分式方程应用题
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分式方程应用题范文第1篇
一、不让分数流失在基本概念的辨析中
例1 下列方程：①[x+25]=1；②[1+x2x]=4；③[2xx+2]-1=[22+x]；④[13]x-1=x；⑤[1π]+1=3x，其中，是分式方程的是 .（填序号）
【解析】本题主要考查了分式方程的概念，想要拿满分，本题需要对每个式子进行精准的辨析.①④⑤这三个式子中，分母中不含有表示未知数的字母，π在数学里表示一个已知数.②和③两个式子中，分母都含有表示未知数的字母.解答这类题目要抓住两个重点：一是要认识到，分母中是否含有未知数，这是分式方程与整式方程的根本区别；二是判断一个方程是不是分式方程，要看这个方程的分母中是否含有表示未知数的字母，像π虽然是字母，但它并不表示未知数.
【小试身手】1.下列方程是分式方程的是（ ）.
A.[x-12]=3 B.[61-π]+x=1
C.[2x+15]=2 D.[2x+1]=[3x+1]-1
例2 （2016・湖北黄冈三模，7分）已知关于x的方程[3-2xx-3]-[2-mxx-3]=-1无解，求m的值.
【解析】本题考查了对分式方程的根和增根的理解.分式方程无解分为两种情况，一是相应的整式方程无解，二是求出的整式方程的值，使分式方程无意义.
解：原方程两边都乘（x-3），得
3-2x-（2-mx）=-（x-3），（1分）
整理，得（1-m）x=-2.（2分）
原分式方程无解，
m=1或x=[-21-m]=3，（5分）
解之，得m=1或m=[53].（7分）
【小试身手】2.若关于x的分式方程[2x-3]+[x+m3-x]=2有增根，则m的值是（ ）.
A.m=-1 B.m=0
C.m=3 D.m=0或m=3
3.已知关于x的方程[xx-3]-2=[mx-3]的解为正数，求m的取值范围.
二、不让分数流失在分式方程的解答中
例3 （2015・江苏常州，4分）解方程：[x3x-1]=2-[11-3x].
【解析】本题考查了解分式方程的知识，解分式方程的基本思路是：将分式方程转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解.解题过程分为三步：（1）去分母，在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根，把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，否则，这个解就是原分式方程的解.
解：原方程可化为：[x3x-1]=2+[13x-1]
方程两边同时乘（3x-1），得：
x=2（3x-1）+1，（1分）
解得：x=[15].（2分）
检验：当x=[15]时，3x-1≠0，（3分）
x=[15]是原方程的解.（4分）
【小试身手】
4.[2x]-[11+x]=0.
5.[1x-2]-3=[x-12-x].
三、不让分数流失在分式的应用过程中
例4 （2016・江苏扬州，10分）动车的开通为扬州市民的出行带来了方便.从扬州到合肥，路程为360km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1h，求该趟动车的平均速度.
【解析】本题考查了分式方程的运用，考查了用方程思想解决实际问题的能力.本题中，抓住路程相同是关键，用时间作为等量关系的主线，利用“坐动车所用的时间比坐普通列车所用的时间少1h”这句话，列方程解答.与用整式方程解应用题不同的是，用分式方程解应用题要注意双检验.一是要检验所求得的解，是不是所列方程的解；二是要检验所求得的解，是否符合应用题的实际情况.最后要提醒的是，在解应用题时，各部分要完整，别忘记写“答”.
解：设普通列车的速度为xkm/h，动车的平均速度为1.5xkm/h.（1分）
由题意可得[360x]-[3601.5x]=1，（5分）
解得：x=120.（7分）
经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意.（9分）
答：该趟动车的平均速度为120km/h.（10分）
【小试身手】6.张家界到长沙的距离约为320km，小明开着大货车，小华开着小轿车，都从张家界同时去长沙，已知小轿车的速度是大货车的1.25倍，小华比小明提前1h到达长沙.试问：大货车和小轿车的速度各是多少？
分式方程应用题范文第2篇
一、复习用“导学案”
1.复习目标
（1）会进行简单的分式四则运算。
（2）会解可化为一元一次方程的分式方程。
（3）进一步理解增根产生的原因，能熟练地检验。
（4）能够利用分式方程来解决简单的实际问题，发展分析问题和解决问题的能力。
2.复习重点
分式的混合运算、分式方程的解法以及应用。
3.复习过程
（1）温故知新
①“若关于x的方程=1的解是正数，则a的取值范围是 a
【3月7日学校月度检测填空最后一题，横线处所填为学生最常见错误答案】
②解分式方程+2=时，下列关于去分母的变形正确的是（ ）
A.1-x+2=1 B.1-x+2（x-2）=1
C.1-x+2（x-2）=-1 D.1-x+2x-2=-1
③解分式方程：（1）= （2）+=4
④如果解关于x的方程=-时出现增根，那么增根一定是（ ）
A.0或2 B.2 C.1 D.0
【题目讲解过两三天，当时普遍错误是选A】
（2）知识梳理
①分式运算：
通分与约分是分式运算的基础。通分时通常分子、分母要同时乘以公分母；约分时往往约去分子、分母的_____。
分式加减时，如果不是同分母，那么需要先___，变成同分母再加减；分式乘除时，如果其中有的分子或者分母是多项式的形式，那么要先______，再约分。
分式混合运算的顺序：先算乘除，然后算____。如果有括号，那么通常先_______。
②分式方程：
解分式方程的基本思路是：方程两边同乘各分式的____公分母，转化为____方程来解。
解分式方程时，容易出现增根，因而要注意____。
增根的含义是：该数值使得最简公分母的值为_____，同时是相应整式方程的______。
利用分式方程解决实际问题时除了看分式方程是否有解外，还要看该解是否符合实际意义。
（3）探究学习
①试说明练习+=4中方程为什么无解。
②计算+，该数值等于4吗？
③你能解释练习+=4中方程为什么会产生增根吗？
④拓展：请你给m选择一个合适的值，使关于x的方程+=m无解。你所选m的值为____（一个即可）。
【改编自苏科版实验教材复习题“探索研究”中最后一题】
如果解关于x的方程=+时出现增根，那么增根一定是_____，此时a=______。【第4题变式】
比较上题与第4题，你有何看法？
⑤编一道具有实际意义的应用题，使得所列方程为=。
4.归纳总结
通过本节课的复习，你有何收获？或者，你还有什么疑惑？
5.课堂巩固
（1）分式方程=有解吗？为什么？
（2）化简÷（x-），再从-1、0、1、2中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值.
