简单的线性规划
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简单的线性规划范文第1篇
《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》中明确指出高中数学教学的目的之一就是要培养学生“解决实际问题的能力”，其修订的重点就是要加强对学生创新能力和实践能力的培养，要求学生能应用数学语言表达问题，把所学数学知识去抽象、分析和解决带有实际意义或与生产、生活紧密相关的数学问题，形成应用数学的意识和能力。因此，培养高中生的数学应用意识是高中数学教学的重要目标。为了确实培养高中生的数学应用意识，新教材进行了许多改进，在引言或阅读材料中增加了很多实际生活中的案例，新教材新增的线性规划内容，不仅给传统的高中数学注入了新鲜“血液”，更给学生提供了数学建模、应用数学的机会， 为学生将来解决生产管理和经营活动中涉及到有关提高效率、节约能源、增加利润等问题中的最优化问题打好基础。
2 教学背景分析
2.1 教材分析。
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》 的第1课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法.线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.突出体现了优化思想表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值.熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）.体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系.
2.2 学情分析。
本小节内容建立在学生学习了二元一次不等式（组）及其应用，直线与方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件将实际问题转化为数学问题，对于数形结合的思想有所了解，但从数学知识上看学生对于涉及多个已知数据，多个字母变量，多个不等关系知识接触尚少；从数学方法上看，学生对于图解法还缺少认识，对于数形结合思想方法的掌握还需培养。
2.3 教学目标。
2.3.1 知识与技能：了解二元一次不等式（组）的概念，掌握用平面区域刻画二元一次不等式（组）的方法，了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最值与相应最优解。
2.3.2 过程与方法：从实际问题中抽象出简单的线性规划问题，提高学生的数学建模能力，在探究的过程中让学生体验到数学活动中充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、化归能力、探索能力、合情推理能力。
2.3.3 情态、态度与价值观：在应用图解法解题的过程中培养学生的化归能力与运用数形结合思想的能力，体会线性规划的基本思想，培养学生的数学应用意识，体验数学来源于生活而服务于生活的特性。
2.4 教学重点和难点。
（1）教学重点：求线性规划问题的最优解
（2）教学难点：将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题
3 教法学法分析及教学思路
3.1 教法分析。
新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.
本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.
（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；
（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.
（3）在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；
（4）让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.
3.2 学法分析
在学法上，以学生探究为中心，以探究活动为主线，采用“小组合作探究式学习法”进行学习。
3.3 教学思路
本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，多媒体为重要工具，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建模过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，从“特殊到一般”的探究新知过程。提高学生应用“数形结合”的思想方法的解题能力，培养学生分析问题，解决问题的能力，培养学生数学应用意识。
总体教学流程为：
1.创设情境―引入主题 2.深入探究―获得新知 3.应用举例―形成方法
4.反馈训练―巩固提高 5.知识小结―拓展引申
4 教学问题诊断分析
线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求。其中第一个难点已经通过第一课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第二课时基本解决，本节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之。
将决策变量想x， y以有序实数对 的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案。借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的联系；以数学语言表述，运用数形结合得到求解线性规划问题的方法。
5 教学准备
5.1 普通高中课程标准试验教科书数学必修5及配套光盘
5.2 课件《简单的线性规划问题》
6 教学过程设计
7 教学反思
7.1 探究式教学是建构主义学习理论的一种教学实践模式。探究式课堂的特点是学生通过合作交流、自主探究获得新知识。
7.2 在问题情景探究中，利用《几何画板》创设了一个动态的数学实验室，让学生自己拖动鼠标操作，来改变a，b值，探究出一般性的结论。探究式教学与传统的接受式教学和训练式教学相比，更具问题性、实践性和开放性，将学生置身于动态、开放、生动的学习环境中，有利于学生的自主学习和自主探索，对培养他们的数学素养和创新精神，具有深远意义。
7.3 本课利用了信息技术，《powerpoint 2003》，《几何画板》等来设计探索情景，创造开放性学习环境，满足了不同学生的需要，体现个性化学习，目的是努力使每一位学生都能得到成功的体验，有效的促进不同层次学生的发展，培养学生的数学应用意识。
该节线性规划的教学，应注意以下几个问题
1.线性规划应用题条件，数据较多，如何梳理已知数据至关重要（以线定界，以点定面）
2.学生作图时太慢，没有使用尺规作图，找最优解时不会通过斜率比较分析。（用尺作图直观）
简单的线性规划范文第2篇
Abstract： Based on the introduction of methods of mathematical programming including linear programming， sensitivity analysis and integer programming， this paper discusses the application of mathematical programming method under different conditions in surveying and mapping production with an example.
