因数的定义

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因数的定义范文第1篇

1是公因数，质数的定义就是公因数只有1的两个数。公因数，亦称“公约数”。它是一个能同时整除若干整数的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。

小学数学定义：假如a*b=c（a、b、c都是整数），那么我们称a和b就是c的因数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。

（来源：文章屋网 ）

因数的定义范文第2篇

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数叫做质数；否则称为合数。

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。

因数，或称为约数，数学名词。定义：整数a除以整数b(b≠0)的商正好是整数而没有余数，b是a的因数。

事实上因数一般定义在整数上：设A为整数，B为非零整数，若存在整数Q，使得A=QB，则称B是A的因数，记作B|A。但是也有的作者不要求B≠0。

（来源：文章屋网 ）

因数的定义范文第3篇

一、将概念寓于情境之中，突出概念本质

数学概念教学时必须将概念寓于现实情境背景中，让学生通过活动亲身经历、体验数学与现实的联系，从中经历完整的学习过程，用方法组织和建立数学概念，这样建立起来的概念才具有丰富的内涵。

如在教学“平均分”这个概念时，就让两个同学做个游戏，我就问学生：“小朋友，你们知道小猴子最爱吃什么吗？”学生们回答：“桃子。”“对。瞧，今天猴子兄弟俩一块儿上山摘桃子了。你们看，他们一共摘了多少个桃子？”让学生甲、乙扮演猴兄弟俩，搀着一篮桃子入场。学生观察得出：“一共摘了8个桃子。”提问：“你认为怎么最公平分给猴兄弟俩呢？”让学生分组讨论后派代表亲自分一分，再引导学生说出：“把8个桃子平均分给2只小猴。”进一步提问：“你想提出什么问题？”引导学生说出：“每只小猴分得几个桃子呢？”于是出现四种结果：一人得1个，另一得7个；一人得2个，另一人得6个；一人得3个，另一人得5个；两个人各得4个。显然前三种分法，得到少的小猴不高兴了，我接着就问：“为什么前三种分法得到少的小猴不高兴了？”，然后引导学生观察讨论：第四种分法与前三种分法相比有什么不同？学生通过讨论，知道第四种分法每人分得的个数“同样多”，从而引出了“平均分”的概念。

二、借助感性经验，理解概念本质

在概念的教学中，弄清概念的内涵和外延，突出概念的本质特征是学生形成和掌握数学概念的关键，充分借助感性材料作铺垫，形成表象，因势利导，适时通过分析、比较、抽象、概括、弄清概念的内涵和外延，突出其本质特征。

例如，在教学分数意义的时候，定义中的单位“1”、“平均分成若干份”、“表示这样的一份或几份的数”，这个定义中首先要突破单位“1”这个内涵。单位“1”是指一个任何的物体，一个计量单位或是许多物体组成的一个整体。而单位“1”对小学生来说第一次接触这样的概念，是个十分抽象的数学概念，学生理解起来有一定的困难，但一定要突破这个难点。教学时我先借助几幅图，一个蛋糕、一个圆、一条线段、四个月饼组成的一个整体、六只小狗玩具组成的一个整体来讲解，告诉学生这些都可以看作单位“1”。再结合生活实际，同学们都看得到的，容易理解的事物来讲解。在生活中举例可以把全班同学看成一个整体，进而把一个小组甚至几个同学看成一个整体，让学生充分理解单位“1”的含义。其次要突破“平均分”这个内涵。什么是平均分？平均分就是每一份分得一样多。分母取决于分的份数即分成“若干份”，分子取决于表示其中的份数，可以是一份也可以是几份。教学时要尽量让学生通过动手操作或观察图例来体会“平均分”的含义，明确单位“1”可根据实际需要任意等分，在定义的剖析中再次将本质属性从定义中分离出来，学生就能准确地理解分数的定义。

同时还要适时出示一些不是平均分的实例或图例，让学生鉴别、比较，从中悟出把单位“1”分成若干份，不是平均分的一份或几份不能用分数表示。再次要突破“若干份”这个内涵。在教学中常常发现学生对于“若干份”不理解。若干本义是指任意的份数，但这里要强调至少要分两份或两份以上。这几个内涵都弄清了，那么分数的意义理解起来就容易多了。

三、将概念寓于探究活动中，领悟概念本质

在概念教学中，要善于为学生创造条件，引导他们通过观察、思考、探求概念的含义，沿着由感性认识到理性认识的认知过程去掌握概念。这样，可以培养学生在实验探究活动中领悟概念的本质。

