三角函数值规律

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三角函数值规律范文第1篇

一、深入理解锐角三角函数的概念

1.理解锐角三角函数的定义.

（1）正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关；

（2）在RtABC中，∠C=90°，锐角三角函数值[ab]、[ac]和[bc]都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而唯一确定，因此它的大小仅与角的大小有关，而与所在的直角三角形的边的长短无关；

（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一个完整的符号，tanA不是tan与A的积，离开了∠A，“tan”就没有意义了，只有合起来，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；

（4）符号tanA表示∠A的正切，在符号tanA中，习惯省去角的符号“∠”，当用希腊字母α、β等表示角时，其正切中角的符号习惯上也省去，但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时，角的符号“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

2.应用锐角三角函数的定义.

例1 （2016・甘肃兰州）在RtABC中，∠C=90°，sinA=[35]，BC=6，则AB=（ ）.

A.4 B.6 C.8 D.10

【分析】先画出图形，如图1，在RtABC中，由锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入即可求出AB的长.

【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键，做题时边读题边画一个直角三角形，数形结合、看图说话，可避免主观出错.

二、理解记忆特殊角的三角函数值

任意角的三角函数值都可以由计算器获取，但由于特殊角的三角函数值常见常用，所以应当记忆，这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.

另外，观察表格，我们还有收获.横着看：正弦值、正切值，随着角度的增大而增大（其中tan30°?tan60°=1=tan45°）；余弦值，随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律？对所有的锐角三角函数都成立吗？有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看：sin45°=cos45°；斜着看：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°.学习数学，要善于观察、思考，这样才能不断提升自己.

例2 式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是（ ）.

A.[23]-2 B.0 C.[23] D.2

【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.

【评注】本题考查了特殊角的三角函数值，因此，一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.

例3 已知tanA=[23]，∠A为锐角，则∠A的取值范围是（ ）.

A.0°

C.45°

【分析】要确定∠A的取值范围，只要确定[23]在哪两个特殊角的三角函数值之间即可.因为[33]

【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值，还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.

三、解直角三角形及其应用

1.直角三角形各元素之间的关系.

如图2，在RtABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系：

三边之间的关系：a2+b2=c2；

两个锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；

边角之间的关系：sinA=cosB=[ac]；cosA=sinB=[bc]；tanA=[1tanB]=[ab].

2.解直角三角形的基本类型及解法.

由此我们知道：在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活，尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.

例4 （2016・江苏苏州）如图3，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）.

A.[23]m B.[26]m

C.（[23]-2）m D.（[26]-2）m

【分析】先在RtABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定义计算AC即可.

【解答】在RtABD中，sin∠ABD=[ADAB]，

AD=4sin60°=[23]m，

在RtΔACD中，sin∠ACD=[ADAC]，

AC=[23sin45°]=[26]m，故选B.

【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件，利用已知的边和角求出未知的边，进而解决问题.

例5 （2016・四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图4所示，则下列关系或说法正确的是（ ）.

A.斜坡AB的坡度是10°

B.斜坡AB的坡度是tan10°

C.AC=1.2tan10°米

D.AB=[1.2cos10°]米

【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度（这个度的意义不是角度），它是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，是一个比值，一般用i表示，常写成i=h∶l的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα.

【解答】根据坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=[BCAC]=tan10°，选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形应用中的基本概念：坡度、坡角，理解坡度的含义是解题的关键.

例5 （2016・山东菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，如图5，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20[（1+3）]海里的C处，为了防止某国巡警干扰，就请求我国A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离.

[图5][图6]

【分析】本题属于解直角三角形的应用――方向角问题，认真审题，理解方向是解题的关键.如图6，过点A作ADBC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的方法，可得出AD，进而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可列出方程，解出x的值后即可得出答案.

【解答】如图6，∠ACD=45°，∠ABD=30°.

设CD=x，在RtACD中，可得AD=x，

在RtABD中，可得BD=[3x]，

又BC=20[（1+3）]，CD+BD=BC，

即x+[3x]=20[（1+3）]，

解之得：x=20，

AC=[2x]=[202]（海里）.

答：A、C之间的距离为[202]海里.

