探索勾股定理

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探索勾股定理范文第1篇

一、知识目标

1.了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程。

2.掌握直角三角形中三边的关系。

二、数学思考

在勾股定理的探索过程中,发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。

三、解决问题

1．通过探究勾股定理的过程，体验数学思维的严谨性。

2．在探究活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探究的结果。

四、情感态度目标

1．通过对勾股定理历史的了解，激发学生爱国热情，激励学生奋发学习。

2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。

【重点难点】

重点：探索和证明勾股定理。

难点：用拼图的方法证明勾股定理。

【设计思路】

本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生动手、动脑、动口自主探索，并强调学生之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。

【教学流程安排】

活动一：了解历史，探索勾股定理

活动二：拼图并证明勾股定理

活动三：例题讲解，巩固练习

活动四：反思小结，布置作业

活动内容及目的：①通过了解勾股定理的历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图，得到直角三角形的性质――勾股定理，发展学生分析问题的能力。③通过例题和练习，熟悉和掌握勾股定理。④回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。

【教学过程设计】

【活动一】

(一)问题与情境

1、你听说过“勾股定理”吗？

(1) 我国著名的《周髀算经》中记载有“勾广三，股修四，径隅五”。

(2) 西方国家认为勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，称它为“毕达哥拉斯定理”。

2、相传在2500年以前，毕答哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某些特性。

（1）现在请你也观察一下，你能发现什么？

（2）你能找出图中三个正方形A、B、C面积之间的关系吗？

（3）图中A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?

（4）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？

（二）师生行为

教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。

学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等方法，阐述自己发现的结论。

（三）在本次活动中教师应重点关注：

1、学生能否将实际问题（地砖图形三个正方形围成的一个直角三角形）转化成数学问题（探索直角三角形的三边关系）。

2、学生能否准确挖掘图形中的隐含条件，计算各个正方形的面积

3、能否用不同的方法得到大正方形的面积，引导学生正确地得出结论。

【活动二】

问题与情境

（1）以直角三角形的两直角边a,b为边拼两个正方形，你能拼出来吗？

（2）图1、图2面积分别怎样来表示，它们有什么关系呢？

图1图2

分析：两个正方形边长相等，则它们的面积相等。

图1：S=4× ab＋c2图2：S=（a+b）2

则 4× ab＋c2=（a+b）2

化简可得勾股定理。

（二）师生行为

教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接。

学生展示分割、拼接的过程

学生通过图形的拼接、分割，通过数学的计算发现结论。

教师引导学生通过图1、图2的拼接（FLASH课件演示拼接动画）让学生发现并验证结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

（三）在本次活动中教师应重点关注：

1、学生对拼图的积极性。2、学生能否进行合理的分割，能否通过拼图活动获得数学结论。3、学生能否通过已有的数学经验来验证发现结论的正确性。

【活动三】

问题与情境

例1、甲船以10海里/小时的速度从港口向北航行,乙船以20海里/小时的速度从港口向东航行,同时行驶3小时后乙遇险，甲调转航向前去抢救，船长想知道两地间的距离，你能帮忙算一下吗？

例2、求如图所示(单位:mm)矩形零件上两孔中心A和B的距离.

练习

在RtABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c (1)已知∠C是Rt∠,a=6,b=8,则c=（ ）

(2)已知∠C是Rt∠,c=25,b=15,则a= （ ）

(3)已知∠C是Rt∠,a=3,c=4,则b=（ ） (4)已知∠C是Rt∠,a:b=3:4,c=25,则b=（ ）

（二）师生行为

教师提出问题,学生思考、交流，解答问题。教师正确引导学生运用勾股定理来解决实际问题。

（三）在本次活动中教师应重点关注：

学生能否用勾股定理来解决实际问题，语言表达是否规范。

【活动四】

（一）问题与情境

1、通过本节课你学到哪些知识？有什么体会？

2、布置作业

①通过上网收集有关勾股定理的资料，以及证明方法。

②P77习题1、2、3题

（二）师生行为

教师以问题的形式提出，让学生从知识、技能、数学思考等方面加以归纳、总结，进行自我评价。

（三）在本次活动中教师应重点关注：

探索勾股定理范文第2篇

一 、勾股定理的证明

例1 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图1,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到A B'C'D'的位置,连接CC',设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.

证明: 四边形BCC'D'为直角梯形,

S梯形BCC'D'=(BC+C'D')•BD'=.

RtABC≌RtAB'C',∠BAC=∠B'AC'.

∠CAC'=∠CAB'+∠B'AC'=∠CAB'+∠BAC=90?

S梯形BCC'D'=SABC+SCAC'+SD'AC'

=ab+c2+ab=.

=.a2+b2=c2.

说明:在近几年的中考试题中,考查勾股定理证明的试题有增强的趋势,主要是利用图形面积之间的关系证明勾股定理,一方面增进了同学们对证明勾股定理的数学史的了解,另一方面这类试题对培养同学们的探索精神也大有裨益.

二、勾股定理在计算中的应用

例2 如图2,在ABC中,∠CAB=120B=4,AC=2,ADBC,D是垂足.求AD的长.