小明的解答过程为：÷（x-）=÷x-÷=-・=-x+1，当x=1时，原式=1-1-1+1=0.
请判断他的解答是否正确。如不正确，请指出有几处错误。
6.课后练习
（1）若分式的值为0，则x为（ ）
A.-2或2 B.2 C.-2 D.2或-1
（2）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围为_______。
（3）改正第9题中小明的错误。
（4）先化简，再求值：（-）÷，其中x满足x2-x-1=0.
【2011年重庆市中考试题。整体代入】
（5）解方程：=+2.
（6）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材。若甲先单独整理30分钟，则乙再单独整理20分钟完工；若甲乙共同整理15分钟，则乙再单独整理35分钟才能完工。问甲、乙单独整理各需要多少分钟完工？
7.探究
（1）如果=3+，求m；
（2）如果=a+（其中a、b、c为常数），求m；
（3）你能得出一般性的结论吗？
【苏科版实验教材复习题“探索研究”中倒数第3题。从方程角度看待分式运算。】
二、探索与建议
1.内容、要求靠船下篙
面面俱到地复习既不必要，也易蜻蜓点水，导致对真正问题的解决流于形式，有效性当然不高，因此需要突出重点，重点问题重点解决。
复习的主要目的之一是进行查漏补缺。木桶原理告诉我们，决定木桶储水量多少的是其中长度最短的木板，运用到学习上来，增加学生学习中“短板”的长度能快速而有效地提高其学业成绩，为此，要注意“靠船下篙”。“船”指学生实际，包括学生原有知识基础、思维方式、可能的接受程度等，“篙”指复习目标、复习内容、复习要求。内容的选择、要求的确定只有立足学生的实际、贴近学生的最近发展区才能有效地增加“短板”的长度，从而保证学习效果。
月度检测前，分式的有关概念、分式的基本性质以及分式的加减运算已经复习过，本复习没有因为是公开课而再拿出来表演一番，更多的是关注分式方程的有关内容。知识梳理时尽可能突出具有指导意义的知识与方法，尽可能条理化系统化，习题的设计瞄准学生平时学习中易犯错误，课堂学习时尽可能让学生暴露思维过程，试图据此来做好知识与方法上查漏补缺工作。
不同层次的学生，其“船”不一样，“篙”也应当不一样，宜分层要求、区别对待，努力使不同层次的学生有不同的收获。第15题，要求基础比较好的同学探索不只一种解题思路，在此基础上，寻求较简便的思路。下面的思路系学生自行发现：甲整理（30-15）分钟的工作量，乙需要整理（15+35-20）分钟，从而甲的工作效率是乙的2倍。设甲单独整理需要x分钟，+=1，余略。进而体会：对于题目的信息，发现、利用越多，往往思路越简便。
2.流程设计科学、艺术
“温故知新”的设计具有“一石数鸟”的作用，是本章节复习一大特色：一是创设“故”的情境。存在的问题来自于教学实际，部分为原封不动的题目与答案，能迅速提高学生有意注意程度。二是切实感受知识梳理的必要。通过“温故”可以发现，不少题目的解答之所以出现这样那样的问题，往往是由于相关概念、性质理解不透彻，从而突显“知识梳理”的必要，有效地解决了平常章节复习中知识梳理成为“鸡肋”的现象。三是为“探究学习”的起点，既使过程显得流畅、自然、紧凑，又使真正探究成为可能。
“探究学习”的设计是本复习的第二大特色。通过复习提高学生的思维能力，提升其数学素养是复习的主要目的之一。第5题由教材中复习题改编而成，其意图是引导学生从分式运算的角度来认识分式方程产生增根的原因（同时也复习了分式运算）。通过新授课的学习，学生已知其然（分式方程两边同乘以最简公分母后得到整式方程，如果整式方程的解使得最简公分母值为零，那么该解便是分式方程的增根），此处则通过一个具体例子让学生知其所以然：只要分式有意义，+的值总是1，由于1≠4，从而原方程无解。如果两边同乘以0，得0=0，不等式变成了等式，从而产生增根。在此基础上进行的拓展（只要找一个不为1的数作为m的值，方程+=m均无解），则将学生的理解提升到一个新的高度。
3.细微之处彰显匠心
（1）巧妙暗示，启迪思维。挖掘隐含条件，尤其是第9题中挖掘隐含的分母（x2-1）值不为0，颇不容易。本题学生容易发现运算顺序有问题。“如不正确，请指出有几处错误”的指导语暗示了不只一处错误，会促使学生思考x的取值有何问题。
