分式方程的解法
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分式方程的解法范文第1篇
1 对“增根”理解上的问题
笔者查阅了一些文献资料，对于“增根”的理解，存在以下几方面的错误认识：
（1）使分母为零的值为增根.
如习题：①[1]方程x（x+1）x-1=0的增根是（ ）.
（2）分式方程会产生增根.如习题：①，题意已确认其必有增根；③m为何值时，方程x+1x-2-mx-2=2有增根？去分母，得x+1-m=2x-4，当x=2时，m=3.所以当m=3时，原分式方程有增根[3].也就是说，题解是在x=2一定是方程增根的前提下进行的，且分式方程x+1x-2-3x-2=2一定有增根.
（3）不同的非同解变形产生不同的增根.我们知道，在解分式方程时，通过去分母，把分式方程转化为整式方程，以整式方程的解来求得原分式方程的解.但由于这一转化可能为非同解变形，所以分式方程就可能产生增根.准确地说，是因为去分母的缘故，使得分式方程可能产生增根.罗峻在解答分式方程④6（x+1）（x-1）-3x-1=1时，对方程采用了三种不同的变形即三种不同的去分母方式，得到了三种不同的增根.解答1：将方程两边同时乘以（x+1）（x-1），原方程有一个增根x=1；解答2：将方程两边同时乘以（x2-1）（x+1），得到原方程有两个增根x=±1；解答3：将方程的两边同时乘以x（x2-1）（x+1），得到原方程有三个增根x=0、±1[4].
2 “增根”概念包含的三个基本条件
对以上问题的分析，我们需要从概念入手.受能力局限，笔者查阅了很多资料，关于“增根”未曾获得一个较为权威的、严格的定义.这里不妨以北师大版初中数学教材（2002年版，八年级下册，P80～81）为例.
教材在利用去分母求解分式方程⑤1-xx-2=12-x-2之后，对“增根”作了如下描述：“在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.”
笔者对这段关于“增根”的描述作如下理解：1、x=2是原分式方程变形后的整式方程的解；2、x=2使得原分式方程的分母为零；3、“在这里”意指对方程⑤进行了两边同乘整式x-2的变形，这时的x-2是原分式方程⑤的最简公分母，而不是其它的公分母，其“最简”是数学简洁性的特点要求.综上可见，分式方程“增根”的概念包含了三个基本条件：1、在解法上，采取的是通过“去分母”（分式方程两边同乘“最简公分母”）把分式方程转化为整式方程求解的方法（不妨简称为“去分母”法）；2、“增根”是变形后整式方程的解；3、“增根”使得原分式方程的分母为零.
3 关于“增根”问题的两个结论
根据以上对“增根”的分析，容易判断“使分母为零的值为增根”的理解是错误的.“增根”首先是变形后的整式方程的解，如果不是整式方程的解，也就谈不上原方程的“增根”.同时，我们还能得到以下两个重要结论：
3.1 “增根”是分式方程“去分母”解法的产物
“增根”的产生与分式方程的解法有关，与方程本身无关.笔者曾撰文认为“无论是分式方程，还是其它形式的方程，方程自身是不可能产生增根的”、“方程有没有解、有怎样的解是由方程自身决定的，与我们有没有求解无关，与怎样求解无关”、“分式方程求解的过程中之所以可能产生增根，与我们求解的方式有关”[5].
其实，对于分式方程而言，如果我们采取“通分、移项、合并”的方法是不会产生增根的.如方程⑤可作如下解答：1-xx-2=-1x-2-2（x-2）x-2，1-xx-2+1x-2+2（x-2）x-2=0，x-2x-2=0，得出该方程无解（x=2不是原方程的解）.
之所以人们把分式方程与“增根”联系起来，是因为我们默认了“去分母”是分式方程最为便捷的解法，因而为人们一贯采用，以致被一些教师片面地认为这是分式方程的唯一解法.需要注意的是，我们在理解“增根”的概念时，切不可忽略“去分母”解法这基本前提，而这也正是被很多教师所忽略的.“‘增根’是由于选择了‘去分母’这样一个不能确保同解变形的方法而产生的‘副产品’，而不是方程自身的‘副产品’！严格地讲，称之为‘原方程的增根’是不贴切的，叫做‘去分母法的增根’才准确恰当”[6].