解:过C作CEBE交BA的延长线于E,

AC=2,AE=1.

在RtACE中,由勾股定理得:

CE2=AC2-AE2=3,CE=,

在RtBCE中,由勾股定理得:BC2=CE2+BE2=28,

BC=2.SABCA=AB说明:当所给的图形有直角三角形时,我们可想到勾股定理的应用.

三、勾股定理的实际应用

例3如图3, 一架长5米的梯子 ,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识,论证你的结论.

解:是.证明如下:

在RtACB中,BC=3,AB=5,

根据勾股定理得AC==4米.

DC=4-1=3米.

在RtDCE中,DC=3,DE=5,

根据勾股定理得CE==4米.

BE=CE-CB=1.即梯子底端也滑动了1米.

说明:在用勾股定理解决实际问题时,关键是根据题意画出图形,把实际问题抽象成数学模型,然后运用勾股定理等解决,必要时还要用到方程(组)的方法求解.

四、与勾股定理有关的探索题

例4 图4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①、②、③、④、⑤、…,则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________.

解:观察图形可知①对应斜边长为,②对应斜边长为,③对应的斜边长为,……,第n个对应斜边长为.

五、勾股定理逆定理的应用

例5 已知a,b,c为ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状.

解: a2c2-b2c2=a4-b4 ,

c2( a2-b2)=( a2+b2) (a2-b2).

(1)当a2-b2≠0时,化简后得c2=a2+b2 ,

ABC是直角三角形.

(2)当a2-b2=0时,a=b, ABC是等腰三角形.

说明:本题结合因式分解的知识,综合考查了提公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的逆定理,同时还考查了等式的性质2:在等式两边不能同时除以一个可能为0的数,这往往是我们最容易忽视的地方,应引起大家的注意.

六、与勾股定理有关的创新题

例6 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图5所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=________.

分析:根据已知条件可知AC=EC,∠ABC=∠CDE=90CB+∠ECD=90伞CD+∠CED=90浴CB=∠CED,这样可得ABC≌CDE,所以BC=ED,

在RtABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

由S1=AB2,S2=DE2,AC2=1,所以S1+S2=1.

探索勾股定理范文第3篇

                 灵宝市一中   魏金旦

对于复习课我们总是有这样的困惑，知识内容多，习题多，很难在一节课的时间内完成，怎样提高复习课的效率呢？下面结合勾股定理复习课例来谈谈我的认识。

第一个环节知识回顾：将独立的知识点串成线，连成片，结成网；并体会各知识之间的联系，辨析各个知识之间的本质和联系。展现形式：知识树或表格。知识树或框架图能够全面的展现本章内容及知识脉络；表格能够更好地反映知识间的区别于联系。本章主要是勾股定理及逆定理，重点加强两者的对比与联系，我选择了表格这种方式。

    第二个环节基础巩固：这一环节所选题目紧扣本章的知识点，学生完成困难不大，所以让学生独立完成之后对答案，个别问题组内解决，个别抽查，学生人人过关。

通过对勾股定理几何意义的探索，让学生体会数学美和数形的完结合。

第三个环节是综合运用，我设置了三个问题。

1.勾股定理的几何意义

通过对勾股定理几何意义的探索，让学生体会数学美和数形的完美结合，也增强学生的探究意识和归纳概括能力。

2、勾股定理与特殊三角形

这一问题的设置打破了我们以往分类别展示习题的复习方式，而是将复习巩固与方法探究结合在一起，这样设计的目的有两个：（1）通过计算可以总结出利用勾股定理求边长时通常会遇到两种情况，已知两边可直接用勾股定理计算，已知一边要考虑设未知数。而这两种方法贯穿于本章始终，有了这样的两个基本方法，解决勾股定理的问题就不再是问题，从而起到四两拨千斤的作用。（2）通过计算我们可以看出在30°，45度的直角三角形中三边之比总是定值，可见已知任意一条边都可以求出第三条边。这一结论为学生计算特殊三角形的边长提供了快捷的方法。勾股定理复习课我们希望达到的目标是能够熟练使用定理解决三角形三边关系，这一点在第一部分已经基本解决。

3.勾股定理应用

数学来源于生活又服务于生活，用数学是我们的重要目标。而勾股定理的应用更是无处不在，但万变不离其踪，关键是进行数学建模，通过例题3的讲解，学生能够从实际问题中抽象出几何图形，并利用勾股定理来解决，目标很好地实现。

为了让学生形成一定的数学思维，培养学生的探究欲望，紧接着又设计了第四个环节——拓广探索：

已知三角形的三边长度，你能否求出这个三角形的面积？这一个问题在新课的学习中并没有出现，因此可以算是知识的发展延伸，抛弃了传统的老题目，对学生更有吸引力。同时这一问题给学生提供了不同的可能性，能满足不同层次学生的需要，最低要求，直角三角形以及一些特殊的如等边三角形，等腰三角形应该不难求出；较高层次的要求，对于一般的三角形也能通过构造直角三角形的方法，借助方程思想求出高从而求出面积。