如圆周率这个概念比较抽象。一般教师都是让学生通过动手操作认识圆的周长与直径的关系，学生通过观察、思考，分析。在课前，布置每个学生用硬纸制做一个圆，半径自定。上课时，就让每个学生在课堂作业本上写出三个内容：（1）写出自己做的圆的直径；（2）滚动自己的圆，量出圆滚动一周的长度，写在练习本上；（3）计算圆的周长是直径的几倍。全班同学做完后，要求每个同学汇报自己计算的结果，并把结果整理成下表。

学生很快就发现不管圆的大小如何，每个圆的周长都是直径的3倍多一点。教师指出：“这个倍数是个固定的数，数学上叫做“圆周率”。

四、构建知识体系，分辨概念本质

数学教材中的概念，尽管分散在不同章节中出现，但它们总是一环扣紧一环形成知识链条的。将它纳入到原有的概念系统中去，不但能使学生全面、深刻地理解概念，而且还能使原有概念得到充实和发展，让学生在知识链条中理解和记忆概念，比孤立理解单个概念，效果好得多。

例如，质数、质因数、互质数这三个术语的概念极容易混淆。首先可从质数、质因数、互质数的意义出发，启发学生分清质数是指一个数，质因数也是指一个数，譬如“2是质数，7是质数”等等，但质因数必须是质数且是另一个数的因数，它不能独立存在，必须相对于合数而言，譬如说“3是21的质因数”如果离开21，孤立地说：“3是质因数”则不不妥的，因此制裁因数是具有双重身份，第一必须是个质数；第二必顺是另一个数的因数。而互质数是指两个数的关系，质数要根据一个数所含约数的个数来判断，互质数要根据两个数的公约数的个数来判断，这两个数的最大公约数是1。如3×4=12，3是质数，4不是质数，3是12的质因数，4不是12的质因数，3和4是互质数。其次，再举互质数的实例，使学生看到成互质数的两个数有很多种情况：（1）一个是质数，另一个是合数。如5和8。（2）两个数都是合数。如8和9。（3）两个不同的质数。如3和7。（4）一个是1，另一个是质数或合数。如1和3，1和6。其中（3）、（4）必定互质，（1）、（2）则不一定互质，等其他情况。通过这样的辨析与比较，学生对质数、质因数、互质数这三个数的认识和区别就会非常清楚。

因数的定义范文第4篇

十五和四十的公因数有4个，分别是：1、3、5、15。公因数，亦称“公约数”。它是一个能同时整除若干整数的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。

小学数学定义：假如a*b=c（a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c的因数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。反过来说，我们称c为a、b的倍数。在研究因数和倍数时，小学数学不考虑0。

（来源：文章屋网 ）

因数的定义范文第5篇

2、事实上因数一般定义在整数上：设A为整数，B为非零整数，若存在整数Q，使得A=QB，则称B是A的因数，记作B|A。但是也有的作者不要求B≠0。

3、例如：2X6=12，2和6的积是12，因此2和6是12的因数。12是2的倍数，也是6的倍数。

4、3X(-9)=-27，3和-9都是-27的因数。-27是3和-9的倍数。

因数的定义范文第6篇

【关键词】功率因数；谐波电流；功率因数校正

Abstract：This paper mainly discuss the produce reason of bad power factor，the harm of bad power factor，the source of harmonic current，the definition and calculate of power factor，the harm of harmonic current to electric net，power factor and higher the power factor’s good results etc.

Key words：power factor；harmonic current；power factor correction

一、不良功率因数的产生原因

开关电源的输入端通常采用如图1所示的由整流二极管和滤波电容组成的整流滤波电路，220V交流输入市电整流后直接接电容器滤波，以得到波形较为平滑的直流电压。

但是由整流二极管和滤波电容组成的整流滤波电路是一种非线性元件和储能元件的组合，虽然交流输入市电电压的波形Vi是正弦的，但是整流元件的导通角不足180o，一般只有60°左右，导致输入交流电流波形严重畸变，呈图1所示的脉冲状。由整流二极管和滤波电容组成的整流滤波电路主要存在如下的问题[1]。

（一）启动时产生很大的冲击电流，约为正常工作电流的十几倍至数十倍。

（二）正常工作时，由于整流二极管的导通角很小，形成一个高幅度的窄脉冲，电流波峰因数（CF）高、电流总谐波失真（THD）通常超过100%，同时引起电网电压波形的畸变。