（2）或做或看，各有玄机。第1题要求学生“做”。因为间隔时间较长，学生多遗忘了，加之该题较简，让学生“做”，再次体验，由于明确了横线所填答案为错，会形成认知冲突。第④题让学生“看”最初的解答过程即可达到目的。本题间隔时间短，若再做则是变相鼓励学生死记硬背，并导致时间的无谓浪费。
（3）易偏颇处，及时提醒。第④题增根为2，第⑥题增根为0，这2道题最简公分母都是x（x-2），学生潜意识里会认为增根只有一个，此时教师及时提醒“有时增根可能会有两个”。这样的提醒，会比以后出现了问题再来纠正效果要好得多。毕竟“炒夹生饭”费时费力，而效果又不好。
（4）多管齐下，突破难点。疑难问题，若是重复讲解再三练习，至多强化模仿意识以及记忆能力，对于提升学生数学理解能力并无多大帮助，笔者感觉从多个角度来研讨，学生认识会深刻，教学效果会比较好。第1题得到“a
（5）捕捉“生成”，因势利导。预设再好，可能也会有偏差，因此重视生成并因势利导是提高课堂有效性的重要举措。第⑦题有不少学生编顺逆水的问题，也有学生编笔记本价格问题（题目：小明买某种笔记本，如果每本降价2元，那么花20元钱可买的笔记本本数与当笔记本每本涨价2元时30元所买的本数相同，问笔记本每本多少元？）。教师意识到上题是“生成”的好素材，进行投影，告诉学生编的有点小问题，让学生思考。学生发现：作为笔记本数，必须为正整数，所编的应用题中本数为2.5，从而不符合实际意义。此时，教师顺势指导：①要先解方程根据结果以及方程的特点来联想应用题的类型。②编出应用题后，要再根据实际意义来审视所编写的题目是否符合要求。接着教师指出，如果辛辛苦苦编出的题目仅仅是因为本数不是正整数而加以放弃是比较可惜的，联想到水果的价格以及质量没有正整数的条件限制，从而可作如下修改：某种水果上市时售价比平时售价高2元/千克，罢市时售价比平时售价低2元/千克。已知罢市时20元购买水果的质量跟刚上市30元所购买的质量相同，问该水果平时售价多少元/千克？这样的处理意义较大，或许算是本课堂教学的一个亮点（限于篇幅，请读者自行分析）。
4.两点建议
（1）去“演”存真。本章节复习，笔者关注的是如何通过复习使学生有更多的收获，而不是去刻意展示教师形象。笔者以为，公开课、观摩课不应该“表演”，否则，会因为不够真实，大大降低教师威信，进而影响后续学习的有效性。
（2）加强研究。加强对学生的研究，增进对学生的了解，这是提高教学有效性的前提。教师的经验固然重要，但它是建立在以往学生情况之上的，对于现有的学生未必都适用。有时，自己的预设与学生的真实情况差距还比较大，因此要增进对学生的了解。在本复习中使用了导学案，某种程度上，没有对于任教班级学生情况的了解，便没有这样形式的导学案。导学案是课前刚刚发给学生的。如果时间充裕，会修改第④题数据，“温故知新”会让学生课前完成，教师有选择地批改，课上针对完成情况来展开教学，并将第⑨题改作例题来解决。
分式方程应用题范文第3篇
［关键词］应用题 列表法 分析 分式方程
［中图分类号］G42 ［文献标识码］A ［文章编号］1009-5349（2012）01－0177－01
列方程解应用题是数学学习中的重难点之一，怎样使学生快速分析题意，准确列出方程，解决实际问题？“等量关系”是列方程的依据，又与问题中所有的基本量密切相关，用列表法来分析，将题目给出的条件和要求反映的基本量在一个表格中显示出来，使那些较为复杂的关系条理清楚、明朗，能较快发现等量关系，准确快速列出方程，大大降低解题难度。
如北师大版八年级数学下册中分式方程的应用题，一般都涉及三个基本量，根据三者的关系可用其中的两个量表示出第三个量，又有两种情况之分，均可列成3×4表格来分析。
例1：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。
分析：此题中有三个基本量：面积、单位产量、总产量（三者关系为：总产量=单位产量×面积），又有第一块、第二块之分。可列表格为：
由面积相同易得方程 = 。
例2：从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
分析：此题中有三个基本量：路程、速度、时间（三者关系为：路程=速度×时间），又有普通、高速之分。可列由高速路速度比普通路快45km/h易得方程 -
例3：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额4800元，第二次捐款总额5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为x人。那么x满足怎样的方程?