关于分式方程的“增根”问题，笔者认为有两种处理方式：1）根据上述分式方程“增根”所包含的三个基本条件，给分式方程的“增根”作类似如下明确的定义：“在方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程时，如果该整式方程的解使得原方程的分母为零，那么我们称之为原方程的增根.”这样，我们说“原方程的增根”便有了充足的理由，因为尽管“增根”并非分式方程的固有属性，但给其作这样一个定义，亦未尝不可.2）回避“增根”问题.人教社2004年版教材（八年级下册）在分式方程内容的安排上即采取了这种处理策略.教材在介绍了分式方程解答的全部过程后，作了如下归纳：“一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.”
笔者以为，人教版教材的处理比较恰当.一方面，在教材未对“增根”概念作明确定义的前提下提出、使用“增根”，容易产生片面的，甚至是错误的理解，并在数学学习中出现诸多有争议的，甚至是错误的问题.在中学阶段，只需能够检验出变形后的整式方程的解是否是原分式方程的根即可，无需涉及较为模糊的“增根”概念.另一方面，即便对分式方程的“增根”给出了严格的定义，那么无理方程以及其它方程的“增根”亦需定义，况且类似概念的定义对于中学阶段的数学学习有多大意义，笔者实难判断.
3.2 去分母时，方程两边所乘整式应为“最简”公分母
用“去分母”法求解分式方程时，我们在方程两边同乘一个整式，将分式方程转化为整式方程.因为这样的转变有可能是非同解变形，那么就有可能产生增根.但值得注意的是，方程两边同乘的这个整式是不是一定为最简公分母？如果如罗峻在解方程④时那样，方程两边分别同乘了（x+1）（x-1）、（x2-1）（x+1）、x（x2-1）（x+1），能否认为原分式方程有三种不同的增根？笔者根据自己对“增根”的理解，认为在中学阶段求解分式方程的解法已基本统一的前提下，方程两边同乘的整式应该是最简公分母.一方面，数学讲究简洁，繁琐的解答过程不利于分式方程的求解；另一方面，若按罗峻的做法――方程两边同乘的只是公分母，而非最简公分母，即会出现除根之外的任何一个数都可以成为原方程的增根，这既对解题无益，亦对“增根”问题的研究无益.
参考文献
[1][3] 孟祥静.分式方程增根问题的讨论[J].数学学习与研究：教研版，2008（3）：1.
[2] 杨波.由一道分式方程题引起对增根的思考[J].中学教与学，2009（7）：29
[4] 罗峻.中考题也会出错――对“有增根”类中考试题的讨论[J].中学数学（初中版），2013（5）：34-35
[5] 黄良春.分式方程增根之我见[J].中小学数学（初中），2014（9）：14-16
分式方程的解法范文第2篇
关键词：诊断原因；解决措施
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2013）11-0131-01
分式是初中数学教学的一个重要组成部分，也是各地中考的热点内容之一。翻阅历年的中考试卷有考分式约分的、通分的、分式值为零条件的、化简求值的、解分式方程及应用的，题目难度不大，所涉及的基础知识较多，且解题方法灵活多变，，可以说既是送分题又是失分题，题目不难得分却不高，解答情况很不理想，鉴于此，现对学生作业常见错误进行展示，然后诊断其错误原因，寻求减少错误的最佳方法，希望能帮助同学们学好分式。
例1：在其中是分式的是（填序号）。
错解：①②④
分析：要想正确做出答案，还得从分式的概念入手，分式的概念是从形式上定义的，形如AB（其中A、B为整式，并且B中含有字母）就是分式，而不是看它化简后的式子。正所谓"式看形，数看果"，即式子要看形式，数要看最终的结果。如a2（结果是 |a|）是根式，而4（结果是2）是有理数而不是无理数。π是实数而不是字母。因此本题的正确答案是：
①③④。