关键词： 线性规划；灵敏度分析；整数规划；测绘
Key words： linear programming；sensitivity analysis；integer programming；surveying and mapping
中图分类号：P2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）14-0297-03
0 引言
测绘是国民经济建设和发展的重要基础性前期工作。随着经济的发展，现代测绘的生产规模日益扩大，分工越来越细，要求测绘生产组织必须具有高度计划性。将数学规划的方法运用于测绘工作中，对测绘工作实施过程中各种错综复杂的数量关系进行研究，并归结成一定的数学模型，用数学方法找到最合理的工作方案，在保证工程要求和精度要求的前提下，可以达到提高工作效率，减少生产消耗的人力、物力、财力的目的。
1 线性规划的应用
在测绘经营管理中，经常要解决两类问题：一类是对于某项确定的生产任务，如何使用最少的资源，保质保量的完成测绘任务；另一类是对于有限的资源，如何安排使其最大限度的发挥作用，取得更多的测绘成果。对于这些问题，都可以应用线性规划的方法，通过建立数字模型、求解、应用，科学合理地解决。这里以一例说明线性规划问题在测绘工作中的应用。
现有某测绘单位为下月生产计划做安排，该测绘单位计划安排建筑物放线、1：500竣工测量两种种测绘工作。4 整数规划
在前面的线性规划，目标规划中，求出的最优解都有可能包含小数或分数。而在实际测绘生产工作中，由于人员、仪器设备、控制点个数甚至工时工天都只能是整数而不能使小数或分数。此时如果简单的将求得的最优解进行四舍五入取整，得到的结果可能不符合约束条件，或者即使满足约束条件，却不是最优解。此时，需要通过整数规划的方法进行最优解的求解。
仍以上文中的例子为例，假设由于该测绘单位扩大生产能力，内业工作时间增加了10工天，总共有230工天。
在这种情况下，依据线性规划的理论，利用单纯形法可求得，安排生产22.5件建筑物放线，32.5幅1：500竣工测量时，可获得最大收益68200元。
如果简单的通过四舍五入来取整，即安排建筑物放线23件，1：500竣工33幅，那么它破坏了约束条件，即超出了实际生产能力。为了确定最优方案，这里通过分支定界解法求解。
参考文献：
[1]甘应爱等.运筹学（第三版）[M].清华大学出版社，2005（6）.
[2]郑肇葆等.数学规划在测绘运筹学中应用（第二版）[M].测绘出版社，2003.
简单的线性规划范文第3篇
关键词：线性规划；考纲要求；变式教学；引起警醒
高中数学教学中的线性规划作为数形结合思想运用的一个典范，还承载着解决实际生活中的物质调运、产品安排、下料等问题.认真分析研究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下四个类型：求目标函数的最值问题；求参数的取值问题；求约束条件问题；求面积问题. 但还有不少例外的情况，要小心温水煮青蛙的变化.
先看一道高考题：
例1 （2013浙江省理科13）设z=kx+y，其中实数x，y满足x+y-2≥0，x-2y+4≥0，2x-y-4≤0，若z的最大值为12，则实数k=________.
其中给出的答案是：画出可行域如图1所示.
■
图1
由可行域知，最优解可能在A（0，2）或C（4，4）处取得. 若在A（0，2）处取得不符合题意；
若在C（4，4）处取得，则4k+4=12，解得k=2，此时符合题意.
先看命题的背景，2013年浙江省高考大纲的要求是：
1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
这与2012年高考考纲中对线性规划内容要求分毫不差. 而2012年浙江省的线性规划题目并没有像以往那样出现在填空题中，而是在22题的第3小题中，经过列数量关系转化才能显现出来，应该是体现了考纲中的第3条要求，而在2013年高考中，又回归到了填空题中，看来是符合了考纲的第2条要求.由此可以看出在高考中，线性规划问题要考到什么层次，并不那么确定.
