三角函数

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三角函数范文第1篇

考点一、任意角和弧度制及任意角的三角函数【考点解读】 三角函数的概念在高考中单独命题较少，但几乎所有三角函数试题都离不开这部分内容，同时该内容也是研究三角函数的性质，解决三角问题的基础.理解任意角、终边相同的角及弧度制等概念，能够根据条件利用三角函数的定义求某些三角函数.在解三角不等式时，数形结合利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

例1已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧长l及该弧所在的弓形面积.

（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

（3）若将该扇形的圆心放在坐标原点，使角α的始边与x轴重合，已知角α的终边上一点P的坐标为（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ

【思路点拨】 （1）可直接使用弧长公式计算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，弓形面积由扇形面积与三角形面积的差组成，然后确定其最大值.（3）利用三角函数的定义求解，注意对y的讨论.（4）利用终边相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由题意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

当且仅当R=5时，S有最大值25（cm）2.

此时l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

当α=2rad时，扇形面积取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以当y=5时，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

当y=-5时，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到适合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【归纳总结】 扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，应注意角度制与弧度制不能混用.合理利用圆心角所在的三角形，合理选择参数，运用函数思想、转化思想，解决扇形中的有关最值问题.利用定义法求三角函数值需要已知或设角α终边上一异于原点的点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

【变式训练1】

（1）已知角α的终边在直线y=-3x上，则10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助计算器的情况下，证明：sin20°

考点二、三角函数的同角公式及诱导公式

【考点解读】 求值题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，利用三角公式进行恒等变形的技能.题型多为选择题或填空题.六组诱导公式可统一记为“奇变偶不变，符号看象限”.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.切弦互化的技巧必须灵活掌握.

例2（1）设θ为第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，则sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】 （1）利用两角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再联想平方关系式，解题突破口就是求解关于“sinθ，cosθ”的方程组.（2）要想求出α，β的值，必须知道α，β的某一个三角函数值，解决本题的关键是由两个等式，消去α或β得出关于β或α的同名三角函数值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假设存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由诱导公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

将α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

将α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

综上可知，存在α=π14，β=π16满足条件.

【归纳总结】 （1）对于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）关于sinθ，cosθ的齐次式，往往化为关于tanθ的式子.已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式.

【变式训练2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考点三、三角函数的图象和性质

【考点解读】 能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，理解这三种函数的性质（如周期性、单调性、奇偶性、最大值和最小值、对称中心和对称轴等），函数的单调性是相对于某一区间而言的，研究其单调性必须在定义域内进行.

例3（1）求函数y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定义域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及单调区间；

（3）求函数y=3cosx-3sinx的值域.

【思路点拨】 （1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解.（2）先化为：y=-3tan（x14-π16），再求单调区间.（3）先将原函数式进行等价变形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自变量的取值变化.

【解析】 （1）要使函数有意义，则

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如图利用单位圆得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函数的定义域为：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期为4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递减.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，该函数值域为[-23，23].

【归纳总结】 （1）求三角函数的定义域，既要注意一般函数定义域的规律，又要注意三角函数的特性，如题中出现tanx，则一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函数的定义域通常使用三角函数线、三角函数图象和数轴.（2）对于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ为常数），其周期T=π1|ω|，单调区间利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范围，即为其单调区间.（3）将原函数式化为一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化为关于sinx（或cosx）的二次函数式，切忌忽视函数的定义域.

【变式训练3】

已知函数f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函数f（x）单调递增区间.

考点四、函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用【考点解读】 该考点是高考的必考点.理解函数y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意义及其对函数图象变化的影响.能根据所给三角函数的图象和性质确定其中的参数，并能由一个三角函数的图象通过平移变换、伸缩变换、振幅变换和对称变换得到另一个三角函数的图象.利用三角函数的解析式可研究三角函数的性质和图象.会用三角函数解决一些简单实际的问题.

例4已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由.

【思路点拨】 （1）根据题目给出的周期和对称中心求得函数f（x）的解析式，利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步得到g（x）；（2）将等差数列问题转化为方程在指定区间内是否有解的问题，再构造函数，利用函数的单调性确定零点的个数.

【解析】 （1）由函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω>0，得ω=2，

又曲线y=f（x）的一个对称中心为（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π12个单位长度后得到函数g（x）=sinx.

（2）当x∈（π16，π14）时，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）内是否有解.

设G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因为x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）内单调递增，

又G（π16）=-1140，

且函数G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π16，π14）内存在唯一零点x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）满足题意.