三角函数值规律范文第2篇

1.有利于理解三角函数的定义。

采用“单位圆定义法”，对于任意角a，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角a（弧度）对应于点P的纵坐标y――正弦，角a（弧度）对应于点P的横坐标x――余弦，可以得到非常清楚、明确的表示。而“终边定义法”需要经过“取点――求距离――求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； "从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明。以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚明白，与“终边定义法”的这些问题不无关系。

2.有利于构建任意角的三角函数的知识结构。

“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量a与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等。例如：

（1）P(x，y)在单位圆上 |x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；

（2）|OP|2=1 sin2a+cos2a=1；

（3）对于圆心的中心对称性 sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；

（4）对于x轴的轴对称性 sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；

（5）对于y轴的轴对称性 sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；

（6）对于直线y=x的轴对称性 sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；……

3.有利于理解弧度制。

学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解。“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了。另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）a被缠绕到单位圆上的点P(cosa，sina)。

4.符合三角函数的发展历史。

任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”。所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程。

三角函数值规律范文第3篇

关键词：三角函数；周期；单位圆

中图分类号：G642.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）09-0249-02

1.三角函数的宏观整体分析

1.1内容分析

1.1.1背景分析。三角函数是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数，它产生的实际背景是实际生活中存在的大量周期现象，它是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，是最基本的周期函数.在数学和其他领域中具有重要的作用。通过实例，学习三角函数并研究三角函数的基本性质，体会三角函数在解决具有周期性变化规律中的问题教学。

1.1.2教学目标。（1）知识与技能：了解任意角的概念，能借助单位圆的直观掌握三角函数的所有内容。（2）过程与方法：通过本章的学习，使学生进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力。

1.1.3知识结构

1.1.4蕴含的数学思想方法。①方程的思想；②函数的思想；③数形结合的思想；④化归与转化的思想；⑤分类讨论的思想；⑥换元法；⑦整体的方法；⑧类比联想的方法。

1.1.5重点、难点。重点：三角函数的诱导公式和三角函数的图像与性质；难点：运用三角函数知识解决代数、几何和实际问题。

1.1.6教育价值。（1）有助于学生体会数学与实际生活的联系，以及数学在解决实际问题中的作用；（2）有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程；（3）有助于发展学生的运算能力和推理能力。

1.2教材分析的原则和方法

方法：理论与实践相结合的方法、教与学相结合的方法；

原则：课标原则、学生中心原则、突出数学思想方法原则、联系的原则。

2.任意角的三角函数的概念的教材分析

2.1内容分析

2.1.1背景分析。三角函数是函数的一个特例，是函数概念的下位概念，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并在这个过程中突出单位圆的作用。

2.1.2教学目标。知识目标：（1）掌握任意角的三角函数的定义；（2）已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；（3）记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

2.1.3教学重点。帮助学生理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并在这个过程中突出单位圆的作用。

2.1.4教学难点。利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来。

2.1.5知识结构图

2.1.6蕴含的数学思想方法。数形结合的思想、类比联想的方法、化归与转化的思想。

2.2教材分析的方法和原则

方法：理论与实践相结合的方法、教与学相结合的方法。

原则：课标原则、学生中心原则、教师主导原则、突出数学思想方法原则、理论联系实际的原则。

3.三角函数特定内容分析

在本章的学习中，单位圆扮演了重要的角色，那么，借助单位圆研究问题给我们带来了哪些好处呢？我认为应从如下四个方面来探讨这个问题：（1）利用单位圆定义正弦、余弦、正切函数，使得这三个三角函数从角的弧度数到角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标建立起的联系更加简洁、明了，学生掌握起来也较容易。而且能够更好地反映三角函数是刻画周期现象的重要的数学模型。（2）初中的角是通过两边夹出来的，而高中的角不仅是通过一条射线绕着一个点转出来的，而且是可以用单位圆的半径来度量的。（3）用单位圆来定义三角函数，可以让学生更好地掌握其中所蕴含的数学思想方法，即数形结合的思想。我们知道，单位圆上点的横纵坐标就是相应的三角函数线的数量。（4）三角函数是一类特殊的函数，它自身具有很多性质，利用单位圆的很好的几何特性——对称性来研究三角函数，对我们掌握同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的图像和性质，提供了极大的方便。

参考文献：

[1]倪海燕.关于多媒体计算机辅助数学教学的探讨[J].教育探索，2003，（5）.

[2]王尚志，张思明，胡凤娟.整体把握高中数学新课程中的三角函数与三角[J].中学数学教学参考，2008，（15）.

三角函数值规律范文第4篇

例1 （2014年湖北省荆州高考数学模拟试卷）集合A={-1，0，1}，B={y|y= cos x，x∈A}，则A∩B=

A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{-1，0，1}

难度系数 0.75

错解 A={-1，0，1}，B={y|y=cos x，x∈A}={y|-1≤y≤1}，A∩B={-1，0，1}.选D.

错因 涉及含有三角函数问题的集合的表示方法以及两个集合的交集的定义与求法问题，关键是结合题目条件确定相关的集合后再加以运算.以上错解没有充分考虑集合B中函数值y=cos x中的自变量x的取值限制，直接结合余弦函数得到-1≤y≤1，而实际上这里x∈A，求出B={cos 1，1}是解题的关键.