纵向对比前几年的线性规划题：
例2 （2011浙江理科5）设实数x，y满足不等式组x+2y-5>0，2x+y-7>0，x≥0，y≥0，若x，y为整数，则3x+4y的最小值是（ ）
A. 14？摇？摇？摇？摇 ？摇B. 16？摇？摇？摇？摇？摇？摇C. 17？摇？摇？摇？摇 ？摇D. 19
例3 （2010浙江理科7）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0且x+y的最大值为9，则实数m等于（ ）
A. -2？摇？摇？摇？摇 ？摇B. -1？摇？摇？摇？摇 ？摇C. 1？摇？摇？摇？摇 ？摇D. 2
这两年的高考题紧扣考纲第2条要求，没有涉及“会从实际情境中抽象出二元一次不等式组”这一要求.
再来看一下考纲对于学生能力的要求，涉及空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、 运算求解能力、数据处理能力、应用意识以及创新意识. 总之对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.
从这几年的高考来看，对于线性规划的要求，从一开始的考查数学知识的理解和应用向综合和灵活的应用能力过度，考查学生理性思维的深度有进一步加强的趋势.
再看2013年的高考题，从以往的计算最值转变为从最值出发，计算含参目标函数中的参数，这是考查学生逆向思维的能力；而且参数是放在x变量的前面，又考查了学生的分类讨论能力；相比2010年、2011年浙江省高考题，更能全面考查学生的能力.
如果在2010年考题上，再适当地变化一下，也不失为一道好题.
1. （变式1）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，mx-y≥0且x+y的最大值为9，则实数m=________；
此题看似与原题一样，但是将参数m放到了变量x之前，由其左右部分的判定的不确定性，适当增加了其灵活性. 也可以进行双参数的变化，当然其实质性仍然没有变化.如
2. （变式2）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，mx+ny≥0且x+y的最大值为9，则实数■=________；
3. （变式3）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，nx-y-3≤0，mx-y≥0且x+y的最大值为9，则实数■=________；
4. 同时2013年高考题也可以进行这样的改进（变式四），设z=mx+ny，其中实数x，y满足x+y-2≥0，x-2y+4≥0，2x-y-4≤0，若z的最大值为12，则实数■=________.
以上这些变式，仅仅是从形式上作了改变，但数学本质仍然没有变化，考试内容仍然围绕着考纲的第2条要求，题目的灵活性更强，对学生能力要求更高.
不妨大胆设想，以后的高考中线性规划选择、填空的题型，会不会从考纲的第3点“会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决”这个角度命题呢？
例4 已知钝角三角形ABC的最大边长为2，其余两边长为x，y，则以（x，y）为坐标的点表示平面区域的面积是________.
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图2
此题以三角形为背景出发，用解三角形的知识写出其约束条件x+y>2，x2+y2
例5 （2012江苏14）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则■的取值范围是________.
简单的线性规划范文第4篇
关键词：线性规划 lingo钢筋下料水泥调配 层次分析法权重
中图分类号：F224.31 文献标识码：A 文章编号：
一、理论介绍：
系统工程的基本方法是：系统分析、系统设计与系统的综合评价（性能、费用和时间等）。在系统分析中常常采用建立系统模型的方法去解决实际问题，线性规划是属于数学模型中最常见的一种模型。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.
AHP即所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。其主要步骤：建立层次结构模型、构造成对比较阵、计算权向量并做一致性检验、计算组合权向量并做组合一致性检验、构造判断矩阵、计算权重向量、一致性检验。
二、应用举例：
1、简单的钢筋下料问题：
圆钢原材料每根长5.5m，现需要A,B,C三种圆钢材料，长度分别为3.1m,2.1m,1.2m,数量分别为100，200，400根，试安排下料方式，使所需圆钢材料的总数量最少。
解答分析：根据题意，可以初步列出下表：
切法一 切法二 切法三 切法四 切法五
3.1 1 1 0 0 0
2.1 1 0 2 1 0
1.2 0 2 1 2 4
余料 0.3 0 0.1 1.0 0.7
可以归纳出五种切法，如切法一为：切为3.1m一根,2.1m一根，余料0.3m，其他切法根据表格类似推理。
此题中决策变量为切法，设为x1，x2,x3,x4,x5。目标函数为min=x1+x2+x3+x4+x5,约束条件为：
x1+x2>=100;
x1+2*x3+x4>=200;
2*x2+x3+2*x4+4*x5>=400;
利用lingo软件：输入相应吃的简单程序，运行后，得结果：
Global optimal solution found.