（三）功率因数（PF）低，一般在0.5～0.6左右。

脉冲状的输入电流含有大量的谐波成份，但是交流输入电流中只有基波电流才做功，其余各次谐波成份不做功，即各次谐波成份的平均功率为零，但是大量的谐波电流成份会使电路的谐波噪声增加，需在整流电路的输入端增加滤波器，滤波器即贵、体积和重量又大。同时大量谐波电流成份倒流入电网，会造成电网的谐波“污染”。一则产生“二次效应”，即谐波电流流过线路阻抗造成谐波电压降，谐波电压降反过来又会使电网电压波形（原来是正弦波）发生畸变，二则会造成输入电流有效值加大，使线路和变压器过热，同时谐波电流还会引起电网LC谐振，或高次谐波电流流过电网的高压电容，使之过电流而发生爆炸。对三相交流供电，由于大量的谐波电流成份还会使中线电位偏移，中线电流过电流而发生故障等。感性负载或容性负载都会使交流输入电压、电流产生附加相移，使线路功率因数降低，电能利用率降低；非电阻性负载还会产生严重的谐波失真，对电网造成干扰。

虽然输入的电压波形为正弦波，但是输入的电流波形为非正弦波，呈现脉冲状，其电流脉冲的持续时间只有交流输入电流周期的10%～20%。

由于在由整流二极管和滤波电容组成的整流滤波电路中电流的升降速度比输入电压的升降速度快，并且输入电流的不连续性，所以产生了一系列如图2所示的奇次谐波[3]，导致供电线路功率因数降低至0.6～0.7左右，所以线路不良功率因数主要来源于输入电流波形的畸变。

从图2可以看出，偶次谐波电流成份的幅度很小，这是由于正弦波的正负半波对称，偶次谐波电流成份几乎被抵消了，只剩下了奇次谐波电流成份的原因。在图2中假定基波电流成份的幅度为100%，其它谐波电流成份的幅度被表示成了它占基波电流成份的百分比数。

二、功率因数PF的定义

功率因数PF的定义如公式（1）所示。

（1）

三、理想正弦波的讨论

在这种情况下假定输入的电流和电压波形均为正弦波形，对输入电流和电压波形的相位移定义为，这可以用矢量图3表示[1]。

对正弦交流输入市电，交流输入电流无波形失真时电路的功率因数可以用公式（2）表示。

（2）

四、非理想正弦电流波形

假定输入交流市电电压波形为理想正弦波，有效值可以用公式（3）表示。

（3）

如果输入电流为非正弦的周期电流波，通过傅立叶级数变换有公式（4）成立。

（4）

式中I0为直流电流成分，I1RMS为基波电流有效值成分，I2RMS-InRMS为2～n次正弦谐波电流有效值成分，对正弦交流电而言，I0=0，而基波电流I1RMS由不同相位的I1RMSP和90°相位差的基波电流成份I1RMSQ构成。所以，交流总输入电流的有效值可以利用公式（5）表示。

（5）

有功功率可以用公式（6）表示。

（6）

由于表示交流输入电压与交流输入基波电流之间的相位移，即：

有公式（7）成立。

（7）

这样有公式（8）和公式（9）成立。

（8）

（9）

功率因数可以利用公式（10）表示。

（10）

可以利用系数k表示，有公式（11）成立。

（11）

k表示谐波电流波形失真因数，系数k是一个和电流谐波成份有关的系数，如果交流输入电流2次以上的谐波电流成份为0，有系数k=1。如果谐波电流波形失真用一个相位角θ有关的参数表示表示，有公式（12）成立。

（12）

这样，功率因数PF和几波电压和基波电流相位移角、谐波电流波形失真等有关功率成份之间的关系可以利用图4表示。

在图4中，表示基波电流和电压之间的相位差，θ表示和谐波电流有关的失真角，无功功率Q和失真功率D均会使输入同样有功功率的情况下输入更大的交流电流有效值，从而产生额外的功耗，降低供电回路的供电效率。可见，可以通过以下途径提高电路的功率因数PF。

（一）01降低I1RMS和V之间的相位移；

（二）θ01降低交流输入电流IRMS总的谐波电流成份。

五、谐波电流的主要来源

通过分析发现产生谐波电流的主要来源有以下几种[2]。

（一）开关电源；

（二）调光装置；

（三）电流调节装置；

（四）频率变换器；

（五）脉冲宽度调制的电源变换器；

（六）低功率灯；

（七）电弧炉；

（八）电焊机；

（九）由于磁芯饱和而导致不规则磁化电流的感应电动机；

（十）由于开关装置与/或具有非线性V/I特性的负载等。

六、谐波电流对电网的危害

脉冲状的交流输入电流波形中含有大量的谐波电流成分，大量的谐波电流倒流入电网会对电网造成“污染”，供电电网中的谐波电流会对电网产生以下不利影响。

（一）谐波电流的“二次效应”，即谐波电流流过线路阻抗而造成的谐波电压降反过来会使电网电压波形（原来是正弦波）发生畸变。

（二）过大的谐波电流会引起供电线路故障，从而损坏用电设备。例如过大的谐波电流会使线路和配电设备过热，谐波电流还会引起电网LC谐振，或高次谐波电流流过电网的高压电容，使之过电流、过热而导致电容器损坏。

