点及其概率的计算方法作了有效地铺垫。
反思：通过创设贴近生活的问题情境让学生自主探究体验，既可提高学生的学习兴趣，又可引导学生多观察生活、体味生活，多动脑筋、多加思考，从而培养学生发现和提出问题的意识，分析和解决问题的能力，在思考、感悟、整合中学习数学思维方法，在联想、类比、反思中建构知识体系。
【案例3】用二分法求方程的近似解
本课的主要任务是二分法基本思想的理解及运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程。
问题情境：为了引入二分法的基本思想，仿照央视娱乐节目“幸运52”中的竞猜价格游戏来创设问题情境。
问题1：教师在纸上写下一个数据，只告诉学生数据的范围，请学生依次来猜所写的数据。该如何来猜才能较快锁定答案？
学生自主探究：
1．随意报出一个数据来猜。显然一个接一个数据毫无规律地来猜是很难猜中的。
2．在教师给出的数据范围，锁定一个新的范围来猜。这样能不断缩小数据所在的范围，直到猜出答案。
猜数据的过程体现了“逼近”的数学思想。将学生猜数据的过程进行总结提炼，就可得到解决此类问题的思想方法：关键是取区间的中点，不断二分，以缩小数据所在的区间。
问题2：借助计算器，如何设计方案来找到方程lgx＋x-3＝0在区间（2，3）内的近似解（精确到0．1）？
学生自主探究：
1．方程与函数的转化。设f（x）＝lgx＋x-3，将方程的解转化为函数的零点。
2．逐步缩小零点所在的区间。
类推过程见表2。由f（2．5）＜0，f（3）＞0，可判断根在区间（2．5，3）内。因2．5625、2．625精确到0．1的近似值都为2．6，所以原方程的近似解为x≈2．6。在这基础上，引入“二分法”就水到渠成了。
反思：教师通过创设有趣且适合学情的问题情境，来营造课堂气氛，鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与自主学习过程，提高了学生的学习兴趣。在教学过程中，重视知识的形成过程，注重思维和探索方法，以生为本，让学生在主动学习的过程中去体验数学思想和积累数学实践经验，体现了新课标“思想方法比知识更重要”的教学价值观，有助于培养学生自主学习、终身学习的能力。
教育家陶行知提出“生活即教育”的主张，倡导“教学做”合一的思想，可见，自主体验式教学所采取的提出问题、促进参与、积极体验的教学策略是符合做中学，学中思，知情意行相统一的教育规律的，也体现了新课标“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”的理念。在自主体验式教学的探索与实践过程中，教师促进了自己的专业化发展，学生在学习中学会了学习，真正实现了师生互动，共同成长的新课改目标。
参考文献：
平均数教学案例范文第8篇
关键词：软件工程经济学；软件成本估算；Delphi法；案例驱动
作者简介：岳清（1973-），女，河南郑州人，北京信息科技大学计算机学院，副教授；郝保水（1976-），男，河北衡水人，北京信息科技大学计算机学院，讲师。（北京 100101）
基金项目：本文系北京信息科技大学教育教学改革项目（项目编号：2011JGYB22）、“北京市级人才培养模式创新试验区——软件工程专业卓越计划试点改革项目”的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）19-0094-03
软件工程经济学是软件工程的三大学科分支之一，与软件工程技术学和软件工程管理学共同构成软件工程学科体系。该课程是软件工程专业本科生和研究生的一门重要专业课。有效的软件成本估算是减少软件项目预算超支问题的首要措施，是成功管理软件项目的必要前提。[1]因此软件成本估算是“软件工程经济学”课程的重要组成部分，有着举足轻重的分量。
常用的软件成本估算方法有：参数模型估算法、专家估算法、类比估算法、自顶向下估算法和自底向上估算法等。其中，专家估算法是目前应用最为广泛的成本估算方法。本文通过专家估算法——Delphi法教学过程的分析，探讨以学生为主体的案例驱动教学过程。
一、 Delphi法介绍
Delphi 法最早出现于20世纪50年代末，是当时美国为了预测在其“遭受原子弹轰炸后，可能出现的结果”而发明的一种方法。美国兰德公司（RAND）的赫尔默（Helmer）和戈登（Gordon）于1964年首先将其用于技术预测。此后便迅速地应用于美国和其他国家。除了科技领域之外，其还几乎可以用于任何领域的预测，如教育预测、人口预测、医疗保健预测、经营和需求预测等。[2]Delphi法是专家估算法的一种，由于专家在进行估算的时候很可能有产生悲观、乐观的偏见，甚至是由于对估算对象了解不够而产生偏差很大的估算，因此对于较大的项目就不能由一个专家来估算，而需要多个专家的群体分析。Delphi法即采用专家群体的意见，不是专家个人的意见，因此又称为专家群体法，在对一些规模较大、研发经费较多的项目做成本估算时项目管理部门往往采用Delphi法。[3，4]