Objective value:225.0000
Total solver iterations: 5
Variable ValueReduced Cost
X10.000000 0.1250000
X2100.00000.000000
X3100.00000.000000
X40.000000 0.1250000
X525.000000.000000
RowSlack or SurplusDual Price
1225.0000 -1.000000
20.000000-0.5000000
30.000000-0.3750000
40.000000-0.2500000
根据结果显示：需要的最小钢材量为225根，其中按切法一的0根，切法二的100根，切法三的100根，切法四的0根，切法五的25根。
由此题可见，对于简单的钢筋下料问题，涉及到因下料方式的不同而产生的分配情况是典型的线性规划问题，利用相关软件解决又快又方便。这对于实际的土木工程问题是一个有效破解方法。
2、土方、水泥调配问题：
建筑工地的位置(用平面坐标a, b表示，距离单位：公里)及水泥日用量d(吨)下表给出。有两个临时料场位于P (5,1), Q (2, 7),日储量各有20吨。从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。两个新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？
1 2 3 4 5 6
a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25
b 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75
d 3 5 4 7 6 11
解答分析：
记工地的位置为（a,b），水泥的日用量为d(i),i=1,…6；料场位置为（x,y），日储量为e(j),j=1,2；从料场j向工地i的运送量为c(i,j)。
同样采用lingo分析，程序简略,
运行程序，经分析结果
运送量结果如下：
工地 1 2 3 4 5 6
料场P 3 5 0 7 0 1
料场Q 0 0 4 0 6 10
3、层次分析法：
由于影响混凝土的强度的因素有很多，根据最常见的影响因素利用层次分析法来判断计算，根据yaahp软件，计算结果如下：
标度类型:1-9
最终结果
备选方案 权重
备选方案1 0.6304
备选方案2 0.3696
1. 混凝土强度 判断矩阵一致性比例：0.0576; 对总目标的权重：1.0000; \lambda_{max}：5.2583
混凝土强度 人 材料 机器 工艺 环境 Wi
人 1.0000 5.0000 6.0000 5.0000 7.0000 0.5474
材料 0.2000 1.0000 4.0000 1.0000 4.0000 0.1718
简单的线性规划范文第5篇
线性规划：数与形的完美结合
——线性规划复习初探
遂宁市安居区拦江中学：彭文俊
2005年12月5日
线性规划：数与形的完美结合
遂宁市安居区拦江中学：彭文俊
“简单的线性规划”系新教材增设的重点内容之一，因其在生产实践中的实用性和数形结合的完美性，备受高考命题者的青睐，亦在各类考试中侠踪频闪。其考法主要有以下三大类：
一、 用集合观点理解不等式表达的平面区域。
例：设平面上两点A(1,2)和B(-1,2)分布在直线2x+y+m=0的异侧，求m的取值范围。
理解说明：若点（x,y）在直线上，则二元函数f(x,y)=2x+y+m=0直线两侧的点集分别为f(x,y)>0 或f(x,y)<0的区域。
解：设f(x,y)=2x+y+m=0
由题知f(1,2)×f (1,2) <0
即 (4+m)m<0
–4<m<0
二、 考察目标函数的几何意义。
x–y+1≧0
例：设实数x , y满足约束条件 x+y–2≧0
x≦0
y≦0
求：（1）z=x+2y的最大值和最小值。
（2）y/x的最大值
（3）x2+y2–2x–y的最小值
理解说明：（1）形如z=ax+by型的线性目标函数是线性规划处理的重点问题。变形为y= – a/bx+z/b后，其意义凸现出来；即当直线y= –a/bx平移于可行域内在y轴上的截距z/b取最值时，相应目标函数取最值。
（2）令y/x=k则y=kx，则k表示过原点直线的斜率。
（3）x2+y2–2x–y= ( (x–1)2 – (y–1/2)2 )2 – 5/4表示定点（1,1/2）与可行域内动点（x,y）的距离的平方与5/4的差。
解：作出可行域如下：
（1） 作直线 x+2y=0，即y= –1/2 X平移至可行域内 滑动观察知过点B(2，2)时y= –1/2X+z/2的纵 截距最大此时z最大。过点A(2，0)时，y轴 上截距最小，即z/2最小即z最小。
故Zmax=2×2+2=6, Zmin=2+2×0=2
（2） 令y/x=k,则y=kx，显然直线y=kx过D点时，斜率k最大。
x+y–2=0
由 知D (1/2,3/2)故kmax=3。
