菱形对角线(精选5篇)

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菱形对角线范文第1篇

人教版《数学》八年级下第19章菱形第1课时。

〖教学目标〗

知识与技能：在对图形的探究过程中理解菱形的概念，了解菱形是轴对称图形。掌握菱形的性质并能运用菱形的性质进行简单的计算。

过程与方法：经历探索菱形概念和基本性质的过程，在操作、观察、分析的过程中发展学生的合情推理能力，进一步体会几何说理的基本方法。

情感态度与价值观：从已有的知识背景出发，通过观察、做一做、议一议，感受身边的数学问题以及学习数学的乐趣。

〖教学重点、难点〗

重点：理解并掌握菱形的概念与性质。难点：菱形的概念与性质在实际问题中的应用。

〖教学设想〗

根据新课程“注重探究，提倡学习方式多样化”的基本理念，在本节课教学中，拟采用“展示模型──探究发现──交流评价”的课堂教学模式。教师引导学生动手操作，根据已有知识对图形进行观察、分析、讨论、交流、总结的一系列教学活动，通过类比、讨论主动获得对菱形的认识，从而把数学知识的获得与思维能力的培养有机地结合起来，达到获取数学知识、培养创造能力和实践能力的一种探究性教学模式。

〖教学媒体〗

多媒体课件、几何模型（长方形纸片若干张）、菱形图片。

〖教学过程〗

一创设情境，导入新课

活动1：在教师引导下，将一张长方形纸片连续对折两次（见图1、图2），然后沿着图3中的虚线剪下、打开，讨论这是一个什么样的图形？

活动2：展示现实生活中的菱形图片（见图4），与活动1中剪下的图形相比，讨论它们其中的形状是否相同？

小组内互相交流，并由学生代表展示本组的成果，教师对学生的交流成果进行归纳：剪下的四边形两组对边相等，对角线互相平分，显然这是一个平行四边形，而且是一个特殊的平行四边形――有一组邻边相等。

由此引出菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

二探究新知，加深理解

菱形具有什么性质呢？（鼓励学生动手操作，对所得图形进行再探究）

活动3：引导学生操作（折叠：上下对折，左右对折），观察并思考：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？对称轴在什么位置？（2）四条边有什么关系？（3）对角有什么关系？（4）对角线有什么关系？

设计说明：通过实物操作引导学生从边、角、对角线去发现菱形的性质，给学生充分探索交流的时间，为生生互动、师生互动搭建平台，在具体的操作过程中获得知识，同时，对思维受到阻碍的学生，教师要给予引导、鼓励。另外，教师应视学生反应情况结合几何画板进行操作。

结合学生探索、讨论、交流的情况，教师对知识作适当梳理，并板书菱形的性质：（1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

三深入探究，提升能力

活动4：提出新问题，如果菱形两对角线的长度已知，那么能否求出它的面积？（学生思考，小组内讨论，各小组代表展示交流成果，教师适时加以指导。）

根据活动结果得出结论：菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半。

四应用举例

活动5：见图5，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2）。

教师引导学生分析问题：（1）已知边长为20m，∠ABC=60°，根据菱形的性质可知，对角线互相垂直，∠ABC被平分为30°，这样就把问题归结到利用直角三角形性质（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）求出AO的长，再用勾股定理求出BO的长，从而计算出两对角线的长；（2）已知边长为20m，∠ABC=60°，根据菱形的性质可知，四条边相等，从而得出ABC为等边三角形，从而计算出AC的长，再利用勾股定理（菱形的对角线互相垂直）求出BO的长，进而找到BD的长。最后应用性质求出菱形的面积。（此处应采取启发式教学，发挥学生的潜能，培养一题多解的思想）

五巩固练习

课本108页的练习第1、2题。（由学生独立完成，教师对存在问题的学生进行释疑）

六课堂小结

与学生互动，采用问答的形式，交流本节课学到的知识。

七作业

作业1：课本113页习题19.2第5题。（设计意图：巩固所学知识，能用所学知识解决问题。）

作业2：思考：既然菱形是特殊的平行四边形，且它的对角线互相垂直，那么这句话反过来是否正确？即对角线互相垂直的平行四边形是不是菱形？（设计意图：利用所学知识进行反向思考，培养学生的逆向思维能力，并为下节课作准备。）