【归纳总结】 探讨三角函数的性质，难点在于三角函数解析式的化简与整理，熟练掌握三角恒等变换的有关公式，灵活运用角之间的关系对角进行变换，将解析式转化为一角一函数的形式，然后通过换元法求解有关性质即可.根据y=Asin（ωx+φ）+k的图象求其解析式的问题，主要从A、k、ω及φ等四个方面来考虑.

【变式训练4】

（1）函数y=2sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是.

（2）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在图中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同学在RtACH中解得AC=11cos72°，据此可得cos72°的值所在区间为.

考点五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及简单的三角恒等变换【考点解读】 该考点是高考的必考点.研究不同三角函数值之间的关系时，常以角为切入点，并以此为依据进行公式的选择，同时还要关注式子的结构特征，通过对式子进行恒等变形，使问题得到简化.在进行三角运算时必知的几个技巧：“1”的代换，正切化弦，异角化同角，异次化同次，变角，变名，变结构等化简技巧.

例5已知函数f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路点拨】 （1）直接代入，根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出结果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角变换公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因为cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【归纳总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.公式的逆用，变形十分重要，常通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数.

【变式训练5】

31cos10°-11sin170°=.

【变式训练答案】

1.解析：（1）设α终边上任一点为P（k，-3k）.则r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

当k>0时，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

当k

三角函数范文第2篇

关键词：三角函数；单位圆；周期

1.任意角的三角函数的概念和教材分析

1.1内容分析

1.1.1背景分析。三角函数作为拥有与对数数和指数函数同等重要的地位，应该在构建基本的知识体系过程中将基本概念与基本认知相结合的方式作为学生教学的重点。认识三角函数的的本质属性石函数中的一个特例，具有函数的下一级的概念。通过在概念的进一步精化过程中，加深学生对三角函数基本概念即正切、余弦和正弦的进一步理解，同时掌握单位圆的作用。

1.1.2教学的目标。作为三角函数概念在教材分析中的重要学习目标之一，对于任意角的三角函数的定义的学习不可忽视。掌握三角函数的诱导公式，并记住三角函数的定义域与值域也相当重要。同时，学生还应该在已知∠a终边上的一点，会求解角的正弦，余弦和正切值。另外，培养学生各方面的能力目标也是三角教学中的重要目标之一。梳理三角函数的基本概念和内容，树立正确的映射观，理解其实以实数为自变量的函数。同时通过对诱导公式，定值域的进一步教学加深理解三角函数的实质。教育教学改革中明确提出对学生德育教育的要求，在进一步的教学过程中，严谨自学的科学学习精神会在转化思想的学习过程中会得到培养。养成教育也会培养学生的自主学习理念，树立正确的价值观念，让学生深刻的认识到事物之间是有一定的联系的观念。提高学生分析问题、解决问题的能力。

1.1.3教学的难重点。三角教学中的难点是如何利用与单位圆有关的一些基本概念例如有向线段、任意角的三角函数值等用集合的形式表现出来。这些都是教学中的难点。那么什么是教学中的重点呢？在教学中如何有效的帮助学生理解任意角的三角函数的正弦、正切和余弦的定义并在这个过程中突出单位圆的重要作用，则是三角函数教学的重点。

1.1.4知识结构图析

1.1.5其中包含的数学思想、类比联想的思想、数形结合的思想、化归转化的思想。

1.2教材分析的方法和原则

教材分析的方法是教与学相结合的方法，实践与理论相结合的方法。教材教学的原则是突出数学思想的原则、以学生为中心的原则、课表与课标相结合的原则以及教师为主导的原则等。

2.三角函数的宏观整体把握

2.1内容分析

2.1.1背景介绍。在高中阶段的学习中，三角函数是一项重要的学习知识点。它涉及到的不仅仅是数学，还有生物、物理等其他学科。在高考中也占据相当一部分的分值比例。另外，作为学习过程中的工具性，它的应用也是十分广泛的，可以对生活中大量的周期性现象进行描绘，也是数学建模的重要重要基础工具之一。通过学习和研究三角函数的基本内容和概念性质从而对周期性变化规律中的问题的解决打下基础。

2.1.2 教学目标。（1）过程与方法：通过对本章内容的学习，从而使学生在解决函数概念的问题上的能力得到提高，也能更加加深学生对相关概念、内容的理解。（2）知识与技能的培养：学习中对知识的技能与知识的培养是极其重要的，它是学生高效学习的保障，也是学生在处理复杂的数学问题时必须必备的技能之一。学生通过任意角内容和基本概念的认识和了解，从而借助单位圆更加形象直观的体会三角函数的美学价值，加深对三角函数概念的进一步掌握。