分析：分式值为零，不仅要求分子为0，同时还得保证分母不为0，如何保证这一点呢？其实操作起来是非常简单的，只要我们把求得的结果代人分母验证即可。而这往往恰是我们老师最容易忽略的地方，只是当再次遇到诸如例2题型时，才硬性告诉或点拨学生需要注意的地方，我想只要我们平时时刻注意这样的训练，再简单的题也不省略过程（如当x=______时，分式x+3x-2的值为0），也许犯错误的学生就会减少。因此本题的正确解法是：
分析：上新课时做错的同学还不是很多，但在学习了解分式方程之后，尤其在上复习课的时候做错的学生就会增多，原因是将通分与解分式方程混在一起了，不知不觉的就去掉了分母，我们知道分式的通分是等值变形，而解方程中的去分母是同解变形，二者不能混淆。如何让学生把这两种运算区分开来是最关键的。这个时候老师不需要任何的提示（实践证明下次你还需要同样的提示），建议可以先让学生解分式方程：
观察这两题的解题过程，让学生清楚它们之间的联系和区别，加深理解错误的原因。以后再遇到这两种运算时就不容易出错误了。因此本题的正确解法是：
例4：计算
分析：本题有两处错误：第一处违背了运算顺序 ，只按照自己的主观意识进行了乘法运算。第二处是在约分时出现了错误，因式分解时，分子与分母如果是多项式首先应将其 因式分解后再进行约分，这既是难点又是易错点，教学时 要引起高度重视，必要时要进行强化训练。本题的正确解法是：
例5：先化简然后再请你选择一个合适的x的值代入求值。
分析：化简一般不会出现太大的问题，问题出在选取什么样的数才算是合适的数。当然这也是出题者的用意所在。为此我们必须首先剔除那些不合适的数，它们就是让已知分式（包括解题过程中生成的分式）无意义的数，很显然这里的x不能取-3、0、4。因此本题的正确解法是：
分析：乍一看，不错呀。要知道我们是把分式方程转化为整式方程来解的。这样求得的解有时可能不是原方程的解，即产生了增根。因此解分式方程一定要检验，而这恰恰是大多数学生最容易遗忘的一个环节，包括一些好生也经常这样。怎样才能让学生记住这个环节呢？我认为最好的方法是让学生完整的解一个分式方程和它化简后的整式方程，并说出其解法的异同，这样印象就会更深刻些，比连做几个分式方程要有效的多。相信在以后的学习中犯错误的学生将会逐渐减少。因此本题的正确解法是：
分式方程的解法范文第3篇
一、不让分数流失在基本概念的辨析中
例1 下列方程：①[x+25]=1；②[1+x2x]=4；③[2xx+2]-1=[22+x]；④[13]x-1=x；⑤[1π]+1=3x，其中，是分式方程的是 .（填序号）
【解析】本题主要考查了分式方程的概念，想要拿满分，本题需要对每个式子进行精准的辨析.①④⑤这三个式子中，分母中不含有表示未知数的字母，π在数学里表示一个已知数.②和③两个式子中，分母都含有表示未知数的字母.解答这类题目要抓住两个重点：一是要认识到，分母中是否含有未知数，这是分式方程与整式方程的根本区别；二是判断一个方程是不是分式方程，要看这个方程的分母中是否含有表示未知数的字母，像π虽然是字母，但它并不表示未知数.
【小试身手】1.下列方程是分式方程的是（ ）.
A.[x-12]=3 B.[61-π]+x=1
C.[2x+15]=2 D.[2x+1]=[3x+1]-1
例2 （2016・湖北黄冈三模，7分）已知关于x的方程[3-2xx-3]-[2-mxx-3]=-1无解，求m的值.
【解析】本题考查了对分式方程的根和增根的理解.分式方程无解分为两种情况，一是相应的整式方程无解，二是求出的整式方程的值，使分式方程无意义.
解：原方程两边都乘（x-3），得
3-2x-（2-mx）=-（x-3），（1分）
整理，得（1-m）x=-2.（2分）
原分式方程无解，
m=1或x=[-21-m]=3，（5分）
解之，得m=1或m=[53].（7分）
【小试身手】2.若关于x的分式方程[2x-3]+[x+m3-x]=2有增根，则m的值是（ ）.
A.m=-1 B.m=0
C.m=3 D.m=0或m=3
3.已知关于x的方程[xx-3]-2=[mx-3]的解为正数，求m的取值范围.
二、不让分数流失在分式方程的解答中
例3 （2015・江苏常州，4分）解方程：[x3x-1]=2-[11-3x].