〖板书设计〗

菱形

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形对角线范文第2篇

姓名

班级

分数

1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（

）

A,对角线平分一组对角

B,对角相等

C,对角线互相平分

D,对边平行且相等

2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（

）

A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．以上都不对

3．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（

）

A．等腰梯形

B.矩形

C.平行四边形

D.菱形或对角线互相垂直的四边形

4．如图，DE是ABC的中位线，若BC的长为3

cm，则DE的长是

(

)

A．2

B．1.5

C．1.2

D．1cm

5、在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若AD∥BC，添加一个适当的条件

，使得四边形ABCD是平行四边形。

6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=4

cm，∠AOB=60°。

则对角线AC=

cm。

7、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=8，BD=6，那么菱形的周长=

，菱形的面积

。

8．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为

。

二、解答下面各题：

9、已知：如图，在ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．

求证：四边形BFDE是平行四边形．

10．如图，在ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别是E、F，四边形AECF是平行四边形吗？为什么？

11、已知：如图，在ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．

求证：四边形EBFD是平行四边形．

12.如图，ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E、F，G、H分别为OB，OD的中点，求证：四边形GEHF是平行四边形．

13．已知：如图，在ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是BDC、ADC的角平分线．

求证：四边形DECF是矩形．

14、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

15.如图，在四边形ABCD中，AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么图形？为什么？

16.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，

PO的延长线交BC于Q.

（1）求证：OP＝OQ；

（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t(s)，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

18、如图：在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8

将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，设DE与BC相交于点F

（1）猜想BFD是

三角形，并证明你的猜想；

菱形对角线范文第3篇

[摘要]笔者参加了东北三省四城市数学研讨会，听了四位老师上的同一节课，即北师大版第四章第三节《菱形》一节，其中就张杰老师的课与大家共同分享并谈一些个人看法。

[关键词]数学思想基本元素特例类比

10月12日笔者参加了东北三省四城市数学研讨会，有幸听了来自不同四城市的四位教师上的同一节课，即北师大版八年级上册第四章第三节《菱形》一节，同一节课，不同的教学设计，不同的精彩，引发笔者深入的思考。尤其对来自大连市的张杰老师的课印象深刻。这节课张杰老师将数学思想运用恰到好处，笔者就此一点来和大家共同分享张杰教师的精彩教学。

一、教学实录

本节课的教学目标：

知识目标：理解菱形的概念，探索菱形的性质并能应用它们解决一些简单的数学问题。

能力目标：经历探索菱形的性质的过程，丰富数学活动经验和体验，同时进一步了解和体会说理的基本方法。

情感态度目标：在操作活动过程和观察分析过程中发展主动探究习惯和初步的审美意识。

教学重点：菱形的性质方法。

教学难点：探索菱形的性质的过程。

教学方法和手段：发现式学习法

教学过程：

第一环节——设置情境，引入课题

师：上节课我们学习了平行四边形，了解了些什么？

生：我们学习了平行四边形的性质，从边的角度看，平行四边形两组对边分别相等；从角的角度看，平行四边形两组对角分别相等；从对角线的角度看，平行四边形的对角线互相平分。