二、 传统教学中暴露的问题和改革的思路
在传统的教学过程中，教师通过对一个软件项目成本估算来讲述Delphi法每一个步骤。由于Delphi法的求解流程复杂，用时较长，同时课程的连贯性很强，分析过程一环扣着一环，这种“被动”的学习过程导致有一部分学生“掉队”，对Delphi模型理解不透彻，更谈不上应用模型分析和解决实际问题。
课程改革的思路是让学生最大限度参与到教学过程中，让学生充当Delphi分析法中的一个成员，对学生熟悉的一个项目用Delphi法进行成本/工作量估算。在整个项目成本估算的过程中，学生不是被动地接受知识，而是作为一个参与者，主动地、直接地参与了估算过程，极大调动了学习积极性。
三、 教学改革后的Delphi法教学过程
由于软件本身的特性，人员成本通常占到整个软件项目成本的绝大部分，“成本估算”与“工作量估算”在很多情况下可交替使用。本文采用的是“工作量的估算”。
本案例教学是用Delphi法对一软件项目的开发工作量进行估算。在软件项目的选择上要选择学生熟悉的项目，如：数据库课程设计大作业、软件项目实践课程大作业或者管理信息系统大作业。学生熟悉项目，有一定的系统设计、开发经验，对工作量的估算相对比较准确，不会产生很大的分歧。本文采用的项目是管理信息系统课程的大作业“酒店客房管理系统”。学生已以小组为单位完成了“酒店客房管理系统”的需求分析、设计和实现，对系统构建过程比较熟悉。教师在课程之前准备好“酒店客房管理系统”的需求说明书，其中的需求要比管理信息系统课程实现的系统稍复杂一些，给学生发挥的空间。需求说明书在课前发给学生，要求学生课前预习，了解需求。
课堂教学步骤如下：
1. 教师讲解Delphi法求解流程
Delphi法的求解流程如图1所示，教师简略讲解Delphi法的各个步骤，说明专家调查表、反馈意见统计表的填表方法、几个关键参数的含义。这里的讲解不用很详细，让学生在下面的活动中去体会Delphi法的求解流程。
2.分组
通常教学班有30人左右，可分为5组，每组6人，其中每组5名学生的角色是专家，1名学生的角色是会议主持人。不要把成绩好或者差的学生集中在一组，最好各组之间能力平衡。应选择有一定组织能力、专业能力较强的学生担任会议主持人角色。
3.项目信息和评审规则介绍
充当会议主持人的学生应在课前对项目进行深入的了解和分析，并且准备项目介绍的PPT，在课上将项目介绍给同一小组的专家。介绍的内容包括：项目的背景资料、需求说明书、项目进度的相关要求和评审的规则。评审的规则有调查终止次数、调查终止的上界。这里假设调查终止次数为4，也就是最多4轮后就要结束调查。调查终止的上界就是临界变异系数，变异系数是反映数据离散程度的绝对值，由于各模块工作量的平均值不同，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。标准差与平均数的比值称为变异系数，临界变异系数即为评审可以接受的数据最大变异程度，本文假设临界变异系数为15%，对某个模块分析时，当专家组对该模块工作量估值的变异系数小于等于该值，调查终止。
4.发放调查表
会议主持人发放调查表，如表1所示，本案例的“酒店客房管理系统”由6个模块组成，分别是客房管理模块、预约管理模块、前台接洽模块、客人结账模块、夜审模块和查询模块。由于在项目开发中可能会遇到各种风险，因此在估算时对每个模块的工作量按三种不同的情况进行估算：乐观、最可能和悲观。乐观值是指在条件最有利的情况下估算的值，最可能值是指在正常情况下估算的值，悲观值是指在条件最不利情况下估算的值。由于所选的项目是学生熟悉的项目，这就保证了估算时不会产生严重的分歧。
5.专家无记名填写调查表
小组中的5名专家无记名填写专家调查表，分别给出各个模块工作量的乐观值、最可能值和悲观值：第k个专家对第i个模块工作量估算的乐观值为aki，第k个专家对第i个模块工作量估算的最可能值为mki，第k个专家对第i个模块工作量估算的悲观值为bki。本课程在原有的系统上增加了少部分功能，学生能够根据先前的知识和经验对各个模块的工作量进行估算。
6.主持人计算及汇总数据
专家将填写好的调查表交给主持人，主持人要计算出估值的平均值和变异系数。根据中心极限定理可知， 各模块工作量服从正态分布，[5]计算过程如下：