（三）在三相四线制电路中，三次谐波在中线中的电流同相位，导致合成中线电流很大，有可能超过相线电流，中线又无保护装置，使中线因过电流而导致中线过热引起火灾，并损坏电气设备。

（四）谐波电流对自身及同一系统中的其他电子设备会产生恶劣的影响，例如会引起电子设备的误动作和电子设备的故障等。

由于目前开关电源得到了广泛的应用，由此产生的输入电流高次谐波成分的问题不容忽视，因此功率因数校正技术的应用显得十分迫切。

七、功率因数校正的常用方法

常用功率因数校正电路按工作原理划分主要有以下2类。

（一）无源功率因数校正电路

无源功率因数校正电路利用电感和电容等元器件组成滤波器，将输入电流波形进行相移和整形，采用这种方法可使功率因数（PF）达0.9以上。优点是电路简单，适用于小功率应用场合。缺点是在某频率点可能产生谐振而损坏用电设备。

（二）有源功率因数校正电路

有源功率因数校正电路的基本工作原理是利用控制电路强迫输入交流电流波形跟踪输入交流电压波形而实现交流输入电流正弦化，并与交流输入电压同步。其中关键电路是乘法器和除法器，有源功率因数校正电路的特点是：

1.功率因数高，PF可达0.99以上；

2.总谐波失真低，THD

3.交流输入电压范围宽，交流输入电压范围可达90～270VAC；

4.输出电压稳定；

5.所需磁元件小。

有源功率因数校正电路的缺点是电路比较复杂，由于有源功率因数校正电路的引入，降低了电路的总体工作效率，并且电磁辐射干扰（EMI）较大。

八、提高电源功率因数的意义

（一）用户和供电部门都会从高功率因数中获益

例如，功率因数为1的220V标准交流市电供电，在降低至最低85V时需为负载提供15A的有功供电电流，当电路的功率因数降低至0.6时只能为负载提供9A的有功供电电流。例如，同样一个壁式电源插座，功率因数为1时可为4台功率为280W的电器设备供电，当功率因数为0.6时仅可以为2台功率为280W的电器设备供电。功率因数低意味在为负载提供同等功率的情况下要提供更大的电流，因而供电线路的损耗要加大，并且供电线路导线的线径也要加大，使供电线路的供电效率降低，而需多提供的功率和谐波电流成份有关。同时由于交流输入电流的波形失真而引入的谐波电流还会致使交流市电过零检测电路不能正常工作，在零线产生过电流和过电压。

目前在欧盟和美国已对电器设备的功率因数这个技术指标提出了严格要求，规定在欧盟销售的功率大于75W的电器设备，要求它们的功率因数技术指标应满足欧洲技术标准EN61000-3-2（IEC61000-3-2）的要求，否则不能进入欧洲市场，同样在美国也做出了类似的技术要求。在EN61000-3-2

（IEC61000-3-2）中对用电设备的供电输入高至39次的谐波电流幅度做出了限制要求，所以，今后的电子产品如不能满足有关功率因数技术指标要求则不能进入国际市场[2]。

（二）下游变换器的元器件成本降低

在同等输出功率的情况下如果采用了PFC电路，对下游变换器的功率开关管的技术要求也要低些，例如对下游变换器功率开关管的导通电阻的要求就可以低些。同时，采用PFC电路后下游变换器的功率变压器的体积可以小些，导线线径也可以小些，采用有源PFC电路后由于稳压范围宽（85VAC～265VAC），所以也可以省掉110/220VAC的电源选择开关，也可以在不加大滤波电容器容量的情况下提高供电电路的保持时间。

（三）有源功率因数校正电路对电网的影响

当然功率因数校正电路会产生一些对电网的高频谐波干扰，对这些高频谐波干扰需设计专门的EMI和RFI滤波器（如图5所示）加以滤除[4]，图5表示采用了有源功率因数校正和没有采用功率因数的电路对比，实用中需根据具体技术要求选用PFC电路结构和相应的工作模式。

九、结论

由于对电网供电质量要求越来越高，在设计开关电源时需考虑IEC 555-2和IEC61000-3-2标准的有关技术要求，采用功率因数校正技术的开关电源可以很好的改善开关电源的技术性能，同时采用有源功率因数校正后，开关电源的供电直流电压更为稳定，还可以省掉110/220VAC交流输入市电电压选择开关。

参考文献

[1]L.Wuidart.Application note understanding power factor[Z].AN824/1003,2003,.