【解析】本题考查了解分式方程的知识，解分式方程的基本思路是：将分式方程转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解.解题过程分为三步：（1）去分母，在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根，把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，否则，这个解就是原分式方程的解.
解：原方程可化为：[x3x-1]=2+[13x-1]
方程两边同时乘（3x-1），得：
x=2（3x-1）+1，（1分）
解得：x=[15].（2分）
检验：当x=[15]时，3x-1≠0，（3分）
x=[15]是原方程的解.（4分）
【小试身手】
4.[2x]-[11+x]=0.
5.[1x-2]-3=[x-12-x].
三、不让分数流失在分式的应用过程中
例4 （2016・江苏扬州，10分）动车的开通为扬州市民的出行带来了方便.从扬州到合肥，路程为360km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1h，求该趟动车的平均速度.
【解析】本题考查了分式方程的运用，考查了用方程思想解决实际问题的能力.本题中，抓住路程相同是关键，用时间作为等量关系的主线，利用“坐动车所用的时间比坐普通列车所用的时间少1h”这句话，列方程解答.与用整式方程解应用题不同的是，用分式方程解应用题要注意双检验.一是要检验所求得的解，是不是所列方程的解；二是要检验所求得的解，是否符合应用题的实际情况.最后要提醒的是，在解应用题时，各部分要完整，别忘记写“答”.
解：设普通列车的速度为xkm/h，动车的平均速度为1.5xkm/h.（1分）
由题意可得[360x]-[3601.5x]=1，（5分）
解得：x=120.（7分）
经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意.（9分）
答：该趟动车的平均速度为120km/h.（10分）
【小试身手】6.张家界到长沙的距离约为320km，小明开着大货车，小华开着小轿车，都从张家界同时去长沙，已知小轿车的速度是大货车的1.25倍，小华比小明提前1h到达长沙.试问：大货车和小轿车的速度各是多少？
分式方程的解法范文第4篇
关键词：数学思想 数学方法
九年义务教育全日制初级中学数学《新课程标准》中指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.
一、遵循认识规律，把握教学原则
实施创新教育要达到《数学新课标》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：
1.渗透“方法”，了解“思想”.
由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思维能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础.因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中.教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题.忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机.如北师大版初中数学七年级上册课本《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节──“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中.在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”.而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决.教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了数形结合的思想，学生易于接受.
2.训练“方法”，理解“思想”.
数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易.因此，必须分层次地进行渗透和教学.这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学.如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算.在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用.
二、初中阶段常见的几种数学思想方法举例说明
1.数形结合思想.
数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映.初中代数教材列方程解应用题所选很多是采用了图示法的例题，所以，教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口.学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义.
2.方程思想.
众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要。
3.方程思想.
主要是指建立方程（组）解决实际问题的思想方法.教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根与系数关系求字母系数的值等.
教学时，可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程.如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组.在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然.与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想，诸如换元，消元，降次，函数，化归，整体，分类等思想，这样可起到拨亮一盏灯，照亮一大片的作用.