生：还学习了平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

生：我们还学习了平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

师：这些知识都是从哪些方面研究的？

生：边、角、对角线。

师：为什么？

（学生满脸疑惑，没有回答。）

师：边、角、对角线是四边形的基本元素。三角形也有基本元素：边和角。因此，考察基本元素是研究几何的方法之一。

（师边讲边板书。）

师：为什么要把四边形的学习放在这一位置呢？

生：因为它特殊。

师：对，所以考察特例是我们学习几何的又一研究方法。三角形考察了哪些特例？

生：等腰、等边三角形。

生：直角三角形。

生：还有等腰直角三角形。

师：这些特例是从哪些基本元素上来特殊的？

生：等腰、等边三角形，从边上特殊的；直角三角形，是从角上特殊的；等腰直角三角形，是从边和角上同时特殊的。

师：四边形基本采用了哪些方法？

生：大多采用了全等。

师：这是转化方法。

（板书：转化。）

师：复习就到这里。

屏幕演示：

师：四边形是怎样特殊化成为平行四边形的？平行四边形特殊化可成为什么？

生：四边形两组对边分别平行特化成平行四边形。

生：平行四边形边特殊化可成为菱形。

生：平行四边形角特殊化可成为矩形。

生：从边、角上同时特殊化可成为正方形。

师：这节课我们就来学习菱形。什么是菱形呢？

（板书：菱形。）

生：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（板书：菱形定义。）

第二环节：思考探究，体验成功

师：分析定义：平行四边形与菱形关系。

生：包涵关系。

师：菱形会有什么性质？

生：一定具有平行四边形的性质。

（板书：一般特点。）

师：它还有特殊性质，对于它的特殊性质，请同学们进行探究。

师：请同学们看备用小卷。

活动一：探究菱形性质。

用现有的两个菱形，用各种方法进行探究。

（学生四人一组，有用圆规、直尺、量角器测量的，有推理证明的，有互相交流讨论的。老师参与其中，时而与学生讨论，时而给予鼓励。）

师：下面我们汇报结果，为了给更多同学机会，每组同学只说一条性质。

生：如图：因为AB=AD，根据三线合一，AC与BD垂直。

生：证明有问题，应先证明BO=DO。

生（齐）：对。

生：我来证明对角线平分一组对角。接前一个同学三线合一的证明，就可证明每一条对角线平分一组对角。

生：定义也是性质，所以四条边都相等。

生：菱形是轴对称图形，因为两侧图形能全等。

师：全等就是轴对称图形吗？

生（齐）：不一定。

师：怎么证明呢？老师借你一个道具。（将一个准备好的菱形递给学生，学生将图形沿对角线折叠，发现能够重合。）

师：很好的证明。对称轴是什么？

生：对角线。

（很多同学举手。）

生：对角线所在的直线为对称轴。

师：我们来归纳一下菱形的性质吧！

生：菱形四条边都相等，菱形对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，菱形是一个轴对称图形。

（生归纳，师板演。）

师：看小卷第二题。

练习：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。

（1）图中有哪些相等线段？有哪些相等的角？为什么？

（2）图中有哪些特殊三角形？它们之间有怎样关系？

（3）若∠DAB=60°，AB=2，求对角线AC、BD的长。

菱形对角线范文第4篇

1.下列计算中，正确的是 ﹙ ﹚

A. = B. + = C. =a+b D. =0

2.纳米是一种长度单位，1纳米= 米。已知某种花粉的直径为35000纳米，则用科学计数法表示该花粉的直径为 ( )

A. B C. D.

3.如图：已知，平行四边形ABCD中，CEAB，为垂足，如果∠A=125°，则∠BCE的度数是( )

A.25° B.55° C.35° D.30°

4、若的值为零，则x的值为( )

A、1 B、0 C、±1 D、-1

5.下列图形中是中心对称图形，不是轴对称图形的是( )

A.矩形　 B.平行四边形 C.菱形　D.正方形

6.正方形具有菱形不一定具有的性质是( )

A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分

C.对角线相等 D.对角线平分一组对角

7.已知三点都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是( )

A. B. C D.

8.等腰梯形的腰与两底的差相等，则腰与底夹的锐角为( )

A. B. C. D.

9、反比例函数y= 与正比例函数y=2kx在同一坐标系中的图象不可能是( ).

10.ABC的三边长分别为、b、c，下列条件：①∠A=∠B-∠C;

②∠A：∠B：∠C=3：4：5;③ ;④ ，其中能判断ABC是直角三角形的个数有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二，填空题(每小题3分，共24分)

11、当x_______时，分式没有有意义。

12、化简： =____ _。

13、反比例函数y= 的图象经过点(1，—2)，则k=_____

14、菱形对角线长为6和8，菱形的面积____

15、若直角三角形两直角边长分别为6和8，则它斜边上的高为______

16、已知AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充

的一个条件是：_________(填一个条件即可)。

17已知梯形的中位线长10cm，它被一条对角线分成两段，这两段的差为4cm，则梯形的两底长分别为 .

18.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.

三、解答题 ( 共66分)

19.(6分) 20、解方程(6分)

化简.a2-1a2+2a+1 ÷ a2-aa+1

21.(6分 )已知：与成反比例，当x=3时，y=2，求y与x的函数关系式

22、(8 分)如图：图( 1)中有5个边长为1的正方形，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：在图(1)画出分割线，并在图(2)的正方形网格图中用实线画出拼成的新正方形.

