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三角函数值

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三角函数值范文第1篇

关键词: 特殊角三角函数值 数形结合 函数图像 函数单调性

高一下学期一开始,教学内容就进入了三角函数。这一节公式很多,需要记忆的东西很多,但是只要学生能够每天定时定量地练习题目,公式自然能够熟练应用,而且烂熟于心。而且学生本身对公式也比较重视,因为公式的各种灵活运用,能够激发学生的兴趣。他们做完一道题目之后,会互相讨论,看还有没有其他方法。这源于笔者平时在教学过程中不断地鼓励学生去思考、去总结,不但要学会,而且要会学;把新课标强调的“提高学生自主学习能力和探究学习能力”这一思想。尽管公式学生已经很熟悉了,但是仍有学生会在三角函数的题目上卡住。为什么呢?因为这一节还出现了大量的特殊角,如30°,45°,120°,甚至还有75°。学生觉得特殊角不如公式灵活,只能去死记硬背。因为对特殊角不熟悉,导致他们看到,却不知道这就是tan60°;看到cos120°,还要苦想该用哪个诱导公式来诱导。虽然他们不止一次地体会到特殊角的重要性,但是他们仍不能接受硬背这样传统的学习方法。随着高一课程的结束,高二的解析几何、立体几何中仍旧会出现这些特殊角。现在学生若是没有记住,到了高二的时候怎么办?

针对这个问题,笔者查阅了很多资料,大概是这个问题基本都是靠硬背来解决,因此所能找到的资料甚少。一个偶然的机会,笔者看到学生在算sin30°的时候,画了一个30°的直角三角形,很显然这个方法不能解决sin210°,但是笔者还是表扬了这个学生,因为他在想办法解决问题。这个发现使笔者体会到,通过高一上函数部分的强化,学生现在已经有了画图解决问题的思想,能不能用数形结合的办法来解决这个一直让学生比较头痛的问题呢?其实学生在特殊角这部分暴露的问题很明显,对[0,90°]范围内的角度接触时间较久,比较熟悉,只是对高中阶段才推广的“大”角比较陌生。通过跟学生共同探讨,笔者发现以下几个方法比较适用。

一、利用三角函数图像

y=sinx, y=cosx, y=tanx的图像,在教材里面有三节内容,对它们的图像和性质研究是三角函数部分的重点内容。因此,若学生产能够画出它们的图像,不要说cos150°,哪怕是sin225°,或者是更大的角,也能够一眼看出。但这种方法的前提条件是,学生必须得记住这三个三角函数图像。

二、 利用直角坐标系

以sin225°为例,在平面直角坐标系中,画出225°所在的终边,再做出它的延长线,这样在第一象限内就出现了一个以它的延长线为终边的角,而此时学生就可选取非常熟悉的45°为此延长线的代表角。接下来做的事情,只需在延长线上取点P(x,y)。由图像可知,两线关于原点对称,故此,两线上的点的纵横坐标均互为相反数,则在原线上可以作出P点关于原点的对称点P′(x,y),由任意角三角函数的定义即可得出sin225°==- =- sin45°=- 。通过刚才的推导过程,也可以得出这样的结论:若两角的终边关于原点对称,则它们的正弦值(或余弦值)互为相反数。这个结论的得出,让学生知道了第三象限的角与他们熟悉的[0,90°]的角的关系,自然他们想到了第二象限和第四象限。

通过刚才的推导可知:若两角终边关于y轴对称,则它们的余弦值互为相反数,正弦值相等。从另一个方面来看,这两个角为互补的关系,所以刚才得出的结论也可叙述为:互补的两角正弦值相等,余弦值相反。第四象限的角推导过程与上述过程类似。通过作出其关于x轴的对称轴可知:若两角终边关于x轴对称,则它们的余弦值相等,正弦值互为相反数。

综上可知,若要解决特殊角的三角函数值,只需要在坐标系中,画出它的终边所在的位置,通过做它关于原点(或x轴、或y轴)对称线,找出第一象限我们非常熟悉的角,判断出符号即可。

三、利用函数单调性

对于某些连[0,90°]都记不住的学生,除了用本文一开始提出的画特殊三角形以外,还可以利用三角函数本身的单调性。由于特殊角的三角函数值只有几个数值:0,,,,1,联系y=sinx在[0,90°]内单调递增,故对号入座,sin0°=0,sin30°=,sin45°=,sin60°=,sin90°=1,相应余弦值则可通过直角三角形里得出的结论,互余的两角正余弦值互换得到。对于数值比较麻烦的15°和75°,我们可以通过构造成两角和或两角差的方法,快速算出它们对应的三角函数值。