4.辩证思想.
分式方程的解法范文第5篇
关键词：数学思想、数学教学、渗透
《初级中学数学教学大纲》指出:“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”这就要求我们在数学知识教学的同时，必须注意数学思想和方法的渗透。只有这样，才能促进学生数学能力的发展，推动学生思维品质的提高。那么，如何在初中数学教学中渗透数学思想方法呢？
一、 在备课时，注重数学思想的挖掘。
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。这就要求教师在备课时，不但备数学基础知识、基本技能，更应该挖掘知识间隐藏的数学思想，因此，教师在教学过程中一定要研究大纲，吃透教材，把教材中蕴涵的数学思想、方法精心设计到教案中去。比如，在讲数轴、相反数、绝对值等知识时，教师只有把握住数形结合思想，并坚持节节课渗透，学生才能抓住知识的本质，从而更好的形成数学技能和思维。
二、 在上课时，注重数学思想的渗透。
(1) 在知识的形成过程中注重数学思想的渗透。对于数学而言，知识的发生过程，实际上也是数学思想方法的发生过程。因此，必须掌握好教学过程中进行数学思想方法的渗透时机和分寸。比如在讲《探索规律》时，教师从儿歌引入：“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通两声跳下水…”教师在此提问：“这个儿歌能唱的完吗？你怎样用简洁的话概括它呢？”通过这个问题的引入和讲解，自然地渗透了化归思想和有特殊到一般的思想。通过数学思想方法和生活实际的有机结合，教师自然渗透了数学思想和方法，启发学生领悟到蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法。再比如在讲九年级《分式方程》一节，教学时不能只简单介绍分式方程的概念和解法，而是从复习整式和分式的概念出发，然后依据辩证思想自然引出分式方程，接着带领学生领会两个概念的对立性和统一性，再利用未知与已知的转化思想启发学生说出分式方程的解题基本思想，从而发现两种方程在解法上虽有不同，但却存在内在的必然联系。这样，学生在知晓整式方程与分式方程概念和解法的辩证关系后，就体现了分式方程与整式方程的对立统一思想，就能进一步理解和掌握分式方程，收到一种深入浅出的教学效果。
（2）在方法的提升过程中注重数学思想的渗透。教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调知识体系形成之后，在方法提升中注重数学思想的总结和渗透。比如从研究过程上来看，二次函数的学习也体现了研究函数的一般套路和方法，研究“二次函数y=ax2的图像和性质”可以类比研究反比例函数的图像和性质来进行。也就是先画出函数图象，然后从图像上观察函数的性质注意，最后用数学语言描述这些性质，用数形结合地研究函数的图像与性质。
（3）在应用的训练过程中注重数学思想的渗透。初中数学中有许多体现“分类讨论”思想的知识和技能。比如，在讲等腰三角形时，（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，那么等腰三角形的顶角是多少？（2）直角三角形两边长分别是3和5，那么这个三角形斜边上的高时多少？所有这些，充分体现了分类讨论的思想方法，通过解决这类问题，有利于学生全面的分析解答问题，有利于学生用辩证的眼光认识物质世界。再比如“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解：
（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
化简|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|= = 。（2）如图，用8块大小相同的长方形地砖拼成一矩形地面，那么这块矩形地面的面积S＝ 。以上两题，一个是利用数轴的直观性，结合实数绝对值的几何意义，一个是注意观察图形中隐含的数量关系，将对应的数与形结合起来，体现数形结合在解题中的直观与简明，比较容易得出结论。
三，在复习时，注重数学思想的延伸。
数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以隐形的方式蕴含于数学知识的体系中，作为教师，我们首先弄清楚教材中所反映的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系，并适时作出归纳和概括。在课堂教学中及时地概括和总结，并适时地强化，让学生在脑海中留下深刻的印象，这样有意识、有目的地结合数学基础知识，挖掘、概括数学思想方法，才能让学生在潜移默化中体会数学思想，而不是生搬硬套，华而不实地死记硬背。
总之， 数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。数学思想是学生必须具备的基本素质之一。我们在教学时，应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。通过教师积极的挖掘与引导，适当的训练与概括，合理的设计与运用，一定能够使学生较好的掌握数学思想方法，提高解题能力。
参考文献：
分式方程的解法范文第6篇
关键词：先学；展示；主体；归纳；后导；充足
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）14-196-02
让学生学会主动学习是一线教师终身追求的目标，《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》中指出，数学教学过程应是学生主动学习的过程，它不仅是一个认识过程，而且也是一个交流和合作的过程。为此我们清新区以强化”先学后导”为核心，彻底改变课堂教学中”教师主讲、学生主听”的单一教师组织形成，促进学生的能力感情发展，让课堂充满了数学探索研究活跃的气氛。
自清新课改以来笔者一直探索深究：如何真正做到先学后导，以学生为主体的教学。现以《分式与分式方程2》这一课的同课异构教学为例就数学中如何先学后导，构建以学生为主体的数学课堂教学进行阐述。