正解 A={-1，0，1}，B={y|y=cos x，x∈A}={cos 1，1}，A∩B={1}.选B.

小结 涉及三角函数值的应用问题，同学们一定要注意三角函数中对应自变量x的取值范围的限制条件，不能盲目直接利用三角函数的图像与性质来求解，要充分考虑题目条件或隐含条件中对相应角的取值限制.

易错点2：诱导公式显身手，题目条件需挖掘

例2 （2014年甘肃省高考数学一模试卷）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，且在区间（2 013，2 014）上单调递增.已知α、β是锐角三角形的两个内角，则f（sin α）、 f（cos β）的大小关系是

A. f（sin α）< f（cos β） B. f（sin α）> f（cos β）

C. f（sin α）= f（cos β） D.以上情况均有可能

难度系数 0.55

错解 由f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，得f（x+2）= - =- = f（x），所以函数f（x）是R上的周期为2的周期函数.

又偶函数f（x）在区间（2 013，2 014）上单调递增，所以其在区间（-1，0）上单调递增.根据偶函数的性质，可知函数f（x）在区间（0，1）上单调递减.

由于α、β是锐角三角形的两个内角，所以sin α与cos β的大小无法确定.选D.

错因 涉及三角函数值大小比较的问题，同学们要注意结合函数在相应区间内的单调性，并结合自变量的大小关系来加以正确判断.以上错解对于α、β是锐角三角形的两个内角的条件没有充分挖掘，直接得出sin α与cos β的大小无法确定，进而导致错误判断.实际上，结合条件，sin α与cos β的大小是可以判断的.

正解 由f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，得f（x+2）= - =- = f（x），所以函数f（x）是R上的周期为2的周期函数.

又偶函数f（x）在区间（2 013，2 014）上单调递增，所以其在区间（-1，0）上单调递增.根据偶函数的性质，可知函数f（x）在区间（0，1）上单调递减.

由于α、β是锐角三角形的两个内角，所以α+β> ，即 >α> -β>0.所以1>sin α>sin（ -β）>0，即1>sin α>cos β>0.所以有 f（sin α）< f（cos β）.选A.

小结 涉及三角形中的三角函数值问题，同学们一定要注意对题目条件的挖掘，结合三角形的性质以及三角函数的对应公式来分析与求解.解答本题的关键是由α、β是锐角三角形的两个内角，得到α+β > ，通过不等式的转化与应用，结合正弦函数的图像与性质以及诱导公式来综合解答.

易错点3：三角函数有界性，考虑问题要慎重

例3 （2014年江苏省苏州市高三第一次调研卷）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）= a（b+sin x），g（x）=b+cos x，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=______.

难度系数 0.40

错解 存在m使得f（m）=g（m），即存在m使得a（b+sin m）=b+cos m，则有b（a-1）=cos m-asin m= cos（m+φ）∈[- ， ].所以b（a-1）≤ ，即b2≤ .显然，当a=2时，b2≤5，此时b=1或b=2，故a+b=3或a+b=4.

错因 涉及三角函数中的辅助角公式的应用问题，往往通过转化并结合三角函数的有界性来综合与应用.以上错解对三角关系式加以正确转化，但在考虑参数a，b的值时，没有充分利用条件中a，b均为大于1的自然数这个条件，同时结合相应的不等式加以科学推理与分析.

正解 存在m使得f（m）=g（m），即存在m使得a（b+sin m）=b+cos m，则有b（a-1）=cos m-asin m= cos（m+φ）∈[- ， ].所以b（a-1）≤ ，即b2≤ = = + +1=2（ + ）2+ .

由于a，b均为大于1的自然数，所以b2∈（1，5]，则b2=4，即b=2.

由2（a-1）≤ 展开并整理有3a2-8a+3≤0，解得 ≤a≤ ，满足大于1的自然数a只能是a=2，即a+b=4.

小结 涉及三角函数的有界性问题，关键是对条件进行限制与应用.本题通过三角函数的辅助角公式，利用三角函数的有界性，推出a，b的关系，同时a，b均为大于1的自然数，结合不等式的性质、二次函数的图像与性质、不等式的求解等来讨论a，b的范围，从而求出a，b的值.

易错点4：图像平移与变换，方向单位齐注意

例4 （2014年高考浙江文科卷）为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像，可以将函数y= ・cos 3x的图像

A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位

C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位

难度系数 0.68

错解 由y=sin 3x+cos 3x= cos（3x- ），则可以将函数y= cos 3x的图像向右平移 个单位，即可得到y= cos（3x- ）的图像.选B.

错因 涉及三角函数图像的平移与变换问题，同学们要注意结合三角函数平移前后对应的同名三角函数关系式中自变量与因变式对应的变化.以上错解对自变量x的考虑不到位.