     问题的开放性让这一节课充满了曲折，形成了大量了交流讨论，创造了精彩；最后，学生形成了一个认识，任何三角形只要知道三边是肯定可以求出面积的，这是一个新知识，但是对照我们一开始定下的复习目标，在这个过程中全部都有涉及，目标达成。最重要的是，这种发展延伸知识的过程对学生今后的学习指导意义。

最后进行课堂小结：通过知识树将本节课从知识、方法、数学思想三个大的方面进行总结。使整个章节从“厚”到“薄’,让学生有一种“一览众山小”的成就感。

  

结束语：数学应该是清清楚楚一条线，而不是模模糊糊一大片。在课堂上抓住两条线，一是知识线，二是方法线，无论再多的题型都是形散而神不散。知识加方法，难题都不见。

课后反思：

探索勾股定理范文第4篇

[关键词] 数学史；勾股定理；教育价值

数学史对于数学教育的价值已不仅仅停留在理论层面的讨论. 翻阅近两年的数学教育类杂志可以发现，越来越多的中小学数学教师也在撰文阐述自己在教学中使用数学史的一些体会和教学案例. 在课程改革不断深入的当下，数学史融入数学教学对于践行课改的理念，培养全面发展有理想、有道德的高素质数学人才等方面确实有着积极的推进作用. 本文将给出一个基于数学史的勾股定理教学设计思路，旨在抛砖引玉，期待一线教师在不断加强自身数学史修养的同时，开发出更多基于数学史的优秀教学案例.

提出问题

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 此定理在西方叫做毕达哥拉斯定理，相传，这是由古希腊数学家毕达哥拉斯及其徒众发现的，后人更渲染其事，说毕达哥拉斯诸人十分重视这项发现，特地宰了一百头牛向天神奉献答谢，所以中世纪时这条定理被称作“百牛定理”. 在历史上，这条定理的名称特别多，在不同时代、不同地区都有不同的名称，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右编写了著名的经典之作《几何原本》，其中一个定理就是毕达哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”

接下来的这个定理是毕达哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.”

这两个定理合起来说明了直角三角形a，b，c三边的平方和关系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对勾股定理有了明确认识. 勾股定理从发现到现在已有五千年的历史，在西方，它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国人晚了几百年. 勾股定理是把直角三角形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合思想.

定理的证明

在新课程人教版教材（八年级下册）中，先是引用毕达哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中国古代数学家赵爽的“弦图”证明了勾股定理. “弦图”是以弦为边长的正方形，在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边长为弦. “弦图证法”是依据“出入相补原理”，根据“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理的. 赵爽的“弦图证法”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，正因如此，这个图案被选为2002年北京召开的国际数学家大会会徽.

[图1]

引导学生探索其他解法

上述是我国古代数学家赵爽的“弦图”证法，即利用“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理. 这一方法给我们一定的启示，即围绕面积相等这一条，把原图形拆成几部分，然后根据面积相等实现定理的证明. 教师可以提示学生围绕这一观点，探索其他证明方法，学生提供的证法有可能和历史上大数学家的证法一致.

历史上的经典证明方法展示

发现勾股定理迄今已有五千年，五千多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理，几千年来，人们给出了勾股定理的许多证法，有人统计，现在世界上已找到四百多种证法，下面列举其中具有数学思想的一些代表性证明方法. 如（1）欧几里得《几何原本》的证法；（2）比例证法；（3）另一种弦图证法；（4）总统证法；（5）帕斯卡拉二世的证明；（6）毕达哥拉斯的证法；（7）旋转证法. 限于篇幅，这些证明方法的证明过程在本文中省略不写.

基于上述分析，不难发现，历史上的勾股定理证明方法很多，据统计，有400多种，向学生展示不同的证明方法有很多益处，具体表现在：首先，给出勾股定理的多种证法，并非是比较证法之优劣，而是为了丰富教与学的内容知识，这也是数学史融入数学教学重要的功能之一. 其次，通过比较、分析各种证法的特色，可以让教师和学生在教与学上有所比较，以达到取长补短. 通过分析各种证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我“历史诠释”. 再次，历史上的勾股定理证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中，若以历史文本为师，适时引入古人的原始想法，撷取前人的智慧，乃至前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. 最后，基于数学史数学教学所追求的目标之一，正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣，因此，数学历史文本中的任何地方可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.

问题的推广

下面我们换个角度看勾股定理，定理会变成什么样呢？

推广一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度的平方之和.

（2）直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形.

（3）直角三角形直角边上两个正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积.

推广二：“出入相补”原理的应用

所谓“出入相补”原理，是指一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变. 综观历史上有关勾股定理的证明方法，许多证法都是利用这一原理进行的，只是图形的分合移补略有不同而已. “出入相补”原理是我国古代数学家发明的一个证明几何图形面积和体积的非常重要的方法，下面，我们通过比较两个证明来说明某些问题.

赵爽和达・芬奇的证明方法（如图2所示）：

[图2：勾股定理的两种几何证明]

问题：这两种方法的联系是什么？

解答：如图3所示.