x–y+1=0
（3）令m=x+y–2x–y= ( (x–1)2 – (y–1/2)2 )2 –5/4
定点（1，1/2）到直线AD距离最小由d=∣1+1/2-2∣=1/2 2
d2=1/8
故 mmin=1/8–5/4= –9/8
三、 求平面区域的面积。
例：求 ︳x –2 ︳+︳y –2 ︳≦2不等式表示的平面区域的面积。
理解说明：︳x –2 ︳+︳y –2 ︳≦2表示的区域可看作由
︳x ︳+︳y ︳≦2表示的区域向右向上各平移2个单位得到
故面积不变。
x≧0
解：在 ︳x ︳+︳y ︳≦2中，先作出 y ≧0 表示的区域如图中的OAB，
x+y≦2
再由对称性作出其它三个区域，构成正方形ABCD，其面积为8。
故 ︳x –2 ︳+︳y –2 ︳≦2表示的平面区域的面积为8。
简单的线性规划范文第6篇
1 求不等式组表示的平面区域
例1 （2008年湖北文5）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组|x|≤|y|
|x|
解析 由|x|≤|y|平方得x2≤y2，即（x-y）（x+y）≤0，所以原不等式组等价于（x-y）（x+y）≤0
|x|
x+y≥0
-1
x+y≤0
-1
解后反思 《课标》将最简单的线性不等式组——二元一次不等式组作为不等式部分的重要内容，并将其作为刻画区域的工具，为解决简单的线性规划问题作铺垫.本题的求解关键是对|x|≤|y|考虑平方，进而将原不等式转化为等价的不等式组，再利用“二元一次不等式组表示的平面区域”就可以得到正确答案了．
2 求平面区域的面积
例2 （2009年安徽文3）不等式组x≥0
x+3y≥4
3x+y≤4所表示的平面区域的面积等于
A.32 B.23 C.43 D.34
解析 设直线3x+y-4=0与y轴交于点C，直线x+3y-4=0与y轴交于点B，直线x+3y-4=0与3x+y-4=0交于点A，则不等式组所表示的平面区域为ABC，由x+3y-4=0
3x+y-4=0可得A（1，1），故SABC =12×|BC|×xA=43，故答案为C．图1
解后反思 求平面区域的面积，首先要准确画出不等式组表示的区域，判断区域的形状，并注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样较容易求出底和高，必要时可以分割区域为特殊图形或者将区域补充成规则图形，从而求出图形的面积．
3 求目标函数的最值（或值域）
3.1 利用截距求最值
例3 （2012年四川理9）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A.1800元 B.2400元
C.2800元 D.3100元
图2解析 设生产x桶甲产品，y桶乙产品，总利润为Z，
则约束条件为x+2y≤12
2x+y≤12
x>0
y>0，
目标函数为Z=300x+400y，
可行域为如图2所示的阴影部分．
当目标函数直线经过点M时z有最大值，联立方程组x+2y=12
2x+y=12得M（4，4），代入目标函数得z=2800，故选C．
解后反思 《课标》指出：线性规划的丰富案例体现了数学的应用正在不断渗透到社会生活的方方面面.数学思想蕴涵于案例之中，要充分关注案例的作用. 本题就是一个与现实应用联系密切的实际问题，要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．
3.2 利用斜率求最值
例4 （2012年江苏14）已知正数a ， b ，c满足：5c-3a≤b≤4c-a ， cln b≥a+cln c ，则ba的取值范围是 .
图3解析 条件5c-3a≤b≤4c-a ，cln b≥a+cln c 可化为：3·ac+bc≥5
ac+bc≤4
bc≥eac．
设ac=x，y=bc，则题目转化为：
已知x，y满足3x+y≥5
x+y≤4
y≥ex
x>0，y>0，求yx的取值范围．
作出（x，y）所在平面区域（如图3）．
求出y=ex的切线的斜率e，设过切点P（x0，y0）的切线为y=ex+m（m≥0），
则y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，须m=0．
所以yx的最小值在P（x0，y0）处取得，最小值为e.此时，点P（x0，y0）在y=ex上A，B之间．
当（x，y）对应点C时， y=4-x
y=5-3x5y=20-5x
4y=20-12xy=7xyx=7，
所以yx的最大值在C处取得，最大值为7．
所以yx的取值范围为［e，7］，即ba的取值范围是［e，7］．
解后反思 《课标》强调要从实际情景中抽象出二元一次不等式的模型，而不是像以往那样从纯数学角度提出问题.本题以三个正数a ， b ，c的不等关系为背景，考查了学生对不等式的性质、指数对数函数的基本运算以及导数、线性规划等知识点理解和掌握情况，且很好地考查了数形结合、等价转化的能力.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.