分析：此题中有三个基本量：人数、人均捐款、总捐款（三者关系为：总捐款=人均捐款×人数），又有第一次、第二次之分。可列表格为： 第一次 第二次
由两次人均捐款恰好相等易得方程 = 。
例4：某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道。为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的功效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务。实际每天铺设多长管道？
分析：此题中有三个基本量：工作量、功效、时间（三者关系为：工作量=功效×时间），又有原计划、实际之分。可列表格为： 原计划 实际
由提前30天完成易的方程 - =30。
例5：某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率。
分式方程应用题范文第4篇
专题1 一元一次方程（组）
考点解读：单独求一元一次方程（组）的解和字母系数的值的题很少见，即使有也很简单，只要掌握基本概念就可解答，命题的主要方向是一元一次方程（组）的简单应用?郾
考点1 列一元一次方程
例1 （2011年湘潭卷）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”?郾 李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为 ?摇?郾
解：50-8x=38?郾
温馨小提示：这是一元一次方程命题的重点?郾 解题的关键是寻找等量关系?郾
考点2 二元一次方程解的识别
例2 （2011年益阳卷）二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A?郾x=0，y=-■.?摇?摇 B?郾x=1，y=1.?摇?摇 C?郾x=1，y=0.?摇?摇 D?郾x=-1，y=-1.
分析：将所有选项逐一代入验证，即可得到答案?郾
当x=1，y=1时，x-2y=1-2×1=-1≠1?郾 选B?郾
温馨小提示：将x与y的值代入方程，若使方程成立，则是方程的解，否则就不是方程的解?郾
考点3 求字母系数的值
例3 （2011年枣庄卷）已知x=2，y=1是二元一次方程组ax+by=7，ax-by=1的解，则a-b的值为（ ）?郾
A?郾 -1?摇?摇 B?郾 1?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 3
解：因为x=2，y=1是二元一次方程组ax+by=7，ax-by=1的解，
所以有2a+b=7，2a-b=1.解得a=2，b=3.所以a-b=-1?郾 选A?郾
温馨小提示：根据二元一次方程组解的定义，把解代入方程组，即可求a-b的值?郾
专题2 分式方程
考点解读：解分式方程和分式方程的应用是命题的重点?郾 解分式方程要注意验根，在实际应用中，自变量还受实际问题的限制?郾
考点1 解分式方程
例4 （2011年鄂州卷）解方程：■+■=1?郾
解：方程两边同乘以x（x+3）得2（x+3）+x2=x（x+3），
解得x=6?郾
经检验，x=6是原分式方程的解?郾
温馨小提示：解分式方程的基本思路是“转化”，把分式方程转化为整式方程求解?郾 另外，解分式方程一定要验根?郾
考点2 增根问题
例5 （2011年鸡西卷）分式方程■-1=■有增根，则m的值为（ ）?郾
A?郾 0和3?摇?摇 B?郾 1?摇?摇 C?郾 1和-2?摇?摇 D?郾 3
解：去分母，得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，即x=m-2.
因为原分式方程有增根，增根只能是x=1或者x=-2，
当x=1时，得m=3；当x=-2时，得m=0?郾
而当m=0时，分式方程变为■-1=0，此方程不成立?郾
所以m的值为3?郾 选D?郾
温馨小提示：当x满足最简公分母等于0时，它就是分式方程的增根，再代入原方程检验?郾 本题中容易出现选A的错误，原因是没有再代入原方程检验?郾
考点4 分式方程无解
例6 （2011年龙东卷）已知关于x的方程■-■=0无解，则a的值为?摇 ?郾
解：原方程两边同时乘以x（x+1），得ax-（2a-x-1）=0，
即（a+1）x=2a-1?郾
一方面，当a+1=0，即a=-1时，2a-1≠0，方程无解?郾
另一方面，原分式方程无解，即x（x+1）=0，解得x=0或x=-1?郾
当x=0时，代入（a+1）x=2a-1，得2a-1=0，解得a=■；
当x=-1时，代入（a+1）x=2a-1，得-a-1=2a-1，解得a=0?郾
综上所述，a的值为-1，0，■?郾
温馨小提示：分式方程无解，说明分母为0，由此可求出方程的增根，再将增根回代，即可求得a值?郾 本题中容易忽视由分式方程转化的整式方程无解的情况?郾
考点5 列分式方程解应用题
例7 （2011年毕节卷）小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B铅笔，请根据下列情景解决问题?郾
（1） 这个学校九年级学生总数在什么范围内？
（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，那么这个学校九年级学生有多少人？
分析：由已知得总人数不多于300人，若多购买60支，则可按批发价付款，说明总人数大于240人?郾
解：（1）依题意，得 240＜学校九年级学生总数≤300?郾
（2）设九年级学生总数为x，根据题意，得
■×5=■×6?郾 解得x=300?郾
经检验x=300是原方程的解?郾
答：这个学校九年级学生有300人?郾
温馨小提示：本题以人物的情景对话为背景，考查我们解决实际问题的能力. 在阅读对话中，发现解决问题的条件，建立数学模型求解?郾
专题3 一元一次不等式（组）
考点解读：会用数轴表示不等式（组）的解集，理解不等式的基本性质，构建一元一次不等式（组）解决实际问题是考试的重点.
易错点：在不等式两边同乘以（或除以）一个负数，忘记改变不等号的方向.