[2]路秋生.功率因数校正技术与应用[M].机械工业出版社,ISBN7-111-18381-9,2006,02:1-10.

[3]AND8147/D An Innovation Approach to Achieving Single Stage APFC and Step-down Conversion for Distributive Systems On Semiconductor.

[4]AND8124/D 90W,Universal Input,Single Stage,APFC Converter On Semiconductor.

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因数的定义范文第7篇

角度一：具体与概括的关系

[案例1]常见数量关系的复习教学

找出下列三栏中有联系的数量，说出数量关系。

单价 时间 工作总量

速度 数量 路程

工效 份数 总价

每份数 时间 总数

即：单价×数量=总价

速度×时间=路程

工效×时间=工作总量

每份数×份数=总数

这四个数量关系有什么联系呢？学生通过观察比较很快就能得出单价、速度、工效相当于每份数；数量、时间相当于份数；总价、路程、工作总量相当于总数。教师小结：原来我们最近研究的常见的三种数量关系只是把“每份数×份数=总数”这个最基本的关系具体到了购物、行程、工作等问题中。

由此可见，具体化与概括化是一种常有的联系方式。

角度二：立意差异，异曲同工的关系

[案例2]乘法定义的教学

乘法有两种定义：一种是以集合为基础概念，另一种是以加法为基础概念。如何让学生在建构乘法的定义时没有矛盾，能立足于两种定义的联系来完善认识呢？在教学《乘法与除法的关系》时，我们作了如下设计：由线段图引入，让学生看图列式：

■

W生大部分列出了25×3=75的算式，教师再问：“除了可以用乘法来列式，你还能用其他方法列式吗？”这时才有一两个学生说出了加法算式25+25+25=75。（学生觉得这种加法算式是一年级时用的，所以他们不愿意用）紧跟着又问：“在加法算式中，25和75分别叫做什么？”“在乘法算式中25、3和75又叫做什么呢？”分析好加法、乘法各部分的名称后，借助板书更形象地展示知识的前后联系。“其实乘法算式中的一个因数25就是加法算式中那个相同的加数，乘法算式中另一个因数3就是加法算式中相同加数的个数，乘法算式中的积75就是加法算式中的和。”“所以乘法我们又可以称为求两个因数的积的运算。”

板书：25+25+25=75

加数 和

25 × 3= 75

因数 因数 积

如此，学生对乘法定义的认识便逐渐丰满起来，两种定义和谐交融，没有丝毫的无措与矛盾。

角度三：一般与特殊的关系

[案例3]除数是两位数除法的教学

按顺序依次有四种试商方法：1.首位试商法。2.除数凑整试商法。3.同头无除商9、8。4.差数试商法。这么多的方法，学生在试商时有些无所适从，到底选择哪种试商方法呢？所以我们在练习课上设计了这样一个环节：笔算：290÷32 492÷64 705÷79 106÷13。边算边想学过了哪些试商方法？分别在怎样的情况下使用？你认为哪一种最常用？通过讨论得出：除数凑整试商法最普遍，与首位试商法有一致之处，后两种类型也可使用，只是速度较慢，要调好几次商。一般情况下则用除数凑整试商法，从而帮学生梳理了一个从一般到特殊的方法结构，为学生更熟练地选用方法试商奠定了坚实的认知基础。

角度四：共性与个性的关系

[案例4]时间单位的使用

“时”在表示一个时刻、一段时间时可以通用。然而在生活中为了区分，表示具体的一个时刻往往说是几时几分，表示一段时间一般说几小时几分钟。

如何能使学生理解其区别并正确地使用呢？我们是这样设计的：

（1）第一节课是什么时候开始的？（8：00），（出示钟面）钟面上所指的刻度是8：00，我们就开始上课了，所以这个时间我们就称之为“一个时刻”（用一个点来表示）。钟面上指到哪个刻度时我们就该下课了呢？（8：40），这个时间也是一个时刻，一节课上了多长时间？（40分钟），这段过程有40分钟（连线），所以这个时间我们就称为一段时间。完成板书：■