正解 由y=sin 3x+cos 3x= cos（3x- ）= cos 3（x- ），可将函数y= cos 3x的图像向右平移 个单位，即可得到y = cos 3（x- ）的图像.选A.

小结 三角函数的图像平移时，平移方向遵照规律“左加右减，上加下减”执行，即：①将三角函数y= f（x）的图像向x轴负（或正）方向平移φ（φ>0）个单位，则将y= f（x）中的x用x+φ（或x-φ）代换，所得新的三角函数图像的函数解析式为y= f（x+φ）[或y=f（x-φ）]；②将y= f（x）的图像向y轴正（或负）方向平移m（m>0）个单位，则将y= f（x）中的f（x）用f（x）+m[或f（x）-m]代换，所得新的三角函数图像的函数解析式为y = f（x）+m[或y= f（x）-m]，然后进行整理即可.

三角函数值规律范文第5篇

摘要：三角函数是三角学的重要组成部分，是刻画周期现象的一种非常重要的模型，是高中数学教学中很重要的一类函数。对学生而言，由于这部分知识很少有实际背景支持，完全在抽象的数学符号层面展开，使得许多学生感到枯燥，难理解，缺乏学习动力，而且学生学习之后存在着对三角函数的本质不理解，不明白为什么要学这些知识等问题，而解决这些问题就需要从三角函数的发生发展中去寻找答案。本论文选择了高中北师大版必修4，三角函数章节中重要的2个部分：弧度制和正弦函数的定义。是在许多人研究的基础上，首先是对弧度制的教学进行了综述的概括，继而开始对正弦函数的定义进行教学设计。

关键词：数学史;三角函数;教学设计

一、研究背景

国家教育部制订的《普通高中数学课程标准》的基本理念之一就是在高中数学课程中体现数学的文化价值，在适当的内容中提出对数学文化的学习要求，并明确规定数学史选讲纳入高中数学课程，但有关三角函数的历史却没有在课程中体现。现在数学史融入数学教学中的研究理论很强，但实际的具体操作方法很少，所以有很多数学史与数学教育的研究者提议要多研究一些关于数学史融入数学教学中的具体的案例。目前针对三角函数部分进行研究的人较少，主要查到了几篇关于数学史视角下的弧度制教学的论文，而且对正弦函数单独研究的人更少，这是由于正弦函数的历史比较零散，内容庞杂，研究时无法整段整段的研究。本文在前人研究的基础上，写了一份将数学史与弧度制教学结合的教学案例，继而通过设计正弦函数的模型来研究如何对正余弦函数的定义进行教学。

二、数学史视角下的弧度制教学

（一）关于数学史视角下弧度制教学的论述

课本中关于角的弧度制教学是通过测量同样的圆心角所对的弧长与半径，发现同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。但相当多的高一学生感觉弧度很“糊涂”， 为了解决这个问题，研究数学历史上弧度制的产生及发展历程，发现其产生及发展的必要性，从数学史中找到答案则显得尤为重要。根据相关的论文，本人查到的几篇基于数学史的弧度制的教学，对弧度制教学引入数学史必要性提出以下证据：

1.很多人对弧度制概，念产生的动机缺乏正确的理解。有人认为在角度制里，三角函数是以角为自变量的函数，对研究三角函数的性质带来不便，引入弧度制后，便能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，从而将三角函数定义在实数集或其子集上。事实上，无论是角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系。只不过在建立一一对应时，弧度制为十进制，不需要换算，方便;在角度制里，若将 n°的角对应实数 n 也能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，但是需要做 60进制的换算（例如 30°15′的角对应实数 30.25），不方便。但是使用的方便与否不足以说明弧度制产生的动机。

2.有人认为由弧长公式可得lr=nπ180，因此 l与 r 的比值只与圆心角的大小有关，而与所取的半径大小无关，因而把 l 与 r 的比值作为对应的圆心角的弧度数。当 l=r 时，比值为 1，所以把等于半径长的圆弧所对的圆心角作为 1 弧度的角。这样对学生讲也缺乏说服力，因为能够确定圆心角的大小而与所取的与半径大小无关的量有很多，如为什么不把等于半径长的弦所对的圆心角作为 1 弧度的角？

（二）教学过程设计

1. 历史链接：将圆分为360度源于数学史。360这个数实际上与圆的任何基本性质之间并没有任何关系。美索不达米亚的苏美尔人使用了六十进制，他们之所以选择这种位值制，可能是因为30，60，360这样的数能被许多数整除，巴比伦人和埃及人沿用了这种制度，将圆分为360等份，每一份所对的圆心角叫做 1 度，1度有60分，1分有60秒。埃及人还创用了度数的符号。