考点1 不等式的基本性质
例8 （2011年深圳市）已知a、b、c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是（ ）?郾
A?郾 a+c＞b+c?摇?摇 B?郾 c-a＜c-b C?郾■＞■?摇?摇 D?郾 a2＞ab＞b2
分析：根据不等式的性质，逐一验证即可得出结果?郾
解：因为a＞b，所以-a＜-b，而c≠0，所以a+c＞b+c、c-a＜c-b、■＞■均正确，只有a2＞ab＞b2不一定正确. 选D?郾
温馨小提示：在运用不等式的基本性质3时，要明确不等号的方向是变还是不变?郾
考点2 解一元一次不等式（组）
例9 （2011年佛山卷）解不等式组：■-1＜x，x-（3x-1）≥-5?郾
解：解不等式■-1＜x，得x＞-2；
解不等式x-（3x-1）≥-5，得x≤3.
因此原不等式组的解集是-2＜x≤3?郾
温馨小提示：不等式组的解集可以通过“数轴法”确定，也可以通过“口诀法”确定?郾
考点3 确定一元一次不等式（组）的整数解
例10 （2011年烟台卷）不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有（ ）.
A?郾 1个?摇?摇 B?郾 2个?摇?摇 C?郾 3个?摇?摇 D?郾 4个
解：解不等式，得x≤2，因为x是非负整数，所以x=0，1，2，共有3个. 选C?郾
温馨小提示：求不等式（组）的整数解是比较简单的基础题，考查的频率却较高.
考点4 确定一元一次不等式组中的字母系数的范围
例11 （2011年安顺卷）若不等式组5-3x≥0，x-m≥0有实数解，则实数m的取值范围是（ ）.
A?郾 m≤■?摇?摇 B?郾 m＜■?摇?摇 C?郾 m＞■?摇?摇 D?郾 m≥■
解：解不等式5-3x≥0，得x≤■，解不等式x-m≥0，得x≥m，
不等式组有实数解，所以m≤x≤■，m必须满足m≤■?郾 选A?郾
温馨小提示：解本题时，要理解“有实数解”的意义，同时不要遗漏等于■的情况?郾
考点5 一元一次不等式的应用
例12 （2011年广州卷）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案. 方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9?郾5折优惠?郾 已知小敏5月1日前不是该商店的会员?郾
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？
解：（1）120×0?郾95=114（元），所以实际应支付114元?郾
（2）设购买商品的价格为x元. 根据题意，得0?郾8x+168＜0?郾95x，
解得x＞1 120.
当购买商品的价格超过1 120元时，采用方案一更合算?郾
温馨小提示：解决这类问题，认真审题，读懂方案是解题的关键?郾
例13 （2011年桂林卷）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒?郾
（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）
（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？
分析：（1）根据“给每个老人分5盒，则剩下38盒”可求牛奶共有（5x+38）盒数?郾 （2）根据“每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒”可知：1≤最后一个老人的牛奶盒数＜5，由于前面的（x-1）个老人每人6盒，总共（5x+38）盒，最后一个老人分得的牛奶盒数为（5x+38）-6（x-1），因此有1≤（5x+38）-6（x-1）＜5?郾
解：（1）依题意，得牛奶盒数为（5x+38）盒?郾
（2）根据题意，得5x+38-6（x-1）＜5，5x+38-6（x-1）≥1?郾 解得39＜x≤43?郾
因为x为整数，所以x=40，41，42，43?郾
答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人?郾
温馨小提示：利用不等式及不等式组解决实际问题时，都要先确定一个取值范围，再根据实际情况来做出判断?郾 如本题老人的数目必须是整数，故最小值为40?郾 另外，要注意根据“不足”、“至少”等词的含义列不等式?郾
专题4 一元二次方程
专题解读：一元二次方程是中考的重点. 解一元二次方程一般不难，根的判别式及根与系数的关系的简单应用、列一元二次方程解实际问题是命题的重中之重，在本刊第6期作专题讲解.
考点1 一元二次方程的解法
例14 （2011年聊城卷）解方程：x（x-2）+x-2=0?郾
分析：可以先通过整理，使得原方程转化一元二次方程的一般式，进而利用求根公式或因式分解或通过配方求解，考虑方程的结构，不如视（x-2）为一个整体，通过因式分解求解?郾
解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0，解得x=2或x=-1?郾
温馨小提示：解一元二次方程，因式分解是首选方法?郾
考点2 用一元二次方程解决生活中图形类问题
例15 （2011年六盘水卷）小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中x的值?郾
分析：分别从各种方案的图形中获取信息，寻求等量关系，利用面积关系构建一元二次方程求解?郾 这是一道开放性题，可任选一种方案计算.
方案一：（8-x）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾
而x1=12不合题意，舍去?郾 所以x=2?郾
方案二：（8-2x）（6-2x）=■×8×6，解得x1=6，x2=1?郾
而x1=6不合题意，舍去?郾 所以x=1?郾
方案三：■×（8-x）（6-x）×2=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾
而x1=12不合题意，舍去?郾 所以x=2?郾
方案四：■×（8-2x+8）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾
分式方程应用题范文第5篇
1考查对一元二次方程有关概念的理解与应用
与一元二次方程有关的概念主要指，能正确理解并能灵活运用一元二次方程的概念；会判断某一个数是否为给定一元二次方程的一个根；会利用一元二次方程的求根公式求方程的解；会利用根的判别式判别方程是否有实根、两个实根是否相等；会根据根的情况确定未知系数的取值范围；会利用根与系数的关系解答有关的问题等.