3.3 利用距离求最值
例5 （2010年福建理8）设不等式组x≥1
x-2y+3≥0
y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B， |AB|的最小值等于（ ）
A. 285 B.4 C. 125 D.2
图4解析 由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x-4y-9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式组表示的平面区域，如图4所示．
可看出点（1，1）到直线3x-4y-9=0的距离最小，故|AB|的最小值为2×|3×1-4×1-9|5=4，所以选B．
解后反思 《课标》强调借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，引导学生体会线性规划的基本思想.本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力.关键是抓住图形的对称性将所求距离转化为可行域内的点到直线3x-4y-9=0的距离的二倍，再注意三条直线的斜率的大小关系，借助几何直观判断出点（1，1）到直线3x-4y-9=0的距离最小．
例6 （2007年安徽理7）如果点P在平面区域2x-y+2≥0
x-2y+1≤0
x+y-2≤0上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为
A.5-1 B.45-1 C.22-1 D.2-1
图5解析 点P在平面区域2x-y+2≥0
x-2y+1≤0
x+y-2≤0上，画出可行域如图5，点Q在圆x2+（y+2）2=1上，那么|PQ｜的最小值为圆心（0，－2）到直线x－2y+1=0的距离减去半径1，即为5－1，选答案为A．
解后反思 此类题目主要考查线性规划的基础知识，关键是正确画出可行域.然后利用所求式的几何意义|PQ|表示可行域内的点P到圆x2+（y+2）2=1上的点Q之间的距离，可转化为圆心（0，-2）到可行域内的点P之间的距离，结合图形就容易了．
4 求参数的取值或范围
图6例7 （2012年福建理9）若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件x+y-3≤0
x-2y-3≥0
x≥m，则实数m的最大值为（ ）.A.12 B.1 C.32 D.2
解析 如图6画出可行域．
当直线x=m经过函数y=2x的图像与直线x+y-3=0的交点时，函数y=2x的图像仅有一个点在可行域内，由方程组y=2x
x+y-3=0得x=1，所以m≤1，故选B．
解后反思 本题与2010年北京理科第7题很类似.首先要准确画出不等式组所表示的可行域，其次还要明确指数函数y=ax（a>0，a≠1）的图像要通过区域D，必然有a>1，然后结合图像可知随着a的增大，指数函数的图像最后经过点A，对应得到a的最大值，由此问题便不难解决．
例8 （2011年湖南理7）设m>1，在约束条件y≥x
y≤mx
x+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）.
A.（1，1+2） B.（1+2，+∞）
C.（1，3） D.（3，+∞）图7
解析 画出可行域，将目标函数化为斜截式为y=-1mx+zm，由于m>1，故-1m>-1，因此当目标函数向上平移时最后过点A，由y=mx
x+y=1得A11+m，m1+m，由11+m+m21+m
解后反思 本小题主要考查线性规划问题中，利用最值求参数的取值范围问题.注意由m>1，得到-1m>-1，从而判断出最优解．
简单的线性规划范文第7篇
一、线性规划求解
在线性约束的条件下，对于线性目标函数进行最值问题的求解的过程，称为线性规划.最优解指的是，在目标函数z=f（x，y）取得最大值或者最小值的时候，x与y的值的大小（x，y）就成为最优解.其中若得到的最优解皆为整数，则对应的点（x，y）对应的横纵坐标都是整数，可以将这个解称为整点.最优解的求解方式是高中教材中的重要内容.经常见到的题型有：（1）题目中给出了一定量的人力、物力资源，以及一些已知条件，让学生求解：如何安排，才能在一定的时间内完成最多的任务或者取得最大的收益.（2）给出一项任务，以及一些已知的条件，让学生求解：怎样安排，才能在完成任务的情况下投入尽可能少的人员、物力资源.这部分内容在教材中属于新增加的内容，介绍的比较笼统，使学生难以理解与掌握.调整优值法是经常采用的一种求解方式，通过这种方式，能得到最优值，从而求得答案.
二、优值调整方式
1.带数值比较法.对于线性规划的最优解的调整，首先要找到一个范围.在最优解存在于可行域中时，对最优值进行调整是比较简单的一种情况，此时只需要在可行域的范围内寻找出所有的可行解，然后将每一个解都带入到目标函数中进行验证即可.通过比较代入解值得出来的结果值，便可得到调整后的最优值.这种调整方式，需要将每一个值都依次代入，适用于可行域中最优解较少的情况.