笔者提出了这几个方法后,很多学生都不再觉得特殊角三角函数值很难背了。究其原因,是在笔者提出的方法的基础上,他们非常熟练地运用函数图像、函数单调性等函数知识。这些方法中所涉及的数形结合思想,锻炼了他们的数学思维能力,记忆的过程也成为了他们思考问题的过程。学生觉得学有所得,学有所用,这些特殊角三角函数值的记忆过程不再是枯燥无趣的几个数字,而是生动形象的图像、函数知识。而且,在这一过程中所涉及的数形结合方法,其本身就是高中数学阶段重要方法之一。

参考文献:

三角函数值范文第2篇

1.定义的掌握与运用。初中三角函数的定义是借助直角三角形在锐角中定义的,而高中是借助单位圆给出的,初学者应对这两个定义进行相对比较,感受单位圆的重要性,为后面直观讨论三角函数的图象与性质奠定基础。在掌握概念的同时应初步学会运用三角函数的定义解题,例如:根据角的终边所处的位置能迅速的判断出此角的正弦、余弦、正切的符号以及已知终边上的一点的坐标能求出三角函数的正弦、余弦、及正切值。

2. 三角函数线的应用。三角函数线是研究三角函数的几何工具,它是数形结合思想在三角函数中的体现,初学者应熟练掌握正弦线、余弦线、正切线的作法,并能运用三角函数线比较三角函数值的大小,证明三角不等式,和解一些简单的三角不等式。

3.特殊角三角函数值的记忆。记一些特殊角的三角函数值,即的正弦值、余弦值、正切值,其它的一些特殊角的三角函数值可以用这些值通过诱导公式推导出。

4.公式的推导型记忆。三角函数的公式是令初学者最头痛的事情,有同角三角函数之间关系,诱导公式,两角和与差的三角函数展开式,倍角公式,在学习的过程中有些老师还会补充一些公式,如半角公式,积化和差与和差化积公式,万能公式。为方便忆有些老师在诱导公式里还给大家总结出一些口诀,如“函数名不变,符号看象限”、“函数名改变,符号看象限”、“奇变偶不变,符号看象限”,接触口诀之初,学生如获珍宝,但过一段时间后,就混为一谈,不知所云,变什么、看哪个象限都很模糊,简直就是一头雾水。在此,笔者是不主张硬记和找规律记忆的,笔者鼓励初学者应该进行推导型记忆,三角函数的公式看起来多而杂,其实不然,它们都是可以相互推导的,同角三角函数之间的关系是用定义推导的,诱导公式是在单位圆中推导的,两角和与差的三角函数展开式除两角差的余弦公式外,其它的都是由两角差的余弦公式推导的,推导过程课本上是有的,笔者建议在记忆公式时,初学者应该立足于推导,并且是自己推导、反复推导,真正体会公式之间的联系,这样记忆的公式才是永久的,处理题目时就会信手拈来,活学巧用。

5.三角函数图象的掌握。熟练掌握正弦、余弦、正切函数图象的画法,能通过图象能够看出三角函数的性质及运用图象比较同名三角函数值的大小和解一些简单的三角不等式。

三角函数值范文第3篇

【关键词】 平方关系 切割化弦 辅助角

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772(2013)03-023-01

一、 同角三角函数的基本关系的疑问解答

1. 如何已知任意角的一个函数值求其他几个函数值?

利用周角三角函数关生系求值,主要涉及三类问题:①定值定象限问题,这种问题求解三角函数值,只有一组结果;②定值不定象限问题,这种问题求解三角函数值,有两组结果;③不定值不定象限问题,这种问题求解三角函数值,需按象限角与轴线角进行讨论,从形式上看其结果有两组。

2. 如何利用同角三角函数关系来求值,化简与证明?

在计算、化简或证明三角函数时,常用的技巧有:减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切;多项式运算技巧的运用,如因式分解等;条件与结论的重新整理、配置和改造,以便更有利于同角三角函数式的应用。

3. 何时使用“平方关系”的代换解决同角三角函数问题?

一般来说,当题中条件有正弦与余弦平方式的求值、化简或证明时,或者待求的参数值是通过同角的正弦与余弦来表示,常考虑通过平方,创造条件。比如,在条件中即出现了sinα+cosα又出现了sinαcosα,则需要考虑将进行平方利用平方关系。

4. 何时进行切与弦的转化?

通常在同一个条件关系中,即出现了正弦与余弦,又出现了正切(余切),要求值或证明相关命题,往往可考虑将弦化为切或将切转化为弦的形式,何时将弦化为切,何时将切化为弦,要视具体的题目而定。

二、两角和与差的三角函数

1. 如何推导两角差的余弦公式,其他公式是如何由此演变出来的?