23、(8分)如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断ABD的形状，并证明。

24(10分)如右图，、是对角线上的两点，且BE=DF

求证：四边形是平行四边形

25、(10分)如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH是什么图形?请证明。

26(12)如图在直角梯形中，，动点从开始沿边向以的速度运动;动点从点开始沿边向以的速度运动。、分别从点、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为。

菱形对角线范文第5篇

法宝一：平行四边形+一组邻边相等菱形

例1 （2014年・南京）如图l，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.过点E作EF∥AB.交BC于点F

（l）求证：四边形DBFE是平行四边形.

（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

解：（1）因D，E分别是AB，AC的中点，故DE是ABC的中位线，DE//BC.又EF//AB，所以四边形DBFE是平行四边形，

（2）当AB=BC时，四边形DBFE是菱形，理由如下：

因D是AB的中点，故

因DE是ABC的中位线，故

因AB=BC，故BD=DE.故平行四边形DBFE是菱形.

法宝二：平行四边形+对角线互相垂直菱形

例2 （2014年・北京）如图2，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD、交BC于点E.BF平分∠ABC，交AD于点F.AE与BF交于点P.连接EF.求证：四边形ABEF是菱形，

分析：由角平分线的定义、平行四边形的性质易得AB=AF，AB=BE，于是得AF与BE平行且相等，证得四边形ABEF是平行四边形.由平行线的性质以及角平分线的定义可得∠APB =90°，从而可以利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证得结论.

简证：因AE平分∠BAD，故∠BAE=∠FAE.

因四边形ABCD是平行四边形，故AD//BC，所以∠FAE=∠BEA.

∠BAE=∠BEA，AB=BE.同理得AB=AF

下略，见“分析”.

法宝三：四边形+四条边相等菱形

例3 （2014年・淮安）如图3，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC.将ABC折叠，使点A与点D重合，展开后，折痕分别交AB，AC于点E，F.连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.

证明：因AD平分∠B4C，故∠BAD=∠CAD.

将ABC折叠，使点A与点D重合，知点A，D关于直线EF对称.

AE=DE，AF=DF，EFAD.

∠AOE=∠AOF=90°.

由对称性可知AE=DE，AF=DF

AE=DE=DF=AF四边形AEDF是菱形，

法宝四：四边形+对角线互相垂直平分菱形

例4（2014年・新疆）如图4，已知ABC.按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF//AB，交PQ于点F，连接AF.

（1）求证：AED全等于CFD.

（2）求证：四边形AECF是菱形.

简证：（1）由作图可知PQ为线段AC的垂直平分线，于是AD=CD.再根据CF//AB，可得∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD.利用“角角边”可以证明两个三角形全等.

（2）因AED全等于CFD，故ED=FD.

又由作图可知PQ为线段AC的垂直平分线，

菱形对角线范文第6篇

一、中心对称与中心对称图形

例1 如图1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的（）.

A. B. C. D.

【点拨】此题考查的是中心对称图形的概念性质，因为矩形是中心对称图形，对称中心是对角线交点. 由题可知DOF≌BOE，求阴影部分的面积就是求AOB的面积，本题选B.

二、平行四边形的性质

例2 如图2，在菱形ABCD中，∠BAD

=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于（）.

A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°

【点拨】此题考查的是菱形的性质：菱形的每条边相等，对角线互相垂直且互相平分；菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴. 所以连接BF，则BF=DF，本题选D.

三、平行四边形判定与三角形中位线的性质

例3 院子的四棵小树E、F、G、H刚好在梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH上种上小草，则这块草地的形状是（）.

A. 平行四边形 B. 矩形

C. 正方形 D. 菱形

【点拨】这道题给了许多中点，所以想到中位线定理. 连接AC，可得EF=AC，EF∥AC，同理HG=AC，HG∥AC. 所以EF=HG，EF∥HG，由平行四边形的判定可知EFGH为平行四边形. 本题选A.

此题主要考查的是中点四边形：一个任意四边形的四边中点顺次连接起来，都可以构成一个平行四边形. 至于一些特殊的四边形的四边中点顺次连接起来，可以构成特殊的四边形. 大家可以自己总结归纳一下.