[图3：两种证明的联系]

可以看出，赵爽和达・芬奇对勾股定理的证明都使用了“出入相补”原理. 这两种来自不同时期、不同地域的方法背后有着更本质的联系，正因为这种本质联系，让我们找到了更多类似的证明方法. 它也展示了数学内部的一种联系. 正如韦尔斯在《数学与联想》一书中所说的：“这就是为什么数学强有力的一个理由. 数学家发现，两个表面不同的问题实际上是相同的，因此他只要解决一个也就解决了另一个. 认识到一百万个问题‘实质上’都是相同的，因此，你只要解决一个就解决了一百万个. 事实上，这就是力量！”我们的数学读本，应该多多向学生介绍这方面的内容，让学生感受这种力量，去认识事物之间的联系.

推广三：把直角三角形三边上的正方形改为一般的直线形

若把以直角三角形为边长的正方形改为一般的直线形，勾股定理就推广为：直角三角形斜边上的直线形（任何形状）的面积，等于两条直角边上与它相对应的两个相似的直线形的面积之和（如图4所示）.

[图4]

推广四：把直角三角形三边上的直线形改为曲边形

若把直角三角形三边上的相似直线形改为三个半圆，勾股定理就推广为：以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作半圆的面积和. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广：（习题18.1“拓展探索”问题11）：如图5所示，直角三角形三条边上的三个半圆之间有什么关系？

[图5][2][1]

若把上述斜边上的半圆沿斜边翻一个身，此时显然有“1和2的面积之和等于直角三角形的面积”. 其实这个结论早在公元前479年就已经由古希腊数学家希波克拉底得到，因1和2部分状如弦月，故称“希波克拉底月形”. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广（习题18.1“拓展探索”问题12）：如图5所示，直角三角形的面积是20，求图中1和2的面积之和.

推广五：勾股定理与费马大定理

勾股定理是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，写出公式就是a2+b2=c2. 丢番图的名作《算术》（第2卷问题8）中有一个与勾股定理类似的问题：将一个已知的平方数分为两个平方数. 丢番图在《算术》中以实例形式给出了这一问题的解答. 之所以在此独独提到丢番图的这一问题，是因为，大约16个世纪以后，正是在这一问题的启发下，费马在其旁白处写下了一段边注，从而诞生了一个让整个数学界为之苦思冥想了三百多年的问题. 费马在阅读巴歇校订的丢番图《算术》时，做了如下批注：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和. 我已找到了一个奇妙的证明，但书边太窄，写不下. ”1670年，费马之子萨谬尔连同其父的批注一起出版了巴歇校订的书的第二版，遂使费马这一猜想公之于世. 费马究竟有没有找到证明已成为数学史上的千古之谜. 从那时起，为了“补出”这条定理的证明，数学家们花费了三个多世纪的心血，直到1994年才由维尔斯给出证明.

推广六：勾股数

不言而喻，所谓勾股数，是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数（a，b，c），它们满足a2+b2=c2. 那么如何寻找更多的勾股数呢，方法如下.

1. 任取两个正整数m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数.

2. 若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下方法确定另两个数：首先观察已知数是奇数还是偶数.

（1）若已知数是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数.

（2）若已知数是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1和加1所得的两个整数与这个偶数构成一组勾股数.

练习题：限于篇幅，仅列一题.

练习题 今有立木，系索其末委地三尺，引索却行去本八尺而索尽，问索长几何？（该题出自南宋杨辉《详解九章算法》，公元1261年）

现代文翻译：有一根直立的木头，一条绳索系在它的顶端. 已知这条绳索比木头长3尺，现在向后紧拉绳索，使它的另一端着地，这时绳索与木的距离为8尺，问这条绳索的长为多少？

原书“术”曰：“以去本自乘，另如委数儿一，所得加委地数而半之，即索长.”

探索勾股定理范文第5篇

关键词： 空间面积勾股定理 射影面积公式 三棱锥体积公式

空间面积勾股定理：如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面积分别为S、S、S，底面面积为S，那么S+S+S=S.

在这个关系式中，蕴藏着丰富的几何元素间的关系，既有明显的三角形面积关系，又隐含着三角形的边、高、角等关系.因此，定理不仅有着广泛的运用，而且结合三棱锥体积公式、射影面积公式、三角形面积公式，能使解题思路自然，简洁明快，表达利落.下面举例说明.

1.求距离问题

例1：已知三棱锥P-ABC的三个侧面互相垂直，它们的三个侧面面积都是2，求P到平面ABC的距离.

解：易知PA、PB、PC两两垂直，设PA=a，PB=b，PC=c，则

ab=4ac=4bc=4?圯（abc）=4×4×4?圯abc=8

V=V=×abc=

由空间勾股定理得S+S，得：S=2.

又设P到平面ABC的距离为h，由三棱锥体积公式得：

×2h=

h=

此法有三巧：求体积，设而不求，妙不可言；求面积，直截了当，干脆利落；求距离，避繁就易，简捷明了.