一、问题引入，应起到“导”
对于《分式与分式方程》中的分式方程的解法，老师1的问题引入是：说出下列分式的最简公分母：
1、 与 的最简公分母是 ；
2、 ， 与 的最简公分母是 ；
（3） 分式方程中使分母为零的根叫做分式方程的 。
这问题引入主要起一个复习的作用，为解分式方程铺垫。问题引入中有2条是复习，只有1条是学习目标。学案导学是以学案为载体，以学生自主学习为主体的一种教学模式。学生自主学习要高效，全靠问题引入来引导。如果问题引入主要是复习旧知识，没具体的学习目标，学生的自主学习就无方向。老师2的问题引入是：1、解一元一次方程 的步骤是： 。2、解分式方程的步骤。3、什么叫方程的增根，检验时通常只需。其中1是复习旧知识2、3是这节课的学习目标。这样就在导学案中很好的起到一个导的作用。
在平时的教学中我总觉得”问题引入”的呈现一般不宜过多，一般不多于三条，其中复习旧知识只能1条，其余应为该节课的学习目标。并且每条不得多于三句话，要明确，具体，还要通俗易懂。
二、如何处理导学案中问题引入、基础训练
“问题引入，基础训练”这两个环节主要作用是让学生先学，只要求学生做完，先不讲。让学生以学案”问题引入，基础训练”为载体，自学课文，完成问题引入，基础训练，让学生带着问题去学习例题展示。这样就会更自主去学习。学生以最好的状态进入例题学习，学生有了例题学习，并且归纳了方法，反过来给很少的时间学生自己就能把问题引入，基础训练中遗留的问题解决，这样既合理利用时间又培养学生自主学习的能力和解决问题能力。
三、在例题展示中应体现学生的主体性，同时体现老师的“导”
例题展示是课堂教学的核心环节，应该在这里体现以学生为主体，放手让学生去展示例题。这节课例题是解分式方程，两位老师都展示了例题1：解下列方程（1） 。两位老师都分小组让学生先做，然后叫一位同学上黑板做，这位学生也做得很好。而两位老师都有一个共同特点：怕学生不懂而使自己在课堂上讲得太多。学生做得那么好，为什么不放手学生自己归纳例题呢？
在例题展示这一环节这里我尝试培养学生为数学小老师，不仅参与日常数学教学备课，还精选部分数学内容交由他们主讲。小老师们的备课很有心思，通常会为同学和老师们带来惊喜。这样做也会带动一批中层生，也会主动地走上讲台讲。
在例题展示这环节老师不能占用太多时间，应把课堂还给学生。 在课堂上应放手让学生尝试归纳知识，虽然不是一定每个学生都能归纳来，但对于归纳正确结论的学生，收获了经验和成功的体验。对于没有归纳正确结论的学生，能经历归纳过程发展了思维。所以要等学生讲完后，老师才”导”。
在这节课里老师1”导”得很好：同学们看看例题1 去分母后得到整式方程x=3（x-2）观察下，能否用直接交叉相乘得到整式方程？往往提出一个问题比解决一个问题更重要。这样学生又多了一个解决分式方程的方法。而在例2（1） 后，师1提出了一个问题：x=2是原方程的解吗?请代入方程两边检验。从而引入了增根，为什么会产生增根？在例题3（2） 后，师1又提出了一个问题：解这道方程有没有更好的方法？能把分式 先约分吗？所以遇到此类题时往往先约分后再化为分式方程较简捷。
四、课堂检测，要让学生有充分做题的时间
课堂检测是对本节课的检测，既对学生学习的检测，也是对教师教学的检测，教师要督促学生独立完成课堂检测，边拿着红笔边批改。因为学生很喜欢那红红√的符号。但往往就老师自己一个改，会改不完，平时往往我先改完做得快的同学（小组长），然后让小组长帮中层生改。接下来我就重点照顾学习吃力的学生，我通常会个别点拨他们，直到他们找到解题方法，学生能独立完成后我又高兴地毫不吝啬地批阅一个红红的√，这样学生会在自己做题的过程中找到学习数学的自信。
此外，在备课时很多老师都预设了不少于15分钟的课堂检测时间，但实际上却控制不好时间。故在数学课堂中我还是主张学生用充足的时间去练习，这样才能更好地体现学生的主体性。
五、教学感悟
以上几点认识，是清新课改给我们这些一线教师带来的新理念启示。而我们还需要在不断的教学中学习、领会、探索，真正理解课改理念的精神实质，并自觉地应用在教学实践中，不断创新，不断提高。
参考文献
分式方程的解法范文第7篇
九年义务教育全日制初级中学数学《新课程标准》中指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．
新课程把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分，在数学《新课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证．
一、 了解《数学新课标》要求，把握教学方法
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识．所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映．数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为．运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想．若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想．
1．新课标要求，渗透“层次”教学．
《数学新课标》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”．在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等．这里需要说明的是，有些数学思想在《数学新课标》中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法．如初中数学三年级上册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《数学新课标》只是把“反证法”定位在通过实例，“体会”反证法的含义的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深．否则，教学效果将是得不偿失．