（2）读一读，下列时间中哪些表示的是一个时刻，哪些表示的是一段时间？

明明上午8时30分到了公园，玩了足足3小时30分才离开。

周末小方和爸爸下午1时30分去钓鱼，钓了1小时30分，钓到了两条鱼。

小结并完成板书：时一个时刻（时）一段时间（小时）

因数的定义范文第8篇

关键词：“1+1”的难度；维数密率；数对递加；连孪质数；孪生高因二维数

一、引言

目前人们对质数的认识只停留在概念上，也就是人们只认识什么叫做质数，而对于任意给出一个非“5”尾的奇数（如2×3×5×7×11×13×17×19×23×29+1=6469693231），这个数是质数还是合数，如果是合数，质因数又有哪些，人们就很难得出答案了。这是本文要解决的主要问题。

小学五年级数学下册在“你知道吗？”一栏目中举例说明“分解质因数” （如4=2×2、15=3×5、30=2×3×5），

这些数非常简单，一看就知道质因数是什么，不需要费脑去寻求，这就说明仅仅是一种概念的认识。然而对于一些较大的数就无从着手了。例如，《高中数学选修2―2》（2005年版）第111页习题B组第一题：

“观察

2×3+1=7

2×3×5+1=31

2×3×5×7+1=211

2×3×5×7×11+1=2311

2×3×5×7×11×13+1=30031

2×3×5×7×11×13×17+1=510511

……

由此可以发现什么规律，利用这个规律，用反证法证明‘质数的个数’是无限的。”

显然，命题者认为这个“规律”的结论是前面连续n个质数的积加上1，结果也是一个质数。这个命题犯有严重的逻辑性错误，因为前面连续n个质数的积加上1，其和只能说明前面n个质数中的任何一个除这个和，结果都余1，并不能说明后面的质数除这个和，结果都存在余数。因此命题者的错误不仅有：

2×3×5×7×11×13+1=30031=59× 509；

2×3×5×7×11×13×17+1=510511=19×97×277；

而且还有：

2×3×5×7×11×13×17×19+1=9699691=347×27953；

2×3×5×7×11×13×17×19×23+1=223092871=317×703763；

2×3×5×7×11×13×17×19×23×29+1=6469693231=331×571×34231。

……

恐怕后面已很难找到质数了。犯有这一错误的主要原因是前面四个数7、31、211、2311可以靠观察来发现它们都是质数，但后面的数还能观察吗？如果这是一个质数表达式，则需要一个完整的理论证明。命题者就犯有这样一个没有理论证明就下结论的错误！

二、研究问题

（1）质数的个数和编写五位数内的“全因维数表”“质数表”。

（2）分解质因数和质数的判定。

（3）“哥德巴赫猜想”“1+1”的难度破解。

多少年来，世界各国的数学家对解决这些问题无从着手，而将这些问题视为难题。其中世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”“1+1”的证明难度之大，被称为 “数学王冠上的明珠”，我国数学家陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果，他证明了其中的“一个大偶数=

质数+质数×质数（即‘1+2’）”，而“一个大偶数=质数+质数（即‘1+1’）”还未得到证明。由于一个大偶数可以无限大，其证明的难度也就可想而知了。因其难度之大，据说世界数学奥委会悬赏一千万美金吸引人破解呢。

三、研究方法

（1）查表累计法。

（2）查表法、最少次数搜索法。

（3）维数密率法、数对递加法、多项和的完全平方公式法。

要想解决以上三个问题，这三个研究方法必须一一对应用上。

四、研究结果

1.质数的个数和编写五位数内的“全因维数表”“质数表”

（1）质数的定义和合数的定义。在数的分类中，如果按倍数来分，就有质数和合数之分。一个数按倍数来分有以下积的各种表达形式：

A.3=3×1，7=7×1，23=23×1

B.14=2×7，21=3×7，49=72

C.42=2×3×7，63=32×7，27=33

D.462=2×3×7×11，36=22× 32，54=2×33，81=34

E.1=12+13=...=1n

A中的数叫做一维数（即我们常说的质数），它的定义是只能表达成它自身和“1”相乘的数；B中的数叫做二维数，它的定义是可以表达成不含有它自身的两个因数的积的数；C中的数叫做三维数，它的定义是可以表达成不含有它自身的三个因数的积的数；D中的数叫做四维数，它的定义是可以表达成不含有它自身的四个因数的积的数；E中的“1”叫做任意维数。它的定义是可以表达成任意次自身相乘的数。这样定义质数和合数，语言更加精练准确。教科书上只有质数和合数之分，没有提及维数。本文提及维数，就是能更好地将合数进行分类。“维数”是数学上的新名词。