2 .弧度制产生的基础

随着对圆周运动的研究，对角的认识，角的单位发生了很大的变化和发展，且出现了很多的优势。最初，在平面几何里，我们把圆周分成 360 等份，每一份叫做 1 度的弧，把1 度的弧再细分就得到分和秒。1 度的弧所对的圆心角叫做 1 度的角。也就是说度、分、秒最初是度量圆弧这样的曲线的长度单位，在圆弧与圆心角之间建立一一对应后，度、分、秒便成了度量角的单位。 n°的角对应实数 n 也能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，但是需要做 60进制的换算。如下图：

六十进制的角度制十进制的角度制角度对应实数弧长表示

3030′30.530.530.5

我们可以看出当时的人们已经发现圆中角与弧长之间的一一对应关系。

这种方法是把圆周长的1360作为单位长度（长度单位不是我们学过的统一的国际长度单位，而是根据具体的实际情况取圆周长的1360）来测量弧长，此时的整个圆的长度为360，那么很显然我们可以求出半径为3602π，此时半径为无理数，不方便计算。印度数学家阿耶波多根据这种方法制作了正弦表时，就取π=3.14159，按 60 进制，整个圆周长是 360 度=21600 分。如果半径也用弧长的“分”作单位，由上式可推得 r=3437.746 分，略去小数部分，取半径为 3438 分。我们可以看到此时的计算数字非常的大，求角所对的弦或者弧的时候计算量很大。 在这可以举一个例子：倘若我们知道半径为3米，那么你能计算出30.50所对的弧长吗？根据扇形相似，对应边成比例我们可以得出设所对的弧长为x，则34383=30.5*60x，可得x=1.597。（给出合理解释：我们知道圆的大小形状可以由半径来确定，那么在确定了半径为3602π后，我们就可以得出圆的周长为360，而且存在着对于任意角α0有唯一的弧长为α的弧与之对应）。

3.弧度制的产生

经历千年之久后，1748 年欧拉主张用半径为单位来量弧长。设半径等于 1，那么整个圆周的长就是2π个半径，半圆周的长就是π个半径。此时是将圆周长划分为2π个单位长度，同样的圆心角360°也分为2π个单位长度，得到角的弧度制的表示方法。即如下：

角度制3601809057.296

弧度制2πππ21

这就是现代的弧度制。

根据北师大版高中课本弧度制的定义如下：在定义 1 度角的时候，先把圆周长分成 360 份，每一份弧所对的圆心角就是 1 度的角。类似地，在定义 1 弧度角时，以半径为单位，把圆周分成 2π 份，每一份弧所对的圆心角就是 1 弧度的角。这时，每一份的弧长就是半径长。因此，也有定义把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

角的角度制与弧度制的比较：两种角的单位在处理角度与弧长时都是一一对应的关系。利用角度制时，角度为α度的角所对的弧长为α. 利用弧度制，角度为αrad的角所对的弧长为α。可以发现根据扇形相似，对应边成比例可以得到通过这两种方法在已知弧所对的圆心角α，半径时，可以求出弧的长度。同样的在已知弧和弧所对的圆心角时，可以求出这个圆的半径，即这两种方法都揭示了对于任意圆心角α，其所对应的lr的比值是一定的。另外第一种方法是选择了半径为3602π，圆周长为360的圆作为单位圆来表示这种关系，而第二种方法是选择了半径为1，圆周长为2π的圆做为单位圆来表示这种关系。都是采用了单位圆直观形象的表示这种关系。 但相比较第一种，第二种的计算方便，所以在以后的学习中，我们一般都会用弧度制来表示角。

4. 角度与弧度的互化

因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360，所以

360=2πrad，180=πrad，1=π180rad

1rad=（180π）≈57.30=5718′

n=nπ180rad，nrad=（180nπ）

（角的角度制与弧度制间的转换公式3602π=角的度数角的弧度数，乃是基于一整圆得到的。也可以使用基于半周所得到的等价公式：180π=角的度数角的弧度数。）

三、数学史视角下的正弦函数教学

（一）关于正余弦函数教学的论述

高中数学北师大版必修四该章节是在初中学习的基础上，通过在单位圆中将锐角α的正弦函数坐标化得到锐角α的正弦函数值与余弦函数值的定义，继而将其推广到任意角α的正弦函数值，余弦函数值。最后是利用终边定义法的原理解释角α的正弦值是唯一确定的，与角α终边上点的选取无关。在教学过程中学生会很困惑：为什么要在角、该角与单位圆的交点两者之间定义这样的函数关系，感觉到莫名其妙。在以后的学习中会很容易得产生厌烦心理。