2.调整理论值.这种对最优值进行调整的方式，就是首先根据理论上的分析得出最优值存在的一个范围区间，然后在计算出理论上的最优解对应的目标函数值的前提下对于目标函数值进行逐步调整，同时需要作出对应的直线，在坐标系中画出函数图象，并且在可行域内的直线上寻找可能存在的最优解.如果存在则最优解就此找到，否则就需要对理论上的这个值进行继续调整，直到能够出现最优解为止.
3.根据范围求解.这种对最优解进行调整的方式，就是在理论最优解的基础上计算出目标函数值，并且对目标函数值进行逐步调整.在这样的前提下，将最优解带入到线性约束条件中进行消元处理，能够求出未知量x和y的范围，然后在这个范围内寻找最优解，并且进行调整.
4.逐步调整法.这种方式是在得出理论上最优值的基础上求出对应的目标函数值，并且对目标函数值进行逐步调整.在调整时，将其看作是一个二元的不定方程，从而确定出这个方程的解值，然后对其进行判断是否为可行解.
三、典型例题分析
例假如你需要开一家小店，小店里主要经营衣服和裤子.由于你的存款有限，所以在经营过程中受到很多限制.（1）由于金额不足，你每次只能最多进50件衣服；（2）最多只能进30件裤子；（3）为了保证你的小店能正常营业，你必须要有衣服和裤子一共40件；（4）你的小店在进货时，每件衣服的进价为36元，每条裤子的进价为48元.现在你只有2400元钱，假如说小店中每卖一件衣服就会增加利润18元，而一条裤子的利润是在20元.那么，你需要怎样进货，才能使小店获得最大的收益？
解：设小店进货时，进了x件衣服和y件裤子，取得的利润为z元.根据题中的条件，能得出如下方程式：0≤x≤50，0≤y≤30，
x+y≥40，
36x+48y≤2400.
简单的线性规划范文第8篇
论文关键词：总量控制 离散规划 模型
论文摘要：本文针对以往规划方法求解离散规划问题的不足，通过对离散规划模型的分析提出了求解离散规划问题的最速下降搜索解法，通过目标和容量两种总量控制类型的离散规划模型的应用实例，为实施污染物排放区域总量控制优化提供了简洁易用的规划方法。
实施污染物排放区域总量控制过程中，常常要对区域内的各个污染源排放的污染物总量进行优化，而优化的基本手段就是建立污染物排放总量控制的环境规划模型，求解则视有无离散变量，采用(混合)整数规划和线性规划方法，在以往的线性规划中，对于离散的数据常常通过一定的数学方法，如分段线性化，形成线性函数，以满足线性规划的要求。这种做法虽然暂时解决了计算上的难题，但往往使计算结果没有相应可操作的方案，在实施中造成难于操作、结果偏差大的情况。而近来广泛应用的整数规划虽然能解决离散规划问题，但要求规划者有良好的数学规划理论基础和实践经验，才有可能形成一个物理模型合理、逻辑模型清晰和数学模型精确的规划模型体系。同时，整数规划需要分配大量的决策变量，占用相当大的计算机内存资源，限制了规划模型可求解的实际规模。
1离散规划问题的数学模型
在解决环境污染实施总量控制的过程中，当污染源达到浓度控制排放标准，受纳体(如大气、水体等)仍不能实现其环境目标时，需要根据受纳体质量标准，优化分配各污染源的允许排放量，以保证总量控制的实施。优化的基本内容是环境质量标准与改善受纳体环境的技术措施及经济投资。各个污染源的技术措施及经济投资很难用一个连续函数加以表达，尤其用简单的线性连续函数表示。由此可见，离散规划问题就是在具有各污染源的若干项技术措施及对应投资的情况下，寻求满足受纳体环境质量标准或受纳体功能区质量要求的、投资最小的各个污染源的技术措施组合方案。离散规划问题的数学模型可表达如下:
从上述离散规划数学模型可见，要求解离散规划的最优解其关键是如何确定k(j)，也即每一源被优化的方案号。同时，为了求解离散规划对模型数据有如下的约定:同一污染源其排放量与投资额是一一对应的反序满单映射关系。简单地说是排放量按从小到大排列，投资额则按从大到小排列。这一约定不仅在技术上很容易做到，而且可以保证每一个源进人模型的方案是优化的。