（2）质数的个数、维数的密率。任意给出一个不大于100000的偶数，不大于这个偶数的质数有多少个？它们分别是什么数？目前在数学上都弄不清楚。为了解决这个问题，笔者编写了一本五位数内的“全因维数表”（编写方法：从3开始，每3个格就有一个因数3；从5开始，每5个格就有一个因数5；从7开始，每7个格就有一个因数7；依此类推，是乘方数从高次方编起，电脑编程很快），在表中累计不大于100000的质数一共有9591个，它们如后表所记。有了“维数表”和“质数表”，对解决以下问题就不难了。质数的密率=质数的个数÷（奇数的个数-1）。由“维数表”可知，当2n=106或2n=118时，质数的密率是1∶2；当2n=1016时，质数的密率是1∶3；当2n=8402时，质数的密率是1∶4；当2n=64512时，质数的密率是1∶5。由此可见，随着2n的不断增大，质数的密率就不断减少而接近于零。可见质数存在无穷多，同时也存在无穷大。

2.分解质因数和质数的判定

（1）查表法。在十位数内，对任意给出一个非“5”尾的奇数，这个数是质数还是合数？目前数学上很难解决，现在有了“维数表”和“质数表”，对解决这个问题就容易了。对于小于100000的所有奇数，可查“维数表”就能直接得到答案。如96497在“维数表”内是空格（96497可以分为09、64、97，在左上角查09，在上行查64，在左列查97，64和97的交叉点是空格），则这个数就是质数；又如96499在“维数表”内是132×571，则96499=132×571。这个数的质因数也就直接查出来了。

（2）搜索法。对于大于100000而小于10000000000的所有奇数，就必须除以小于某个奇数最大不足平方根的所有质数，才能判断其是质数还是合数。如2×3×5×7×11×13×17×19×23×29+1=6469693231，其最大不足平方根为√6469693231=80434+，大于29而小于80434的所有质数有7863个。如果6469693231不能被这7863个质数之一整除，则这个数是质数，否则是合数。事实上当除到第57个质数331时就整除了（即6469693231=331×19545901），接下来将19545901重复除以331直到不能整除为止（如能整除就出现331的乘方数）。而19545901的最大不足平方根为√19545901=4421+，大于331而小于4421的所有质数有534个，如果19545901不能被这534个质数之一整除，则这个数是质数，否则是合数。事实上当除到第37个质数571时就整除了（即19545901=571×34231），接下来将34231重复除以571直到不能整除为止。而34231的最大不足平方根为√34231=185+，但185

3.“哥德巴赫猜想”“1+1”的难度破解

20世纪60年代，我国数学家陈景润证明了“哥德巴赫猜想” 中的“1+2” ， 直到1973年发表，轰动了整个世界，时至今日，半个世纪过去了， “1+1” 的证明还未取得任何进展。现在笔者来论证“1+1”。

已知：一个偶数=2n（n≥3的自然数），

求证：存在两两成对的质数，使得每对质数都能满足（质+质）=2n。

证明：两个奇数之和等于2n，可以有下面四种表达方式：

质+合=2n

质+质=2n

合+合=2n

1 +质或合=2n

第四个表达式一定存在并且只有一个。由“维数表”可得下面数据：当2n=2000时，质数的个数=301（个），合数的个数=998-301=697（个），

质数的密率=―，合数的密率=

―。（质+质）的密率=（―）2，

（合+质）和（质+合）的密率=2×

―×―，（合+合）的密率=（―）2，

并且三者密率之和等于1。

三者密率之和就是（|数的密率+合数的密率）2 的展开式。

由于给出的2n无论多大。质数的个数总是有限的。所以一定存在以上密率，并且三者密率之和都等于1。由此可见当2n达到一定大时（2n≥64时）， （质+质）、（质+合）、（合+合）

三者相互并存，缺一不可；而当2n

质）和（质+合）。所以无论2n多大，一定存在（质+质）=2n。

由于质数分布很不均匀，理论数据和实际数据存在一定误差。为了弄清这个误差，由维数表可得以下数据：

质数的密率=―=0.3016032；

（质+质）的理论密率=0.30160322=

0.090964；

（质+质）的理论个数=0.090964×

499=45（个）；

（质+质）的实际个数=37（个）；

（质+质）的实际密率=―= 0.74148；

密率差=0.091569-0.074148= 0.017421；

同理可得以下数据表。

由下表数据可知：①A1和B1、A2和B2、A3和B3...的 密率差不断减小，也就说明（质+质）的实际数对个数比率从小到大不断接近理论数对个数比率；②C1C2C3...的密率差出现负值，并且绝对值也不断减小，这就说明（质+质）的实际数对个数比率从大到小不断接近理论数对个数比率；③A1A2A3...、B1B2B3...、C1C2C3...中，（质+质）的实际数对都随着2n的不断增大而增多（即数对递加）。由①②③可知，无论2n多大，（质+质）的数对一定存在。不过这里2n的间隔是2000，如果间隔较小而小至2的话，就会出现或多或少或平的波状曲线上升。不管怎么说，（质+