例2：如图1，在长方体ABCD-ABCD中，AA=a，AB=b，AD=c，求相邻两面内对角线AC与BC1的距离.

解：连AD、DC，则BC∥平面ADC，则点D到平面ACD的距离h即为两异面直线AC与BC的距离.由空间勾股定理得：

S=

又V=V=abc，由三棱锥体积公式得：

h×=abc

故h=

此法妙在：“不割不补，实为割补”.从整体，看部分，智求体积.

2.求角的问题

例3：三棱锥S-ABC的三条棱SA、SB、SC两两垂直，且SA=SB=a，SC=2a，求二面角S-BC-A.

解：设所求二面角S-BC-A为θ，由空间勾股定理得：

S==a，由射影面积公式得：

cosθ===.所求二面角为arccos.

此法优点：求面积快速简捷，过程精练；求角度，化难为易，立竿见影.

例4：如图2，两全等矩形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，且AB=a，BC=b，求异面直线AC和BF所成的角.

解：以矩形ABCD为底面，矩形ABEF为侧面，作长方体ABCD-FEHG，连CG，则CG∥BF，∠GCA为两异面直线AC与BF所成的角.

由空间勾股定理得：

S=S+S+S

即S=（b）+（ab）+（ab）

S=b，由三角形面积公式得：

AC•CG•sin∠ACG=S，即••sin∠ACG=b，

sin∠ACG=，

故异面直线AC和AF所成的角为arcsin.

此法特点：补全图形，由部分看整体，一目了然.

3.求证几何元素间的关系问题

例5：三棱锥V-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面与底面所成的角分别为α、β、γ，求征： cosα+cosβ+cosγ=1.

证明：由空间勾股定理可知：S=S+S+S.

又由射影面积公式得：cosα=，cosβ=cosγ=.

cosα+cosβ+cosγ===1.

此法技巧：“死图活看”，巧用射影面积公式.

例6：设三棱锥S-ABC，其侧棱长分别为a、b、c，且三条侧棱两两垂直，由其顶点S到底面的高为，求证：=++.

证明：由空间勾股定理得：S=

又V=abc

由V=V，得•h=abc.

h（ab+ac+bc）=abc，即=++.

此法技巧：“优选底面”，灵活选择底和高.

4.求最值问题

例7：如图3，在平面α内有一个以AB为直径的圆，AB=2a，C为圆周上任意一点，PCα，且PC=a，求C在圆周上哪一位置时，PAB面积最大？

解：设AC=x，则BC=，由空间勾股定理得：

S=（ax）+（a）+（）

=-x+ax+a=-（x-2a）+2a，

当x=2a即x=a时，S最大，也就是当AC=时，（S）=a.

此法优点：利用定理，求表达式，轻而易举.

例8：如图4，过球面上任一点M作互相垂直的三条弦MA、MB、MC，球的半径为R，AB=a，

解：设MB=x，则MA=，又MA+MB=AB，

MC+AB=4R，MA+MB+MC=4R，

即MC=4R-MA-MB=4R-（a-x）-x=4R-a，

由空间勾股定理得：S=S+S+S，

S=（MA•MB）+（MB•MC）+（MA•MC）

=（a-x）x+x（4R-a）+（a-x）（4R-a）

=-x+ax+aR-a

=-（x-a）+aR-a

当x=a即x=a时，S=a.

有趣的是不管M点在小圆上怎样运动，此题蕴含两个定值问题：

探索勾股定理范文第6篇

关键词：数学教学；《勾股定理》；课堂教学实录；教师；学生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）09-0109

教学内容：浙教版《义务教育课程标准实验教科书・数学》八年级上册第二章第六节第一课时。

一、教学目标

1. 经历动手操作、实验观察、归纳猜想、验证等探索勾股定理的过程，培养学生探索能力，发展学生数形结合的数学思想方法；2. 在探索勾股定理的教学中，坚持育人为本、德育为先，促进学生的全面发展；3. 通过探究勾股定理的正确性及数学史的介绍，让学生感受勾股定理的辉煌成果。

二、教学重点与难点分析

1. 重点：体验勾股定理的探索过程。2. 难点：用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，因既具严密性，又具直观性，对于八年级学生的认知特点与已有知识基础学生较难理解。

三、学情分析

八年级的学生已经具备一定的观察、猜测、归纳、推理和找规律的能力，但将发现的规律用于任意一个直角三角形三边数量关系时，因测量的误差，产生思维冲突，学生不知所措。虽然学生在七下已接触过用几何图形的截、割、拼、补来证明乘法公式，但因其既具严密性，又具直观性，学生较难想到用面积法证明代数式之间的恒等关系。

四、教学准备

学生：每一合作小组课前制作四个全等的直角三角形（非等腰直角三角形）硬纸片。

教师：制作多媒体课件和准备边长1厘米的方格纸（全班每人一张）

师：这是一幅其他星球的图片，人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“外星人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？

生：发送一些信息。

师：我国数学家华罗庚曾建议发射“勾股定理”