（二）正余弦函数教学过程设计（问题引导）

1.复习引入，揭示课题

在初中，我们学习了锐角的正弦函数和余弦函数，大家回忆一下，它是如何定义的？

在直角三角形中，锐角α的正弦函数为sinα=对边斜边，余弦函数为cosα=邻边斜边 即对每一个给定的（0，π2）内的角就可以得到一个正弦函数值（若以后不做说明，角的单位均为弧度）。

但初中所学的三角函数定义并不是三角函数的原始定义。在古代，数学家们在研究三角函数时，并不是以直角三角形为基础的，而是在圆中来研究的。

2.构建模型

本章第一节中我们了解了现实生活中存在着大量的周期现象。它的变化规律用什么数学模型来刻画呢？首先我们需要将圆周运动数学化，即转化为数学问题来解决。

研究圆周运动呢，即研究当物体沿圆形路径运动时，如何来确定某一刻它所在的位置，即倘若知道了任意时刻它的位置，那么我们就可以将其路径确定下来，它的变化规律也就可以研究了。

寻找圆周运动的函数模型，就是当点P 绕圆周运动时，如何来刻画点P 的位置。我们知道任意角是一条射线绕端点O旋转形成的，在角的变化过程中，角的终边上的点都绕点O 作圆周运动。因此，为了研究问题的方便，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以 1 为半径作一个圆，这个圆我们称作单位圆。把点P 看做角 的终边与单位圆的交点，点P 坐标为（x，y）。

3.析出函数

问题 1：随着角α的变化，角α的终边与单位圆交点 P 的坐标也变化，那么角α与点P（x，y）之间有怎样的关系呢？（一一对应的关系）

问题 2：“说一说”什么叫点P 确定？角α 与它的终边OP 谁确定谁？

角α――终边OP ――点P（x，y）

①任意角 ――唯一的数x②任意角 ――唯一的数 y

问题 3：大家还记得函数的定义吗？任意角和它终边上的点P 满足函数的条件吗？

任意角α分别于点P 的横纵坐标满足函数关系

问题4：上面两个函数刻画了圆周运动中点的变化规律，那我们给他们取什么名字呢？请同学们能给任意角的三角函数下个定义吗？

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x，y），那么：①y叫做α的正弦，记作sinα，即 sinα= y;②x叫做α的余弦，记作cosα即cosα=x。

正弦、余弦都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

4.函数规范化

（1），我们知道sinα=y，cosα=x。通常我们用x表示自变量，y表示函数值，那么任意角的三角函数该如何表示？

正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx

（2），我们知道我们函数中的变量x，y是变化的数，我们讲到x表示角的大小，那么x可以表示实数吗？

通过前一节角的弧度制的学习，我们知道弧度把角度单位与弧度单位统一起来，角的大小可以用角在单位圆中所对的弧长表示。所以x可以看做是角的弧度制表示的。这样三角函数就成为x为实数，y也为实数的函数，是数与数的对应关系。以后若不做特殊说明，角的单位均为弧度制。

5.补充正弦函数的历史，介绍数学家欧拉

目前所学的正弦函数的定义，并不是数学家们最初研究的成果。最初正弦函数的研究是从弧到弦长，后发展为角到弦长，再到比值的表示，这个过程历经了 20个世纪。

在古希腊时期，由希腊数学家托勒密制作出第一张有记载的正弦表，但那时的正弦值和现在的正弦值有所不同。在希腊时期也没有函数的概念，科学家为了研究天文学，从而产生了三角学，正弦函数只是三角学的一部分。随着历史的发展，三角学也逐渐丰富起来。和我们现在意义相同的正弦函数概念出现在18世纪，由瑞士著名的数学家和物理学家欧拉提出。

1748年欧拉在《无穷小分析论》中说：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。欧拉给出了包括正弦函数在内的六个函数的定义。欧拉提出的三角函数定义，使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为一门反映现实世界中某些运动和变化、具有现代数学特征的学科。欧拉不仅用直角坐标来定义三角函数，他还令圆的半径等于1，定义了单位圆，以相应线段与半径的比值定义三角函数，这样使得三角函数的定义更为简单。并引入了弧度制，从而使三角公式和计算大为简化。

参考文献：

[1]严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学必修4[M].北京：北京师范大学出版社，2010.9-16

[2]杜雨珊.三角学历史研究[D].辽宁：辽宁师范大学科学技术史，2009.