例1（济南市）已知x2-2x-8=0，则3x2-6x-18的值为（）
A.54B.6C.-10D.-18
解析因为x2-2x-8=0，x2-2x=8，所以3x2-6x-18=3（x2-2x）-18=3×8-18=6.所以选B.
例2（烟台市）已知实数a，b分别满足a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，则b1a+a1b的值是（）
A.7B.-7C.11D.-11
解析本题考查一元二次方程根与系数的关系，可以把a和b看做方程x2-6x+4=0的两个实数根，所以a+b=6，ab=4，所以b1a+a1b=b2+a21ab=（a+b）2-2ab1ab=62-2×414=7.
点拨一元二次方程根与系数的关系常见的应用有：验根、确定根的符号；求与根相关的代数式的值；由根求出新方程等.
例3（潍坊市）关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，下列说法正确的是（）
A.当k=0时，方程无解
B.当k=1时，方程有一个实数解
C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
解析本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用.当k=0时，原方程变为一元一次方程x=1，故A项错误；当k=1时，原方程变为一元二次方程x2-1=0，方程有两个不相等的实数解：x1=1，x2=-1，故B项也错误；当k≠0时，原方程的判别式Δ=（1-k）2+4k≥0，方程总有两个实数解，只有当k=-1时，方程有两个相等的实数解.故C项正确，D项错误.选C.
2给定一元二次方程根的情况，求方程中某字母的值
例4（淄博市）关于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0有实根.
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2-32x-71x2-8x+11的值.
分析（1）利用一元二次方程有实根的条件Δ≥0且a-6≠0，列出不等式求出a的取值范围，即可得到a的最大整数值；（2）可把x2-8x的值整体代入求2x2-32x-71x2-8x+11的值.
解（1）由题意可知Δ=（-8）2-4（a-6）×9=-36a+280.
因为该方程有实根，所以Δ≥0，即-36a+280≥0，解得a≤7019.
因为a-6≠0，所以a≤7019且a≠6，所以a的最大整数值为7.
（2）当a取最大整数值时，①一元二次方程为x2-8x+9=0，所以x=8±2812=4±7，即得x1=4+7，x2=4-7.
②因为x2-8x+9=0，所以x2-8x=-9.
所以2x2-32x-71x2-8x+11
=2x2-32x-71-9+11
=2x2-16x+712
=2（x2-8x）+712
=2×（-9）+712
=-2912.
点拨当一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数含有字母时，一定要注意隐含条件a≠0.
3与分式方程相结合
例5（济宁市）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.”
请你根据对这段话的理解，解决下面问题：
已知关于x的方程m-11x-1-x1x-1=0无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m.
（1）求m和k的值.
（2）求方程x2+kx+6=0的另一个根.
解析本题考查了分式方程和一元二次方程根与系数的关系.（1）分式方程去分母转化为整式方程，因为分式方程无解，故得x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值.（2）利用根与系数的关系可求出方程的另一根.
解（1）分式方程去分母得m-1-x=0，由题意得x=1，将x=1代入得m-1-1=0，即m=2.因为方程x2+kx+6=0的一个根是m，所以将x=2代入方程x2+kx+6=0得4+2k+6=0，即k=-5.
（2）设方程的另一个根为a，则2a=6，a=3.
点拨解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程，解分式方程一定要验根.
4与函数相结合的有关问题
有些与函数有关的问题可以转化为一元二次方程的问题.
图1例6（威海市）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为.
分析本题属于二次函数综合题.（1）根据抛物线对称轴是直线x=2，AB=2求出A（1，0），B（3，0）.所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根.可以求出b、c的值；
（2）连接BC交对称轴于点P，连接PA.根据轴对称的性质得到PA+PC的值为最小，此时APC的值最小，它的最小值等于AC+BC的值；
（3）当点D是抛物线顶点时，可得到以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形.
解（1）抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.
（2）如图2，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA.由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），所以C（0，3），所以BC=32+32=32，AC=32+12=10.因为点A、B关于对称轴x=2对称，所以PA=PB，所以PA+PC=PB+PC.此时，PB+PC=BC.所以点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC.所以APC的周长的最小值是AC+AP+PC=AC+BC=32+10；
图2图3（3）如图3，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1）.故答案是：（2，-1）.5列一元二次方程解应用题
例7（重庆市）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）略.
分析第（1）问考查了一元二次方程的实际应用.等量关系是：甲队单独完成的时间×乙队单独完成的时间=6（甲队单独完成的时间+乙队单独完成的时间）.
解（1）设甲队单独完成这项工作需要x个月，则乙队单独完成这项工作需要（x-5）个月，根据题意得
x（x-5）=6（x+x-5），整理得x2-17x+20=0，解得x1=2，x2=15，x=2不合题意，舍去.故x=15，x-5=10.