图为与“外星人”联系的信号。华罗庚为什么会想到用“勾股定理”的图作为一种“语言”与“外星人”联系呢？学了这节课就能明白其中的道理了，先让我们一起来观察“勾股定理”图是由哪些图形组成的。

生：三个正方形与一个直角三角形组成。

师：从这图中还能发现什么吗？

生：三个正方形的边长分别与这个直角三角形的边长相等。以两直角边长为正方形的格子数之和恰好等于以斜边长为正方形的格子数。

师：很好，你非常善于观察，刚才发射勾股定理的图是不在同一张方格纸中研究的。现我们将借助同一张方格纸来探究正方形C的面积是否为25cm2。

师：拿出学习单，图中是在边长为1厘米的方格纸上， 以直角

三角形的三边长分别向外作正方形，如右图所示，试探索正方形C面积是否为25cm2（每组至少讲出两种方法并与其他组的同学交流）。

（学生讨论剧烈，三分钟后）

师：请借助实物投影仪展示你组内的方法。

生1：法一，测量出正方形C的边长为5cm，面积为25cm2；法二，以正方形的一个顶点为圆心、以正方形的边长为半径画弧，弧恰好经过某一格点且与这一顶点距离恰好为5cm。

师：很棒，通过测量与作图是发现问题的很好手段，还有其他方法吗？

生2：如图二，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， SC=4×■×3×4+1=25。

生3：如图3，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积， SC=72-4×■×3×4=25。

师：刚才两位同学用了割与补的方法，这是求面积的常用方法。

生4：如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，SC=2×4+5=13。

师：这组同学真得很善于思考，用截与拼的方法将周围部分适当拼接可拼成一个正方形以便求出面积。

师：请你们整理一下思路，在求正方形C的面积时用了哪些方法。

生齐：测量、割、补、截拼数的方法。

师：通过刚才的研究我们发现图中三个正方形A，B，C的面积（生：SA+SB=SC）

师：还能发现什么？

生：两直角边的平方和等于斜边的平方。

师：是否所有的直角三角形三边都具有这种数量关系呢？我们该如何研究呢？

生：我们可以通过画很多直角三角形，然后测量出三边长后，猜测出三边关系。

师：猜测的确是发现真理的很好途径。华罗庚先生曾指出：“形少数时难入微”，我们先从最简单的三组整数边长来寻找直角三角形的三边数量关系，拿出学习单，借助方格纸画好满足条件的三个直角三角形并将表格补充完整。

师：符合刚才发现的规律吗？

生：符合。

师：很好，刚才我们是通过特殊的三个例子符合刚才发现的结论，我们都知道这种特殊的例子不具有代表性，因此，我们要任意画一个直角三角形去通过测量看是否符合我们刚才所得到的结论。

生：两直角边的平方和与斜边的平方近似相等。

师：谁能说说其中的道理吗？

生：因为测量存在误差。

师：是的，我们仅凭实验得出的结论不一定可靠。

师：那你知道怎样得出的结论一定是正确的。

生：通过推理得到的结论一定是正确的。

师：你这种严谨的学习态度值得我们学习。下面我们通过什么方式来推断此结论是否正确。

（学生陷入思考，师引导学生）

师：请大家回想，平方差公式是如何验证的。

生：通过拼图来验证结论是否正确。

师：拿出课前准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c），怎样拼，能验证a2+b2=c2。

生：若能拼一个含有以斜边c为边的正方形，就能得到c2。

师：请将拼好的正方形贴到黑板上，有不同拼法的小组也到黑板上展示，同时，教师将拼成的图形画在黑板上，并请两位同学写出推理过程，其他同学在草稿纸上写出推理过程。

师：像这种用推理的方法判断直角三角形三边数量关系为正确的命题为定理，古人称这一为定理为勾股定理。

师：请大家整理一下思路，我们怎样研究一个命题是否是正确的。

生：先由特殊的三组数，通过画图、测量得到猜想，再借助拼图，通过同一图形面积的两种不同求法进行推理验证得到。

师：“先猜、后证”就是大多数科学家的发现之道。

师：请你结合图形语言、文字语言、写出直角三角形三边数量关系的符号语言。

生：∠C=90°，a2+b2=c2或AC2+BC2=AB2。

师：是不是直角三角形的三边是否也具有这种关系呢？在方格纸上画一个锐角或钝角三角形测量三边是否具有这三种关系？

生：只有直角三角形的三边长才具备这种数量关系。

师：研究直角三角形三边的数量关系是我国早在三千多年前，周朝数学家商高就已提出，请看数学书第38页，一起读。

师：教师在课前也找了些关于勾股定理的数学史，请看幻灯片。

师：你知道现在数学界为什么把它称为勾股定理了吧？

生：因为我国发现最早。

师：现在你明白华罗庚为什么会想到用“勾股定理”的图作为一种“语言”与“外星人”联系的道理了吧？其实，刚才在验证勾股定理时，你们拼的图就是三国时期吴国的数学家赵爽创制的“勾股圆方图”又称“弦图”。幻灯片出示：

师：你们也当了一回小小的数学家。

探索勾股定理范文第7篇

【关键词】 勾股定理；思维之门；形数统一史话定理

在古代，许多民族发现了这个事实即直角三角形的三条边长为a，b，c，则a2+b2=c2。其中a，b是直角边长，c为斜边长。我国的算术《周髀算经》中，就有关于勾股定理的记载，为了纪念我国古人的的伟大成就，就把这个定理定名为“勾股定理”或“商高定理”。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。

实题演练

【例1】已知直角三角形斜边长为2，周长为2+6，求其面积

【分析】欲求直角三角形的面积，只需求两直角边之积，而由已知可得两直角边之和为6，结合勾股定理又及其平方和为4，于是可用方程求解.