质）的理论数对总是存在的，实际数对总是紧靠着理论数对左右摆动。如果还不足以说明问题的话，那么我们就求（质+质）的实际数对不能再小值。当2n=2000时，（质+合）和（合+合）的理论数对和实际数对分别为221个、225个和243个、237个，那么（质+质）的实际数对最少都有（499-243-225）=31个（都减去其中最大的，如是估算，这个数对不能再少了）。同理可证无论2n多大，（质+质）的实际数对都存在不能再小值，并且都随着2n的不断增大而呈波状曲线增大。这一点最有说服力。至此 “哥德巴赫猜想”“1+1”的理论证明应该已经画上句号。

C1C2C3...中，（质+质）的实际数对比理论数对多，主要是含有因数3的合数对加，出现了（合+合）的数对过多所致。其他质数也有这种情况。

五、讨论

我研究“哥德巴赫猜想”“1+1”不是主题，我的主题是分解质因数，因为分解质因数的教育价值要远比“1+1”大得多。教科书上只是给人一种概念的认识，没有给人一种理性思维而解决实际问题。对此，我编写了一本五位数内的“全因维数表”，解决了十位数内的分解质因数问题。有了“全因维数表”，“1+1”无攻自破。因为随着2n的不断增大，“1+1” 的实际数对就或多或少或平地呈波状曲线上升（即数对递加），也就是说2n越大，“1+1”的实际数对就相对越多。仅这一点就足以说明无论2n多大，“1+1”的数对一定存在。

“全因维数表”不仅解决了“1+1”问题，还可以解决“1+2”“1+3”“2+2”“2+3”...“a+b”（a≥1、b≥1的自然数）等问题。因为对任意给出的2n无论多大，1维数、2维数、3维数...n维数的个数都是有限的，所以它们都存在密率，并且它们的个数和就是所有奇数，我们应用多项和的完全平方公式展开：

（1+2+3+...+n+A）2=12+22+32+...+ n2+A2+2×1×2+2×1×3+...+2×1×n+ 2×1×A+2×2×3+...+2×2×n+2×2×A+...+2×3×n+2×3×A+2×n×A，其中12、22、32...n2 、A2 分别表示“1+1” “2+2”“3+3” ...“n+n”“A+A”，2×1×2、2×1×3...2×1×n、2×1×A分别表示“1+2”“1+3” ...“1+n”“1+A”， 2×2×3...2×2×n、2×2×A分别表示“2+3” ...“2+n”“2+A”...2×3×n、2×3×A、2×n×A分别表示...“3+n” “3+A” “n+A”（A为维数大于n的合数）。我们再将1维数、2维数、3维数...n维数、维数大于n的合数A的密率分别代入公式中的各项，就可以求出“a+b”的各种理论密率，再乘以2n内（奇数的个数-2）÷2，就可以求出“a+b”各种理论数对的个数。由于各维数分布都很不均，所以“a+b”各种理论数对和实际数对都存在一定误差，并非“a+b”的各种实际数对不存在。所以当（2n+2K）（K=0、1、2、3、...的自然数）能使a+b=N时的数对连续存在，那么a+b≤N的各种数对都连续存在。当N=2时，只需2n≥6；当N=3时，只需2n≥12；当N=4时，只需2n≥ 64...当N=18时，只需2n≥39+38m（m为一个质数），可见要使“1+1”的数对存在，只需2n≥6（2n=4是非奇质数）即可。

六、结论

维数密率、数对递加、多项和的完全平方公式，都能证明“1+1”“1+2”的存在，所以“哥德巴赫猜想”不是难题。而难的是：对于任意给出的2n无论多大，“1+1”“1+2”的数对到底有少个？

参考文献：

[1]李文林.王元论哥德巴赫猜想[M].济南：山东教育出版社，1999.

[2]李英杰.哥德巴赫猜想的证明[J].前沿科学，2007（3）.

[3]余新河.哥德巴赫猜想的新尝试[J].福建师范大学学报（自然科学版），1993（2）.