四、特殊平行四边形的性质与判定

例4 如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PE⊥BC于E，PF

⊥DC于F.

求证：（1） AP=EF；

（2） AP⊥EF.

【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及矩形的判定与性质等知识，根据已知得出PECF为矩形是解题关键. 延长AP与EF相交于点H，连接PC，因为BD是对角线，易证PA=PC，∠BAP=∠BCP. 根据PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF为矩形，PC=EF，故AP=EF；又∠DAH=∠FPH，∠BAP=∠BCP=∠PFE，所以在PHF中，∠FPH+∠PFE=∠DAH+∠BAP=90°，所以PHF为直角三角形，故AP⊥EF.

五、平行四边形与特殊平行四边形的性质和判定、三角形中位线的性质

例5在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF.

（1）求证：EF=BF；

（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG∶GD=3∶1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形性质、菱形性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上中线性质、等腰三角形的性质等知识点，主要考查同学们综合运用定理进行推理的能力，特别要注意“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”的运用.

（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，则AB=BO. 根据三线合一定理得出BE⊥AC，在BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质，求出EF=BF=CF即可.

菱形对角线范文第7篇

一、等对角线四边形问题

例1 我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60O时，这对60O角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.

（2006年北京市）

分析：本题以定义的形式，提出了新的数学概念“等对角线四边形”这一新知识点，要理解并结合图形后才能运用，形成一道考查同学们的阅读理解能力以及作图、应用、证明等能力的综合题.

解：（1）等腰梯形、矩形等；

（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60O时，这对60O角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.

已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC = BD，且∠AOD = 60O.

求证：BC + AD≥AC.

证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE = AC.连接CE，BE.故∠EDO = 60O，四边形ACED是平行四边形.

所以BDE是等边三角形，CE = AD，DE = BE = AC.

①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1-1），在BCE中，有BC + CE＞BE.

BC+AD＞AC.

②当BC与CE在同一条直线上时（如图1-2），则BC + CE = BE.

BC + AD = AC.

综合①，②，得BC + AD≥AC.即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60O时，这对60O角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.

二、中点四边形问题

例2如图2，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形.连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形.

（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形EFGH的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC = BD时，四边形EFGH 为菱形；

当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为矩形；

当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为正方形；

（2）探索三角形AEH，三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论并加以证明；

（3）如果四边形ABCD面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？

（2006年四川省内江市）

菱形对角线范文第8篇

一、掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明

例1 如图1，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

【重点】平行四边形的概念及有关性质和判定.

【难点】平行四边形多种判定方法的合理选取.

证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，

∴∠ADE=∠CBF=60°.

AE=AD，CF=CB，

∴AED，CFB是正三角形.

在▱ABCD中，AD=BC，∴ED=BF.

∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF.

又DC∥AB，即EC∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形.

（2）上述结论成立. （过程略）

方法总结：平行四边形的判定方法：

（1）如果已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；

（2）如果已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；

（3）如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分.

二、掌握平行四边形与矩形的关系，会利用矩形的性质与判定来解题

例2 如图2，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC. 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF. 那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

【重点】矩形的概念及有关性质和判定.

【难点】判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等.

证明：当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形.

CE平分∠BCA，∴∠1=∠2.

又MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO，∴EO=FO.

又OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形.

又∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠1+∠5=∠2+∠4.

又∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，即∠ECF=90°.

∴四边形AECF是矩形.

【方法总结】矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定. 矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点. 证明一个四边形是矩形的方法：（1）先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；（2）先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；（3）证明有三个内角为90°.

三、掌握平行四边形与菱形的关系，会利用菱形的性质与判定来解题

例3 如图3，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为8，求AC的长.

【重点】菱形的相关性质和判定，菱形的面积计算方法.

【难点】菱形判定方法的合理选取，菱形面积公式的使用分析：（1）先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；（2）因为DOC是等边三角形，根据菱形的面积公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长.

证明：（1） DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形. 四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=BO=OD. ∴四边形OCED是菱形.

（2） ∠ACB=30°，∴∠DCO=90°-30°=60°. 又OD=OC，∴OCD是等边三角形.

过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x.

在RtDFA中，AF=3x ∴DF=x.

由菱形OCED的面积为8得OC·DF=8，即2x·x=8. 解得x=2. ∴AC=4×2=8.

菱形对角线