[3]徐章韬.基于数学史的弧度制概念的教学设计[J].课堂链接，2008（12）：41-42

三角函数值规律范文第6篇

关键词：高中数学；三角函数

一、引言

作为高中数学教学的核心，三角函数教学显得尤为重要。在与其他数学知识的联系中，三角函数扮演着不可或缺的角色。各类解题方法中随处可见三角函数的身影。因而，怎样教会学生学习三角函数知识成为了高中数学教学成与败的关键所在。然而，由于三角函数的知识点较为零散，公式颇多，让学生在短时间内掌握其中的核心部分，灵活的运用是有难度的，这也是目前众多的高中数学教师所共同面临的困境。下面我将根据自身多年的教学实践，来对于高中数学中三角函数的教学策略进行分析，希望可以通过此研究来使得更多的教师获取三角函数教学的精髓。

二、高中数学中三角函数的教学策略

1.激发学生对于三角函数学习的兴趣

当前高中学生对于三角函数的学习兴趣普遍不高，这严重的阻碍了高效三角函数教学工作的顺利进行。为了激发学生的兴趣，将三角函数的学习与生活实际联系起来是必不可少的。三角函数知识作为整个数学知识的一部分，它与现实有着千丝万缕的联系。如体操运动员的体操动作，钟面时针转动的方向，测量风暴的运动轨迹等都有着三角函数知识的影子。在比如在教授有关任意角的三角函数知识时可举这样的生活实例。某个施工单位要为一个广场架设探照灯。该广场为圆形，半径约为40米左右。射向广场地面的光线呈现出圆锥形的图案，试问想要使得广场的每一个角落都被光源所覆盖，请问光源离探照灯的高度应该是多少？学生在经历过这样的问题情境后，便边该知识的学习产生了浓厚的兴趣，遍全身心的投入到该问题的学习活动中来。

2.突出三角函数的运用规律

在数学知识的解题过程中，一道题目通常有其特定的解法。尽管高中三角函数题型千变万化，但做去做来无非都是那些内容，只不过是题目中给出条件的形式发生了变化，内在的本质基本还是保持在原样。因而，在教学中我们要教给学生一种识别解答三角函数解题方法的技巧。要传授给学生慧眼识题的能力，让学生看到题目之后学会分析出题人的意图，知道该采用哪些三角函数的知识来解题，而不是一味的在那乱试，从而避免学生学习时间上的浪费。比如，在一般的求解中，我们要教会学生运用简单的公式，将未知角的求解转化为已知角的求解。在解答周期性三角函数或者求函数的最值问题时，在教学中要突出由三角函数进行表达的思想。

其次，为了做到又好又快的解题，提高学习的效率。单单教会学生怎样识题是远远不够的，我们还要培养其运用各种方法的熟练程度。比如数学思想中的数形结合法，待定系数法，排除法等，让学生在学习中不仅形成正确的思路，而且也可以以最快最好的速度完成学习中的任务。

3.系统的进行归纳总结

三角函数公式形式多变，种类繁多，如果要求学生一个个的加以记忆不仅不大现实，而且学生一下子也记不住那些公式。此时，我们要做的，就是要在教学中对于零散的三角函数知识进行整理归纳，将一份条理清晰，逻辑性强的三角函数相关知识点展现在学生的面前。这其中三角函数口诀是一种极好的教学方式。三角函数的教学口诀可以来自于网上，也可以源自于平日的教学实践，当然最终的表现形式还是要得到学生们的认可，毕竟这是为学生而服务的口诀。常见的三角函数口诀有“函数值正负，看终边象限；绝对值大小，见x轴夹角”，“两角和正切，余弦除正弦。二倍角正弦，两倍正余积”等，在这里我们不做一一的列举。口诀编号之后，我们还要教会学生识别口诀中各项语句的意义。在这里我们不强制性的要求学生进行背诵，而是辅助以习题的形式，在习题的设计中，都对于口诀中的每一句有针对性的突出。可能刚开始的时候，学生会边做习题，边看口诀表，可是只要假以时日的练习，学生便能够逐渐的摆脱口诀表而独立的完成三角函数的解析工作。另外，老师在平日的教学中也会不时的流露出该口诀，这样在教师外部和学生内部双重的作用之下，学生很快便能够熟练的掌握住三角函数学习的技巧。

4.比较剖析三角函数的不同

在三角函数的教学中，与单纯的进行三角函数知识的教学相比，进行比较型教学来的实效要好得多。所谓三角函数的对比式学习指的是利用函数内部的定义域，值域，周期性，曲线的对称性等特点与其他的函数之间的差异，进而形成对照，从而在学生的脑海中留下深刻的印象。比如在三角函数图像的对比式学习中，我们将三角函数的图像与抛物线，双曲线画在一个坐标轴内，同时改变三角函数基本公式y=Asin（ωx+?）中的参数，观察曲线的变化，同时也改变诸如y=ax+b中参数的值，看两个曲线之间的变化有什么差异性，这样便弄清楚控制三角函数图像各项字母的实际意义。

三、结语

总之，我们只有抓住三角函数自身的一些特点，不断的激发学生的学习兴趣，去归纳和总结，在认清其基本形式的前提下去探究三角函数与其他数学知识之间的不同，这样我们才可以最终获得教学的实效。

参考文献：

三角函数值规律范文第7篇

一、规律探索启迪智慧

则sin260°+ cos260°=____；③

……

观察上述等式，猜想：对任意锐角A都有sin2A+cos2A=_________.④

（1）如图1，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；

（2）已知：∠A为锐角（cosA>0）且sinA= 3，求cosA.