2．从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”．
关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义．其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割．它们既相辅相成，又相互蕴含．只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象．因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，使数学思想与方法得到交融的有效方法．比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的教学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等．在数学教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用．这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效．
二、遵循认识规律，把握教学原则
实施创新教育要达到《数学新课标》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：
1．渗透“方法”，了解“思想”．
由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思维能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础．因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中．教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题．忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机．如北师大版初中数学七年级上册课本《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节──“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中．在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”．而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决．教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了数形结合的思想，学生易于接受．
2.训练“方法”，理解“思想”．
数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易．因此，必须分层次地进行渗透和教学．这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学．如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算．在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用．
3.掌握“方法”，运用“思想”．
数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固．数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程．只有经过反复训练才能使学生真正领会．另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程．比如 ，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．学习一次函数的时候，我们可以用乘法公式类比；在学次函数有关性质时，我们可以和一元二次方程的根与系数性质类比．通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的数学方法．
4.提炼“方法”，完善“思想”．
教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象．由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决．因此，教师的概括、分析是十分重要的．教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处．
三、初中阶段常见的几种数学思想方法举例说明
1.数形结合思想．
数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映．初中代数教材列方程解应用题所选很多是采用了图示法的例题，所以，教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口．学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义．
2.方程思想．
众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要．
3.方程思想．
主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法．教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根与系数关系求字母系数的值等．
教学时，可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程．如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组．在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然．与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想，诸如换元，消元，降次，函数，化归，整体，分类等思想，这样可起到拨亮一盏灯，照亮一大片的作用．