【解】略

【说明】此解法采用“设而不求”的技巧，应该体会并掌握之。

【例2】如图，已知：点P是等边ABC内的一点，∠BPC=150°，PB=2，PC=3，求PA的长.

【分析】将BAP绕点B顺时针方向旋转60°至BCD，即可证得BPD为等边三角形，PCD为直角三角形.

【解】略

【说明】本题的解法采用了旋转的方法，这是我们解题时常用的一种方法。本题着重考查了等边三角形的有关知识和勾股定理及逆定理.

【例3】(2006年长春中考)如图，在RtABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3。在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示。要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长。(请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形)

【分析】本题的解题重点应放在等腰三角形的腰的选择和相关直角三角形边长的确定上。

【解】

【说明】本小题6分，以上四个图中任意画其中两个，并标出三角形的三边长，每画对一个图得2分，正确标出边长得1分。很多考生在解本题时，并没有认真领会题目的意图，“在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，”而是将思维定格在RtABC的外部，仍用直角边长为 4和3的三角形去拼接，因而除了上解的第一种图外，再也想不出第二个图形来，从而将自己困在从不同位置进行图形拼接的迷宫里。

【例4】如图，一块长方体的长、宽、高分别为4米、2米、1米，现有一只蜘蛛在这块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，问蜘蛛要沿怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇?蜘蛛爬行的最短路程是多少?

【分析】因为A、G两点分别在长方体的两个平面内，不妨把两点所在两个面展开，置于同一平面内，其最短路线可在同一平面内确定.

【解】根据展开面不同，可分三类情况，如下图所示：

(Ⅰ)图(1)中，BG=1+2=3，AG=32+42=5(米)；

(Ⅱ)图(2)中，AF=4+1=5，AG=52+22=29 (米)；

(Ⅲ)图 (3)中，AC=4+2=6，AG=62+12=37 (米).

比较上述三种情况，如图(1)所示的展开方法所走的路程最短.即沿经过棱EF的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，最短路程是5米.

【说明】在求不同平面内的最短路线问题时，常用“降维”的方法将立体图形展开，然后，借助直角三角形运用勾股定理进行求解。

总的说来，勾股定理是数学中的伟大定理，它的应用范围是非常广泛的，它给人们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有生产技术和科学研究都离不开它；而且有许多发展目前还探索不够，说不上什么时候会出现创新出奇的崛起，它的前程未可估量。

探索勾股定理范文第8篇

【关键词】高中数学 类比推理 课例分析

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）11B-0097-02

“先行组织者”是美国教育心理学家奥苏贝尔在1960年提出的一个教育心理学的重要概念，“先行组织者”就是为同化当前知识与原有的认知结构而先于学习任务本身呈现的一种引导性的材料，它在教学中起到相当重要的桥梁作用。2003年教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出，倡导积极主动、勇于探究的学习方式。将“先行组织者”教学策略应用于数学教学中，适合学生认知结构的特点，有助于教师设计教学内容、安排教学顺序，有助于学生的自主学习、记忆保持、迁移运用。这一种教学策略，能够提高学生分析问题的能力和解决问题的能力，从而形成高效课堂。本课例是将“先行组织者”教学策略应用于n堂教学的实践，现将具体的教学过程呈现如下。

【学习目标】

1.了解类比推理的数学方法含义，以及这种思维方法的过程和特点；

2.运用类比方法进行简单推理，做出数学猜想；

3.培养学生的数学归纳能力，提高学生的创新探索意识；

4.培养学生严谨、创新的数学思维习惯和锲而不舍的钻研精神。

【重点难点】

重点：了解类比推理的含义以及数学中类比思维的过程、特点，能利用类比进行简单的数学推理。

难点：运用“观察―类比―猜想―证明”探求数学结论。

【课堂片段实录】

任务1：问题导思

阅读教材（普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-2），P25―27，在理解的基础上，完成下列知识点的填空。

1.鲁班由带齿的草发明锯；人们从蜻蜓的飞行过程发现直升飞机的飞行原理，仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇，在教学中由指数函数性质探索发现对数函数的性质。以上都是类比思维，即类比推理。

由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。简言之，类比推理是________的推理。

2.初中在平面几何中学习的勾股定理：如图 1 所示，在RtABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对的边，则用勾股定理表示为________。