分析：先将特殊角的三角函数值代入sin2A+ cos2A，然后再进行猜想、归纳出结论；在证明猜想时，如图2，需要过点B作BDAC，将∠A放在直角三角形中，然后利用锐角三角函数进行证明；在求cosA时，可以直接利用归纳出的结论求解.

观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1.

点评：中考命题者以锐角三角函数为载体，让考生先从特例入手，然后再进行观察、归纳、猜想、证明、应用，既符合科学发现的一般过程，又符合新课程的理念.

二、渗透高中知识未雨绸缪

（2）在RtBDE中，∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7，

BE=DE・tan∠BDE=DE・tan75°.

tan15°=tan（45°+30°）

=1.62+14+7×1.732≈27.7（米）.

点评：本例以三角函数为载体，将高中两数和、差的三角函数公式渗透其中，开阔了学生的视野，同时为学生进入高中作好铺垫.需要说明的是，在求tan75°的值时，除了可以把75°化为（45°+30°），由于tan15°的值已知，所以也可把75°化为（60°+15°）.

三、关注社会热点关注实事

例3 （2013年山东济宁）及其附属岛屿是中国固有领土（如图5），A、B、C分别是、南小岛、黄尾屿上的点（如图6），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向.若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）

三角函数值规律范文第8篇

关键词：知识水平；思维；假设性结论

一、0“假设”与横向思维

思维的创造性是思维能力培养的关键。创造性，主要是指不墨守成规，要奇异、求变，对事物保持应有的好奇心，在课堂听讲和学习中，注意发现问题、提出问题，并且能创造性地解决问题。教师根据学生已有的知识水平和思维层次，由浅入深，有意识地制造矛盾冲突，启发他们从无疑中生疑，发展求异思维。

任意角的三角函数定义是本节课的重点和难点。按照课本安排先通过锐角三角函数的定义利用坐标推导任意角三角函数定义，然后借助单位圆下定义。在这个时候，如果直接切入“你能结合锐角三角函数定义在单位圆中用坐标表示正弦、余弦和正切吗？”这样的单刀直入，学生的学习兴趣就会大打折扣，并且任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系，提出这样一个看似很有启发性的问题，学生只能通过“预习”来解决，最后很有可能就演变成教师的自说自话，学生着着实实就成了一个听众。

在这个时候，教师完全可以推出一个浅显的假设：如果正弦、余弦和正切能用坐标表示，你认为应用哪些点的坐标来表示？

并联系现实生活进行诱导：画出一个角，看哪些点与角有密切关系（预设学生回答：终边上的点）。

探索性诱导：观察P点位置，当点在哪时三角函数值既简单又方便？

经过上面三层设问很自然地引进单位圆，并轻松地解决本节的重点及难点，在思维的不断转化中体现课堂的高效。

从上可以看出，假设性提问并不是异想天开，而应根据一定的常识，围绕提出的问题可能出现的结果而展开的。而在思维的过程中，可以从两个方面入手：求同和求异。求同，即引导学生关注现象的共同点（过P始终可做三角形POM），从不同的现象中寻求所包含的共同本质和规律。求异，即引导学生关注现象之间的差别。求异思维给学生带来的思维空间远远超过求同思维（点P位置不同三个值的简单性和方便度就不同），它有利于思维翅膀更好地飞翔。

二、0“假设”与纵向思维

思维的深刻性主要是指能深刻理解概念，能周密地分析问题，并且善于抓住事物的本质和规律。所以，我们要鼓励学生，一是鼓励学生追根究底，凡事都要去问为什么，坚决摈弃死记硬背，不但要“知其然”，更要“知其所以然”。本节课的一个假设性结论：PM就是正弦；OM是余弦；AT就是正切。你认为这个假设合理吗？

这时引导学生进行追问：

（1）角的终边在哪些位置时假设成立？

（2）是不是一定就不能用这三条线来表示？若能，应做哪些改进？

利用横向思维和纵向思维的相关特点，引导学生提出“假设性”的问题，同时，利用这些假设性的问题对学生的横向思维和纵向思维再进行训练，提高思维的创造性和深刻性，这是通过数学课堂教学训练学生思维能力的方式，也是目标。和谐课既是一种教学理念，也是一种理想追求，数学课堂。只有真正开出“思维之花”，才能结出“和谐高效”之果，让我们拭目以待。

参考文献：