根据公式计算出每个专家对每个模块工作量估算的期望值。
根据公式计算各模块的工作量估值的平均值，即5个专家工作量估值的平均值。
根据公式计算出专家组对i模块成本估值的样本均方差。
根据公式计算出专家组对i模块成本估值的变异系数。[2]
在这个环节中，让学生通过数据去体会均方差σ2i和变异系数εi两个概念的不同，并以小组为单位讨论。这两个参数都是体现专家组估值与平均值的差异，σ2i体现的是绝对值，而εi体现的是相对值，因此在比较两组或多组均值不同的数据时，应该用变异系数而不是均方差作为比较的参考值。计算出以上数据后，会议主持人填写专家组反馈意见统计表，如表2所示。
由变异系数判断该子模块是否终止。变异系数体现了不同专家估算值和平均值偏差的程度。变异系数越小，表示专家的意见越统一，否则，意见有较大的分歧。如果变异系数小于本例初始的设定值15%，则对该模块的分析到此结束，不再进入下一轮调查，这一轮计算的估值平均值即为该模块的工作量估值。如果这一轮变异系数大于初始设定值，则再次判断调查的次数是否到达上界，如果到达，则终止调查，该模块的工作量估值为前面各次调查估值平均值的平均值。如果这一轮变异系数大于初始设定值并且调查次数没有到达上界，则调查次数加1，进入下一轮调查。实际教学过程中，学生会发现意见统一的模块只进行了一轮或两轮就终止了，而分歧较大的模块则调查的次数较多。
7.专家讨论
在新一轮调查之前主持人要组织召开专家会议，公布这一轮要调查模块的估值平均值、工作量估值的均方差和变异系数，然后每个专家阐述各自的意见，经过充分讨论之后，重新填调查表。在这个教学环节中学生讨论得比较激烈，各自阐述原因，沟通的过程促进了学生对项目开发过程的理解。注意，在步骤6中终止调查的模块就不需要再次分析了，只需要分析变异系数大于初始设定值的那些模块。新一轮调查，专家是按照如下准则修改数据的。[3]
如果专家之前对该模块给出的值大于估值平均值，这一轮应该往低估，并且给出的值应该介于估值平均值和上一次给定值的之间。
如果专家之前对该模块给出的值小于估值平均值，这一轮应该往高估，并且这一轮给出的值应该介于估值平均值和上一次给定值的之间。
以上两个原则保证了新一轮调查变异系数的减小，也就是专家的意见趋于统一。专家按照上述原则填调查表，返回步骤5。
上述7个步骤就完成了Delphi法分析过程。不同模块工作量估算过程可能有所不同。有的模块只进行了一轮，变异系数小于初始设定值，就不再估算了，输出估值平均值；有的模块进行了几轮，变异系数在减小，在规定的调查次数中满足了变异系数小于初始设定值，也不再估算了，输出本次的估值平均值；还有可能有的模块进行了几轮，变异系数在减小，但是在规定的调查次数中依然没有满足变异系数小于初始设定值，此时也不再估算了；输出的估值平均值。
8.教师总结
教学过程中，学生主动参与工作量估算、讨论和计算等过程，积极性高；教师在学生分组讨论前讲解流程，在讨论中对各组巡视、解答一些疑难问题，在分组讨论结束后，要进行总结，对各个小组讨论中出现的典型问题汇总，帮助学生梳理思路。
四、 计算的简化
在Delphi法的求解过程中，有大量的计算过程。如，在步骤6中要计算模块的期望工作量、估值的平均值、均方差和变异系数。如果这些全部在课堂教学中计算，整个Delphi法的教学案例很难在一个学时内完成。为了解决这个问题，在Delphi法课程之前，先让学生完成一个软件工程经济学教学辅助工具——Delphi法模型演算工具的制作。该工具实现了上述步骤5的计算。通过这个工具，主持人只要输入各专家调查表中的数据，就会输出专家组反馈意见统计表相应数据项的内容。工具的制作不仅达到了让学生课前预习的目的，还节省课程中案例教学时间。
五、 教学效果
案例教学中，每位学生都以特定的角色参与了Delphi法的工作量估算过程。通过每一轮的调查、计算、讨论，学生理解和掌握了Delphi法的原理和工作流程。对于某些复杂的参数，如变异系数的理解，只有课堂上教师的理论讲解是不够的。学生通过几轮调查，发现根据规则改变了估算值后，变异系数减小，就能感觉到变异系数的含义。
北京信息科技大学的软件工程专业开设了“软件工程经济学”课程，本案例应用于教学中，通过这种分组、讨论的、互动的教学，学生对Delphi模型理解透彻，为将来应用模型分析和解决实际问题打下了良好的基础，学生体会到了“学中做，做中学”的教学理念，提高学生学习的积极性和主动性，增加了对课程和专业的兴趣，取得了很好的教学效果。
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