4.辩证思想．
分式方程的解法范文第8篇
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）09B-0074-02
具有数学素养的人善于用数学的思维方式去认识客观事物，所以对学生进行数学素养的培养对其今后的学习与工作有重要的意义。数学素养的培养涉及知识的掌握、情感的培养、能力的提升等方面，因此教师在讲授知识、解决问题时，不能仅从知识的层面，而要注意从多个方面去培养学生的数学素养。当然，整个培养过程是以掌握知识为载体来进行的，教师在教学的各个环节引导学生，渗透对学生数学素养的培养。
一、培养学生的钻研精神
一个拥有良好数学素养的人在面对数学难题时，都会表现出刻苦钻研的意志品质。世界上许多伟大的科学家都是具有刻苦钻研精神的人。如发明家爱迪生在研究灯丝材料时，先后使用了3000多种不同的材料，不怕失败，坚持不懈，直到成功为止。教师在数学教学中要注重培养学生刻苦钻研的意志品质，教育学生不要轻言放弃、半途而废，要崇尚刻苦钻研、永不言弃。培养的形式和方法可以是多样的，比如用刨根问底的方法对学生进行提问。
例如，在教学“圆锥的侧面积”时，先让学生动手操作把手中的圆锥侧面沿着它的一条母线剪开，在操作的过程中提问。
师：圆锥的侧面展开图是什么图形？
生：扇形。
师：也就是说圆锥的侧面积就是这个扇形的面积。那么，扇形的面积怎么求呢？
生：S=lR
师：这个公式中的l是什么？
生：扇形的弧长。
师：圆锥侧面展开图中扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？
生：圆锥侧面展开图中的弧长等于其底面圆的周长。
师：公式中的R又是什么？
生：扇形的半径。
师：在剪开圆锥侧面的过程中，你们发现扇形的半径与圆锥的母线有什么关系？
生：圆锥的母线就相当于展开图中的扇形的半径。
师：扇形面积S=lR中的l和R，我们都分别找出了与其相联系的、已知的量，由此我们可以推导出圆锥侧面积的公式吗？
通过这样刨根问底，引导学生动手操作、动脑思考，让学生体验到解决问题需要一个积极钻研的过程，由此逐步培养学生的钻研精神。
二、培养学生的创新意识
高尔基曾说：“如果学习只在模仿，那么我们就不会有科学，也不会有技术。”创新思维是数学素养的一个重要组成部分，是一种认识事物、解决问题的新思维形式。教师要把创新思维的培养贯穿于每节课中，要把学生的思路引到创新的方向上来，诱导学生的创新思维；要帮助学生克服思维定势，打破常规，寻找新的解决问题方法，要让学生体会创新思维的美妙，从而培养其创新意识。
例如：解方程+-18=0。
师：同学们，大家想想该如何解这道方程。
生：（异口同声）去分母，把分式化为整式就可以了！
师：好吧，同学们动手算算，看谁能够既准确又快速地解出结果。
（十分钟过去了，还没有一个学生能够算出来。这时，教师开始对学生进行引导。）
师：同学们，这道题为什么很难解？
生：去分母之后有x4，这让我们怎么算呀！
师：哦，这条路不好走，那我们来看看还有什么路可走。先观察一下，看这道题有什么特点。
生A：方程中第一个分式的分子是第二个分式的分母。
生B：第二个分式分子中的72提出来后，就和第一个分式的分母有共同的公因式了。
师：同学们说得很好，我们来整理一下同学们的想法，把原方程转化为+-18=0。现在再来观察一下这个方程的特点，看可不可以找出一种巧妙的解法。
生C：可不可以把第一个分式设为y，那么第二个分式就是了。
师：我们不妨按照这位同学的想法把原方程转化为y+-18=0。
生D：之后通过去分母，把分式方程化为整式方程，解出y，再把得出的结果代入y=中解出x就可以了。
这样引导，帮助学生打破了原来的解分式方程的思维定势，让学生明白对于一些结构较特殊的分式方程，可通过观察其特点，另辟解题蹊径，巧解问题。这个过程，就是诱导学生创新思维的过程。学生感受到创新方法的奇妙，就会在学习中有意地开展创新思维。
三、培养学生的发散思维
发散性思维指大脑在思考时呈现的一种扩散状态的思维模式，在一题多解、举一反三中往往都含有发散思维。发散思维也是数学素养的一个重要组成部分。具有良好数学素养的人善于从多角度、全方位去思考问题，寻找解决问题的方法。数学教师要把培养学生的发散思维能力作为重要的教学目标。首先，要让学生的思维活跃起来，帮助学生克服思维的惰性，多给学生提供进行思维发散的机会，如利用一题多问，促进学生的思维发散。
例如，给出已知条件：抛物线y=2x2+5x-7。
师：同学们，看到这个已知条件，你们第一反应会想到能提出什么样的问题呢？
生A：求抛物线的顶点坐标。
生B：求抛物线向下向右各平移两个单位后的解析式。
生C：求抛物线与坐标轴的交点。
……
通过这样提问，学生的大脑会活跃起来了，能很好地克服思维的惰性。
其次，要鼓励学生多进行一题多解。一题多解即学生在教师的启发、引导下，对题目进行剖析解读，从不同的切入点提出多种解法。一题多解能使学生在积累解题经验，提高知识运用能力的同时，有效地培养发散思维能力，提高数学素养。
例如，解题：已知a、b满足ab=1，那么+= 。
师：请同学们观察一下题目的特点，看看已知与所求的关系。
生A：已知中有个“1”，所求的式子中也有个“1”。
师：那怎么样把他们联系起来呢？
生B：可不可以把已知条件代入所求式子中呢？
师：我们不妨试一试，把所求式子中的“1”都用ab来代替：+=+=+=1。这是用代换的方法求出结果。所谓“代换”就是通过观察已知与未知的关系，发现它们之间的联系，把相关联的已知代换到未知中，从而求出结果。上面这种方法只是代换法中的一种，同学们还可以想出其他的代换方法吗？
生C：把a=代入所求式子：+=+=+=1。
师：除了代换的方法，同学们还能想出其他的方法吗？我们看到所求的式子是两个分母不同的分式相加，我们的第一反应是什么呢？
生D：第一反应是要通分，即
+=+
=。
师：通分的结果与已知又有什么联系？
生：ab=1，a2b2=1，所以原式=
==1。
通过这样引导，一道题目就有了三种解法，学生由此学会从多角度去看问题和解决问题。发散性思维的培养最重要的一点就是引导学生打开思路，让学生大脑处于活跃的状态，积极参与到课堂讨论中来。