从离散规划模型可知，该模型要求提供尸表(各个污染源不同削减措施下的投资额表)、b表(各个污染源不同削减措施下的污染物排放量表)、a表(各个污染源污染物排放对各个控制点或面的影响系数表)、ds表(各个控制点或面的环境指标值表)等4张数据表，无需环境规划者自己动手逐一描述规划模型的目标函数和约束条件，其简洁性、实用性和可操作性显而易见。
2最速下降搜索解法的基本原理
针对离散规划模型的结构和特点，离散规划的最速下降搜索解法的基本原理是:通过两种特殊组合方案，可以判定有解还是无解，是最优解还是可行解，通过试探法确定当前解是否可进一步向最优解逼近;在试探法成功的基础上，进一步求出最速下降搜索法求得的组合方案和目标函数减少最大的组合方案，前者作为下次搜索的初始组合方案，后者留待备用。离散规划的最速下降搜索解法求解方法和计算步骤详见文献〔6〕。
3目标总l控制应用实例
目标总量控制是指从控制区域容许排污量控制目标出发，制订排放口总量控制负荷指标的总量控制类型。其主要步骤为:控制区域容许排污量*总量控制方案技术、经济评价*排放口总量控制负荷指标。目标总量控制以排放限制为控制基点，从污染源可控制性研究人手，进行总量控制负荷分配。在目标总量控制中，约束条件中控制点个数m=1，影响系数a(i，j)=1，控制指标值ds(i)为控制区域容许排污量。
现以秦皇岛市某控制单元的目标总量控制为实例，该控制单元实现总量控制的污染源有9个，实施目标总量控制，其各个源技术治理措施方案的排放量与投资额见表1和表2。表中投资为o的方案即未经治理的现状方案，其相应的排放量为各源的现状排放量，该控制单元的污染物排放负荷总量为28254.4kg/d。若控制区域容许排污量为总负荷的50%，即ds=14127.zkg/d，则计算结果:最优解x(o)=〔1，l，2，l，2，1，1，1，2〕，括号内数字相应污染源的方案编号:投资为234.95万元;污染物负荷削减量为14159.6kg/d;削减率为50.11%;投资当量为60.2665kg/万元。限于篇幅，因已有离散规划软件不再给出详细计算过程。
4容量总量控制应用实例
容量总量控制是指从受纳体区域容许纳污量出发，制订排放口总量控制负荷指标的总量控制类型。其主要步骤为:受纳体区域容许纳污量一控制区域容许排污量、总量控制方案技术、经济评价*排放口总量控制负荷指标。容量总量控制以环境质量标准或功能区保护目标为控制基点，以污染源可控性、环境目标可达性两个方面进行总量控制的负荷分配。
某河流流经一城市，按照水环境功能保护要求，将该河流划分为3段，采用不同标准加以保护。为了实现环境目标，对排人该河的6个重点污染源实施容量总，量控制，其治理措施方案的排放量和投资额见表3和表4，各源对3个控制断面的影响系数见表5，3个控制断面的水质标准见表6。
利用最速下降搜索解法可以获得本离散规划问题的计算结果:最优解x(o)二〔l，2，1，2，3，1〕;目标函数值(投资)=108400(万元);负荷=3539.200(kg/d);占总负荷的45.95%;环境资源利用分配情况如表7。
5结论
离散规划模型是我国环境界在总量控制的实践中认识和提炼出来的典型环境规划模型，克服了线性规划和整数规划之不足，其计算方法充分利用了离散规划模型的自身固有规律，提出的离散规划模型体系具有规划模型结构简洁、概念明确、优化结果可操作性强等特点。正因为如此，从80年代开始离散规划得到了广泛应用。本文提出的离散规划问题的最速下降搜索解法，完全满足目标总量控制和容量控制的要求，增强了寻求最化优解的能力，可以实现区域内多个控制点或面的同时优化，进一步提高了离散规划的计算规模和计算速度，提供了灵敏度分析的手段，更适合于环境标准的科学制定和合理的科学决策。
参考文献
1钱颂迪主编.运筹学(修订版).清华大学出版社，1990.2
2杨林锡、邓成梁、甘应爱编.数学规划的原理和方法.华中工学院出版社，1985.3
3(美)d.m.希梅尔布劳著，张义案等译.实用非线性规划，科学出版社，1981.5
4车宇湖，王华东，刘培桐.大气质量标准技术经济评定的数学模型环境科学学报，1982，2(2)