分式方程应用题范文第6篇
【关键词】数学教学；数学思想；数学方法；渗透
一、何谓数学思想方法
数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构、思维方式及其意义的基本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识，是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，直接支配着数学的实践活动。数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。
二、数学教学为何要渗透数学思想方法
认知心理学认为，思想方法属于元认知范畴，它对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性的作用。学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语），解题关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。
数学知识本身是非常重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。
数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构，也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。
三、数学教学中应渗透哪些数学思想方法
古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。但要把那么多的数学思想方法渗透给学生是不大现实的。因此，我们应该有选择地渗透一些数学思想方法。笔者认为，以下几种数学思想方法学生不但容易接受，而且对学生数学能力的提高有很好的促进作用。
1.数形结合思想
数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。华罗庚先生说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。如在讲“圆与圆的位置关系”时，可自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透；这样不仅可提高学生的迁移思维能力，还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
2.方程思想
众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想，主要是指建立方程（组）解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根与系数关系求字母系数的值等。教学时，可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。
3.辩证思想
分式方程应用题范文第7篇
一、列分式方程解应用题的步骤
用分式方程解决实际问题的方法与用一元一次方程解决实际问题的方法基本相同。简单的可分为：设、找、列、解、检、答六大步骤。具体是：
（1）设：弄清题意中的数量关系，用字母（如x）表示题目中的一个合理未知数；
（2）找：根据题意找到能够表示题目全部含义的一个等量关系；
（3）列：根据这个等量关系，正确列出方程。并且所列的方程应满足等号两边的量要相等，方程两边的代数式的单位要相同；
（4）解：解这个分式方程，求出未知数的值；
（5）检：检验。检验应是：检验所求出的解既能使方程成立，又能符合实际意义；
（6）答：写出答案（包括单位名称）。
这六个步骤的难点是“找”，关键是“列”。
二、列方程解应用题中寻找相等关系常用的方法
（1）根据日常事理来确定相等关系
例如：小华买2枝圆珠笔和4本练习本，用去1.96元。每本练习本0.24元，每枝圆珠笔多少元？
相等关系为：买2枝圆珠笔的钱＋买4本练习本的钱＝总金额。
（2）根据常见的数量关系确定相等关系
例如：北京到天津的铁路长137千米，一列火车从北京出发，平均每小时行68.5千米，多少小时到达天津？
相等关系为：速度×时间=路程
（3）利用题目中的关键语句来找相等关系。
例如：某班原分成两个兴趣小组，第一组31人，第二组20人，现根据场地大小，要将第一组的人数调整为第二组人数的2倍，问应从第二组调多少人去第一组?
“第一组的人数调整为第二组人数的2倍”是本题的关键语句，根据关键句可列相等关系为：调整后第一组的人数＝2×调整后第二组的人数。
（4）利用题目中不变的量来找相等关系。
例如：轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度是2km/h。求轮船在静水中航行的速度。
两个码头之间的距离是不变的量，则相等关系为：顺水航行速度×顺水航行时间＝逆水航行速度×逆水航行时间。
（5）利用有关数学计算公式来找相等关系。
例如：一个三角形的面积是28.26平方厘米，已知底是18厘米，求高。
相等关系为：三角形面积=
三、中考热点问题案例分析
例1（2010江苏徐州）在5月举行的“爱心捐款”活动中，某校九（1）班共捐款300元，九（2）班共捐款225元，已知九（1）班的人均捐款额是九（2）班的1.2倍，且九（1）班人数比九（2）班多5人．问两班各有多少人?
[分析]若以“九（1）班的人均捐款额是九（2）班的1.2倍”建立等量关系，则关系为：九（1）班的人均捐款=1.2×九（1）班的人均捐款。如果设九（2）班有x人，则九（1）班有（x+5）人；若以“九（1）班人数比九（2）班多5人”建立等量关系，则关系为：九（1）班人数=九（2）班人数+5。如果设九（2）班的人均捐款为x元，则九（1）班的人均捐款为1.2x元。
解法一：设九（2）班有x人，则九（1）班有（x+5）人。根据题意，得
解得：x=45
经检验：x=45是原方程的根
x+5=50
答：九（1）班有50人，则九（2）班有45人。
解法二：设九（2）班的人均捐款为x元，九（1）班的人均捐款为1.2x元。根据题意，得
解得：x=5
经检验：x=5是原方程的根
，45+5=50
答：九（1）班有50人，则九（2）班有45人。
例2某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对该纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。
（1）求该种纪念品4月份的销售价格；
（2）若4月销售这种纪念品获利800元，5月销售这种纪念品获利多少元?