首先运用向量的方法对公式C(α-β)进行推导,通过两个向量数量积的非坐标表达式和坐标表达式相等得到。对于其它公式的推导,则使用代换思想及诱导公式进行推导。比如,在C(α-β)用-β代换β得到C(α+β);而公式S(α+β)的推导应先利用诱导公式,再借助C(α-β)公式即可推出,即:sin(α+β)=cos(■-α-β)=cos(■-α)cosβ+sin(■-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ;公式T(α+β) 的推导应用了弦化切的思想,但要注意结果应使用tanα、tanβ及使其和与差角的正切有意义的角范围。

2. 利用两角和与差的三角函数公式应注意哪些问题?

(1)要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同,并积极创造条件逆用公式;(2)注意分角、并角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式;(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关公式,其别要注意的是“1”的代换。

3. 角度变换常用的思路有哪些?

在三角函数的化简、求值、证明中,常要根据已知角与目标角之间的显性或隐性的关系,通过角度变换,利用诱导公式或两角和与差的公式,来寻找解题捷径,从而把未知变成已知,使问题得到合理的解决。

4. 什么是辅助角公式?

遇到形如asinα+bcosα的代数式,常需引入辅助角φ,将asinα+bcosα利用两角和与差的正弦公式化为:asinα+bcosα=■sin(α+φ)(其中φ角所在的象限由a、b的符号确定,φ角的值由tanφ=■确定)。特别地,当a=b=1时,有sinα+cosα=■sin(α+■)。

5. 在求角或证明时,已知条件中的角与待求或待证的角如何相互表示?

在利用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值与证明的题型中,常要根据函数名与角度的差异进行角度变换。若将已知三角函数值或相关等式中的角称为条件角,而将待求的目标函数中的角称为目标角,则这两种角何时用哪个角表示另一个角,在不同的题型中是有所区别的。

6. 如何求非特殊角的三角函数值?

非特殊角的求值难度比较大,对我们熟练掌握公式并灵活运用的要求比较高。一般来说,要依据题中非特殊角之间的联系与差异,利用两角和与差公式求解。本着三角函数的实质是“由角到值”,也就是先利用运算关系变出所需角,再运用和差角求解。

三角函数值范文第4篇

2、公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin[(2k+1)π+α]=-sinα;cos[(2k+1)π+α]=-cosα;tan[(2k+1)π+α]=tanα;cot[(2k+1)π+α]=cotα。

3、公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(2k-α)=-sinα;cos(2k-α)=cosα;tan(2k-α)=-tanα;cot(2k-α)=-cotα。

4、公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin[(2k+1)π-α]=sinα;cos[(2k+1)π-α]=-cosα;tan[(2k+1)π-α]=-tanα;cot[(2k+1)π-α]=-cotα。

5、公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2kπ-α)=-sinα;cos(2kπ-α)=cosα;tan(2kπ-α)=-tanα;cot(2kπ-α)=-cotα。

6、公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosα;cos(π/2+α)=-sinα;tan(π/2+α)=-cotα;cot(π/2+α)=-tanα;sin(π/2-α)=cosα;cos(π/2-α)=sinα;tan(π/2-α)=cotα;cot(π/2-α)=tanα。

三角函数值范文第5篇

一、求三角函数值问题

高考中对三角函数的求值问题的考查大都以填空、选择形式出现,主要类型有:1.“给角求值”(即直接求值)问题,关键是正确运用同角三角函数的关系式和两角和与差、倍角公式,把非特殊角的三角函数化为特殊角的三角函数而进行求值,或把非特殊角的三角函数相约或相消.对公式的选择基于对函数名、角的差异的考虑,如“切、割化弦”、“弦化切”、“单角化复角”、“降幂、升幂”等;2.“给值求值”(即附有条件的求值)是三角函数求值的另一类常见问题,关键是找出已知式与待求式之间的角与函数的名称,以及有关运算之间的差异及联系.可将已知式进行适当变换,以向待求式转化,也可将待求式进行变换代入已知式.

例1.(2011全国•理14)已知α∈(,π),sinα=,则tan2α= .

分析:本题考查了同角三角函数关系式.

解:由α∈(,π),sinα=,得cosα=-,tanα=-,tan2α==-.填-.

例2.(2011福建•文9)若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于( ).

A. B. C. D.

分析:本题考查二倍角公式和同角三角函数关系式,先利用余弦函数的倍角公式cos2α=1-2sin2α,在附加条件α∈(0,)下,由同角三角函数平方关系:cosα=和商的关系tanα=即可求解.