任务 2：合作探究

例1 观察下列等式：

大家观察这组式子，他们有什么不同之处？从中可以发现什么规律？由此，你能归纳出 RtABC 中三个内角的一个性质吗？这个性质是不是与勾股定理有几分相似呢？你进而能证明所得到的结论吗？

【设计意图】以学生熟悉的两个式子为“先行组织者”，引入课题，通过探索和发现，激发学生学习的兴趣。创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学情境，让学生带着问题通过自主学习、课堂讨论、相互合作等方式，使学生在解决问题的过程中不知不觉地实现知识的传递、迁移和融合。

学生小组讨论、展示。

A 组的观点是：由诱导公式得，从而得到在 RtABC 中有；

B 组的观点是：因为，进而得到在 RtABC 中有。

教师：上面得到的结论与勾股定理在形式上是否相似？你能运用勾股定理来证明这个结论吗？

【设计意图】从归纳推理过渡到类比推理。

进入小组讨论。

C 组展示做法：由平面内直角三角形的勾股定理：，得，从而得到。

教师小结：大家能从勾股定理出发，用归纳、类比的方法找到相关的性质。其实与勾股定理类似的还有许多数学性质，例如设 a 边上的高为 ha ，b 边上的高为 hb ，c 边上的高为 hc ， 是否成立？

小组讨论后，用特例说明，令 a=3，b=4，c=5，则 ha=4，hb=3，，故结论 明显不成立。

D 小组认为：通过实验，等式可能成立，大家可以尝试利用勾股定理作出说明。

于是，又进入讨论环节，最终给出了这个性质的证明。

【设计意图】教师将“先行组织者”设计为勾股定理，设问采用渐进分化策略，降低思维难度，让学生体会归纳推理的一般步骤，进而让学生知道归纳推理能够起到提供研究方向的作用，给出探索的路径。学生积极主动地参与课堂活动（例如小组讨论的形式），体验归纳推理获得数学结论的过程，了解归纳推理的含义，明确归纳推理的一般步骤。

【平行训练】

（1）如图 2 左图所示，设长方形的长和宽分别为 x 和 y，则其对角线 l 的长为：l = ________。

（2）如图 2 右图所示，设长方体的长、宽、高分别为 x，y，z，则其体对角线 l 的长为：l =________ 。

【设计意图】基础训练，检查教学效果。练习题由浅入深，螺旋上升，逐步提高学生的思维能力。

通过讨论得到答案（1）；（2）。

由平行练习得到启发，我们可以将勾股定理从平面几何图形拓展到立体几何图形。

例2 （普通高中课程标准实验教科书《数学》选修 1-2，P26 例 4 改编）如图 3 ，在正方形中用直线截得一个 RtABC，同样在正方体中用平面截得一个三个侧面两两垂直的四面体。类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。

【设计意图】让学生通过观察、感知、分析和归纳，完成由易到难、由浅入深、由已知到未知、由特殊到一般的思维飞跃。思维提示：直角三角形中，∠C=90°，3 条边的长度为 a，b，c，其中 2 条直角边 a，b 和 1 条斜边 c 在 3 个侧面两两垂直的四面体中，∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°，4 个面的面积 ，， 和 ，其中 3 个“直角面”，， 和 1 个“斜面” 拓展：三角形到四面体的类比。

E 小组用比的思想方法得到猜想：

教师：这个结论正确吗？请同学们证明。

通过学习讨论，学生展示了这个性质的证明方法。

【课后评析】

在《普通高中数学课程标准》中，课程基本理念倡导自主学习、探索学习，指出“高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质，使学生理解数学概念产生的背景和逐步形成的过程，体会其中的思想，体验寻找真理和发展真理的方法”。数学既是演绎的科学，也是归纳的科学，因此，数学已形成一整套结论的体系，而且结论的发现过程也成为我们教学的主要内容。归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有探索、发现和猜测部分数学结论的作用，有利于学生创新意识的培养，在实际生活中用途很大。类比推理这节课是以新课标为依据，结合学校科研课题“在新课改背景下高中数学教学中先行组织者策略的实践与探索”进行课堂教学设计。

在中学数学教学过程中，我们常常会遇到似曾相识的问题，如果把似曾相识的问题进行对比和比较，或许会发现许多意外的结果和方法。这种“把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个数学对象的性质”的思维方法就是类比法。本节课通过归纳的方法引出问题，用类比的方法去发现新的数学性质，再用演绎的方法去证明。所提供的问题情境，需要探索性思维和整体性思维。通过学生的观察和类比，寻找论证方法，给学生提供施展才华、发展智慧的机会。

教学设计是以学生认知结构中“原有观念”――勾股定理作为“先行组织者”，用类比的方法去同化和迁移，学习类似的新的数学知识。例如，在同一平面内的类比，通过勾股定理的形式“”，类比得到内角的关系“”以及三边上高的关系“”。又如，从平面到空间的类比，利用长方形的对角线的长“”，推广到长方体对角线的长“”；由直角三角形三边的性质“”，拓展到四面体四个面的性质“”。每一次类比或推广，都是通过学生认知结构中已有的有关观念去同化和发现新知。