[分析]以“销售量增加20件”建立等量关系为：5月份销售量=5月份销售量-20。其中，5月的营业额为（2000+700）元。设该种纪念品4月份的销售价为x元，则5月份的销售价为0.9x元。
解：（1）设该种纪念品4月份的销售价为x元。根据题意，得
解得：x=50
经检验：x=50是原方程的根
答：该种纪念品4月份的销售价格是50元。
（2）由（1）知4月份销售件数为 =40件，所以四月
份每件盈利 =20元。5月份销售件数为40+20=60件，
且每件售价为50×0.9=45，每件比4月份少盈利5元，为15元，所以5月份销售这种纪念品获利60×15=900元。
答：5月份销售这种纪念品获利900元。
例3为迎接扬州烟花三月经贸旅游节，某学校计划由七年级（1）班的3个小组（每个小组人数都相等）制作240面彩旗。后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务，这样这两个小组的每一名学生就要比原计划多做4面彩旗。如果每名学生制作彩旗的面数相等，那么每个小组有多少学生？
[分析]以“每一名学生就要比原计划多做4面彩旗”建立等量关系为：每名学生计划工作量－每名学生实际工作量=4。设每个小组有x名学生，则原来共有3x名学生，现在共有2x名学生。
解：设每个小组有x名学生。根据题意，得
解得：x=10
经检验：x=10是原方程的根
答：每个小组有10名学生。
例4去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务。问原计划每天修水渠多少米？
[分析]若以“提前20天完成修水渠任务”建立等量关系，则关系为：计划修水渠天数=实际修水渠天数+20。设原计划每天修水渠x米，则实际每天修水渠1.8x米；若以“实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍”建立等量关系，则关系为：实际每天修水渠长度=1.8×计划每天修水渠长度。设计划用x天完成修水渠任务，则实际用了（x-20）天完成修水渠任务。
解法一：设原计划每天修水渠x米。根据题意，得
解得：x=80
经检验：x=80是原方程的根
答：原计划每天修水渠80米。
解法二：计划用x天完成修水渠任务。
解得：x=45
经检验：x=45是原方程的根
答：原计划每天修水渠80米。
例5（2010江苏淮安）玉树地震后，有一段公路急需抢修，此项工程原计划由甲工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天，求乙工程队独立完成这项工程需要多少天。
[分析]本题中没有可用的关键句来建等量关系，但是却有一个固有的关系，就是：甲工程队4天的工作量+甲、乙工程队合作6（20-10-4=6）天的工作量=工作总量，其中工作总量为1。
解：设乙工程队独立完成这项工程需要x天。根据题意，得
解得：x=12
经检验：x=12是原方程的根
答：乙工程队独立完成这项工程需12天。
例6（2010山东淄博）小明7：20离开家步行去上学，走到距离家500米的商店时，买学习用品用了5分钟，从商店出来，小明发现要按原来的速度还要用30分钟才能到校．为了在8：00之前赶到学校，小明加快了速度，每分钟平均比原来多走25米，最后他到校的时间是7：55．求小明从商店到学校的平均速度。
[分析]本题不能用“每分钟平均比原来多走25米”这个关键句建立等量关系，而是用固有关系：商店到学校路程÷实际速度=实际用时。设小明原来的平均速度为x米/分，则从商店到学校的路程为30x米，实际平均速度
为（x+25）米/分，前500米用时为 分，实际
时间为（55－20－5－ ）分。
解：设小明原来的平均速度为x米/分。根据题意，得
解得：x＝50
经检验：x＝50是原方程的根
50＋25＝75
答：小明从商店到学校的平均速度为75米/分．
例7（2010四川绵阳）在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等。则该冲锋舟在静水中的最大航速是多少？
[分析]本题以“时间相等”建立等量关系，关系为：顺流航行时间=逆流航行时间。设冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时，则冲锋舟顺流最大航速为（x＋10）千米/时，逆流最大航速为（x－10）千米/时。
解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时。根据题意，得
解得：x＝40
经检验：x＝40是原方程的根
答：该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时。
分式方程应用题范文第8篇
一、结合现实生活 提升学生思维能力
初中数学知识点较为抽象，因而要锻炼学生发散性思维并非简单事情。特别当前很多学生都十分抗拒枯燥乏味的公式，此时如果教师不运用科学教学方式则会加剧学生厌烦心理，甚至部分学生会产生放弃学习数学的念头。对此，教师可以从生活角度拉近学生和所学知识之间的距离，因为现实生活中有很多隐藏的数学知识，将数学教材案例渗透到生活中可以帮助学生更好地理解所?W知识，调动学生参与数学学习的积极性。例如，数学教师常在教学中举以下案例，即“大家在生活中都会运用手机和其他人取得联系，为了帮助用户节省花费，很多通讯公司都向客户推荐以下几种套餐，大家可以对比分析以下哪种套餐更为合适？”其中A套餐月租0元，每分钟通话费用为0.7元，B套餐为月租20元，每分钟通话费用为0.3元。如果一个月通话时间维持在200分钟之内，对于上述两种套餐选择哪种更为合适？这种教学方式能促使学生全身心投入到学习当中，从而可以更好地培养学生发散性思维能力。
二、创新教学方法 鼓励学生积极创造
教学实践证明，传统一言堂教学已不符合社会发展趋势和学生需求，进而就无法达到提高学生思维能力的目的。如果教师想要培养学生发散性思维就要不断创新教学方法，活跃课堂氛围。再加上我国信息技术因经济水平的提升而得以高速发展，很多学科开始广泛应用动画、视频、图文等多媒体技术，最大限度调动学生参与积极性。以“图形的旋转”一课为例，由于学生想象空间十分有限，因而对中心对称和轴对称等旋转方式无法充分理解，正是因为这一弊端而影响对学生发散性思维能力的培养。对此，数学教师就可借助视频和图片方式较好地展现多样化旋转。即运用多媒体课件展示如大风车和风扇等和学生现实生活有着密切联系的图形，为加深学生印象还可运用视频展现其动态转动视频，让学生想象风扇和大风车两种物件旋转的共同点。而学生了解具体实物后就能理解旋转含义，教师再顺势引入图形旋转等深层次教学，充分发挥学生想象力。从上述教学方式得知，运用多媒体技术开展教学能让学生得到更多想象空间，降低所学知识难度，达到培养学生发散性思维的目的。相关教育学者曾明确指出：发散性思维需要和丰富的想象相结合。在培养学生发散性思维能力时应鼓励学生积极创新，促使学生弃旧图新，形成良好分析问题和解决问题能力的同时提高数学教学质量，促进学生全面发展。
三、设计开放例题 促进学生思维发散