解:由cos2α=1-2sin2α,sin2α+cos2α=,1-sin2α=,又α∈(0,),sinα=,cosα==,tanα==.

由上述两个例子可以看出,高考淡化了三角变换公式的应用考查,在求值问题的考查也都是一些基本的运算问题.

二、有关三角函数的图象与性质问题

三角函数的图象与性质在高考解答题中出现的频率较高,正确理解三角函数的性质,记住三角函数的图象,根据图象并结合整体代入的基本思想可以较容易地处理三角函数的单调性、最值、周期等有关问题,此外,我们还要熟悉以下式子:asinα+bcosα=sin(α+φ),sinα±cosα=sin(α±).sinα±cosα=2sin(α±).

例3.(2011全国•文7)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则f(x)的最小值等于( ).

A. B.3 C.6 D.9

分析:将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了是此函数周期的整数倍.虽稍有灵活,但仍是对基本功进行考查.

解:由=•k(k∈Z)题,解得ω=6k,令k=1,即得ωmin=6,g()=,选C.

例4.(2011浙江•文18)已知函数f(x)=Asin(x+φ)(x∈R,A>0,0<φ<)的部分图像如图所示,P、Q分别为该图像的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及φ的值;

(Ⅱ)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,求A的值.

分析:本题主要考查三角函数的图象与性质、三角函数运算等基础知识.

解:(Ⅰ)由题意得,T==6,因为P(1,A)在y=Aisnx+φ的图象上,所以,sin(x+φ)=1.又因为0<φ,所以,φ=.

(Ⅱ)设点Q的坐标为(x0,-A),由题意可知x0+=,得x0=4,所以,Q(4,-4),连接PQ,在PRQ中,∠PRQ=由余弦定理得

cos∠PRQ===.

解得,A2=3.又A>0,所以A=.

通过复习,把握问题的本质和要害,利用函数图象增加学生解决数学问题的直观性,是复习的主要策略思路.

三、解斜三角形问题

高考对正、余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化,三角形形状的判断,三角形内的三角函数求值及三角恒等式的证明等基本问题.对于三角形形状的判断可以根据角进行判断,也可以根据边进行判断,因此这类问题通常可以用两种方法来解决,而根据三角形的内角和为180°可知,若三个角成等差数列,则一定有一个角为60°,这也往往是解决问题的突破口.三角形的面积公式有几种不同形式,在应用中要灵活选择,有些问题中需要对角进行变化,就需要三角函数的基本公式,这些公式不但可以起到化简条件的作用,有时候还是解决问题的突破口.

例5.(2011四川•理6)在ABC中.sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinc,则A的取值范围是( ).

A.(0,] B.[,π) C.(0,] D.[,π)

分析:按题意由正弦定理及余弦定理可得:

a2≤b2+c2-bc?圯b2+c2-a2≥bc?圯≥1?圯cosA≥?圯0<A≤,选C.

例6.(2011江西•理17)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a、b、c,sinC+cosC=1-sin.

(Ⅰ)求sinC的值;

(Ⅱ)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.

分析:本题考查了同角三角函数的基本关系、倍角公式和余弦定理,考查了基本运算能力.

解:(Ⅰ)已知sinC+cosC=1-sin,

2sincos+cos2-sin2=cos2+sin2-sin

整理即有:2sincos-2sin2+sin2+=0?圯sin〔2cos-2sin+1〕=0,

又C为ABC中的角,sin≠0,

sin-cos= 〔sin-cos〕2=,-2sincos+cos2+sin2=,

2sincos=,sinC=,

(Ⅱ)a2+b2=4(a+b)-8,

a2+b2-4a-4b+4+4=0,(a-2)2=0?圯a=2,b=2,

又cosC==,c==-1.

例7.(2011湖南•理17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.

(Ⅰ)求角C的大小;

(Ⅱ)求sinA-cos(B+)的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小.

分析:本题主要考查正弦定理、三角恒等变换以及函数y=Asin(ωx+φ)+B的单调性.

解:(I)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC,

因为0<A<π,所以sinA>0,从而sinC=cosC.又cosC≠0,所以tanC=1,则C=.

(II)由(I)知B=-A,于是,

sinA-cos(B+)+sinA-cos(π-A)

=sinA+cosA=2sin(A+),

0<A<,<A+<,从而当A+=,即A=时,2sin(A+)取最大值2.

综上所述,sinA-cos(B+)的最大值为2,此时A=,B=.

三角函数值范文第6篇

关键词: 中学数学 三角函数问题 数学思想

一、数形结合思想

数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题.可以借助数的精确性来说明形的某些属性;也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系.体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图像求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等.

例1.比较sin,cos,tan的大小.

解析:这些角都不是特殊角,求出值来再比较行不通,但如果我们注意到,,相差较大,容易利用单位圆上的三角函数线区分比较它们各自函数值的大小.

如图所示,

设a=sin,b=cos,c=tan,

可知,b<0<a<c,

因此,cos<sin<tan.

二、分类讨论思想

分类讨论是一种重要解题策略,“分类”,相当于缩小讨论范围,故能使复杂问题简单化,从而将问题化整为零,各个击破.体现在三角函数值受角所在象限的影响,在不同的象限有不同的三角函数值,因此就应根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论.

例2.化简:cosπ+α+cosπ-α,(n∈Z)

解析:原式=cosnπ++α+cosnπ--α

(1)当n为偶数即n=2k,(k∈Z)时:

原式=cos2kπ++α+cos2kπ--α

=cos+α+cos+α=2cos+α

(2)当n为奇数即n=2k+1,(k∈Z)时:

原式=cos2kπ+π++α+cos2kπ+π--α

=-cos+α-cos+α=-2cos+α

cosπ+α+cosπ-α=(-1)2cos+α

三、转化与化归思想

把所研究的问题转化为与之等价的问题,将陌生问题转化为熟悉问题,从而于找出问题的解决方法.体现在三角函数中就是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值(域)、最值、比较大小等问题.

例3.求函数y=tanx+cotx-secx-cscx,x∈-,0的值域.

解析:先切割化弦,统一函数名称,

得y=+--=.

令t=sinx+cosx,则sinxcosx=,t=sinx+

因为x∈-,0,所以t∈(-1,1)

于是求原函数的值域就转化为求函数y=-,t∈(-1,1)的值域,解得y∈(-∞,-1).

因此,原函数的值域为(-∞,-1).

四、整体的思想

体现在三角函数中主要是利用整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等.

例4.已知为三角形的一个内角,且满足sinx+cosx=,求sinx-cosx的值.

解析:由条件和问题联想到公式(sinx±cosx)=1±sinxcosx,可实施整体代换求值.

由sinx+cosx=两边同时平方,得sinx+2sinxcosx+cosx=,

即2sinxcosx=-.

因为(sinx-cosx)=1-2sinxcosx=,

又因为x为三角形的一个内角,sinx+cosx=>0,2sinxcosx=-<0,

所以sinx>0,cosx<0,则sinx-cosx>0.

所以sinx-cosx=.

五、函数与方程思想

三角函数本身就一种特殊的函数,解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想.体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值(范围)问题;有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解,还有一些三角问题,依据题设条件和求角结构,适当选取三角公式联立组成方程组,以达到消元求值的目的,这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最直接体现.

三角函数值范文第7篇

关键词:高中数学;三角函数;问题

高中数学中,三角函数是教学重点,也是高考热点、难点,在高中考试题目中难度适中,出题灵活多变,学生既容易得分,也容易失分,因而必须加强对这一部分教学的关注度。三角函数中,学生做题容易出错的地方主要在对向量公式、原理的把握不够,抽象思维能力不强,从而图象平移、三角函数求值、单调性等方面容易出错,具体如下。

一、在求角的过程中,没有注意三角函数的名称选择

注解:利用已知三角函数值求解角的题目,是对三角函数公式的逆运用,同时也涉及角的象限,因而,必须选择恰当的三角函数。要根据题目中所给定的角的范围,去确定未知角的范围及象限,再由角的象限及三角函数在各个象限中符合,来确定合适的三角函数,避免增解的产生。

二、没有把握好三角函数的平移概念

高中数学三角函数中,平移是将图形与公式相结合的重要板块,学生往往会难以把握,进而产生解题失误,影响到数学成绩,因而必须厘清平移概念,把握好平移技巧,才能有效避免错误。

总之,高中三角函数教学过程中面临诸多问题,学生容易进入误区,如在三角函数求值时没有注意三角函数的名称选择、没有把握好三角函数的平移概念、忽略三角形内角和定律,因而要综合把握三角函数的概念、公式、角的变化范围、值域与图像的变化,注意公式的合理选择、角的范围的确定等因素对三角函数值域的影响,要对三角函数图像进行正确把握,研究三角函数的性质,注意细节,把握易错点,才能够尽可能地在三角函数求解的过程中少犯错误,获得好的学习效果。

参考文献:

三角函数值范文第8篇

tan63.43°等于2。tan是正切函数,是三角函数的一种。三角函数是基本初等函数之一,是以角度为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

三角函数也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值。

(来源:文章屋网 )