2.1.3知识架构

2.1.4重难点。三角函数知识在解决集合、代数和实际问题上的解决时重点。图像和性质以及诱导公式是难点。

2.1.5蕴含的数学思想方法。数学思想方法大致分为如下八类。（1）化归转化思想；（2）方程思想；（3）分类讨论思想；（4）换元法；（5）整体的方法；（6）类比联想的方法；（7）数形结合的思想；（8）分类讨论的思想。

2.16 教育学习的价值。三角函数宏观把握不仅可以有助于学生加深对数学各内容之间的理解和联系，而且还可以更好的体验发现和学习的创造过程。是学生解决世界生活中的问题以及体会实际生活与数学联系的重要桥梁。从而有助于学生的推理能力与运算能力的提高。

2.2 教材分析的原则与方法

原则；以教师主导为主要原则，引导学生为辅助原则，并构建数学思想方法的原则，同时加深理论与实际相结合的原则。方法；学与教相结合的方法；理论与实践相结合的方法。

3.三角函数的特定内容的分析

作为本章学习的重要角色，单位圆在本章中扮演的是更加直观明晰的解决三角函数中的一些复杂棘手的问题。那么如何运用单位圆来有效的解决三角函数的问题呢？这要从如下的五个方面来说明这个问题。其一、三角函数，作为一个很有自身特点的函数，本身具有的多层次的性质。在利用单位圆的良好几何特性的优势来克服三角函数中只有数的劣势，它为同学们掌握同角三角函数的基本特点关系时，为更有效的理解诱导公式及三角函数的性质和图像提供了更大的便利。其二、以单位圆为基础，诱导出三角函数单位圆定义，这是数学中数形结合的重要典范之一。是学生掌握数学思想方法的有利手段。其三、单位圆定义正弦、正切和余弦这三个三角值是数向图转换的一个典范。运用平面坐标系统建立三个角度的弧度数到终边角与单位圆的交叉结合让学生在学习过程中更加形象明了的掌握三个角的深层次的内涵。其四、单位圆为学生在学习三角函数如何刻画周期现象的过程并以此建立正确的数学模型。数学建模是大学的一个重要学习课程，这也为学生的大学深造打下良好的基础。其五、过重的角它是通过一条射线绕着一个点来旋转出来的，它与初中角的概念的由来有很大的区别，运用单位圆可以作为三角函数基本角的定义即用圆的基本角来定义三角函数。

参考文献：

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[2]但泉水.诱导公式的新概括[J]. 数学通讯.1998（03）

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[4]张绍林，王江.浅谈函数奇偶性、周期性、对称性之联系[J].数学教学. 2008（04）

[5]周永福.勾股定理在三角函数及反三角函数计算中的应用[J].天津教育. 1982（09）

[6]任克温.有条件的三角函数求值问题[J]. 数学教学通讯.1986（01）

[7]赵明仁，焦伟红.关于诱导公式教学的探索[J].河北能源职业技术学院学报. 2008（02）

[8]成克利.在三角教学中引入对应锐角的尝试与体会[J].数学教学研究. 2004（02）

三角函数范文第3篇

1、高中三角函数公式主要有tana·cota=1sind·cscd=1cosa·seca=1，sind/cosd=tand=secd/csca cosa/sind=cotd=cscd/seca等。

2、三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

（来源：文章屋网 ）

三角函数范文第4篇

例1若α, β为第一象限角,且α>β,则

(A) sinα>sinβ (B) sinα

错解: 函数y=sinx在第一象限是增函数, α>β, sinα>sinβ,选A.

错因分析: 象限角的概念不清,误将第一象限角理解成0,上的角. 若取α=2π+,β=,可知A明显不对.

正解:第一象限角的取值范围为2kπ,2kπ+(k∈Z), 当α=2π+,β=时,sinαsinβ,即三种大小关系都有可能. 选D.

二、忽略隐含条件,扩大取值范围

例2已知α∈(0,π)且sinα+cosα=,则cos2α的值为

(A) (B) - (C) ± (D) -

错解: 将sinα+cosα=两边平方,得1+sin2α=, sin2α=-. 又 α∈(0,π), 2α∈(0,2π), cos2α=±=±=±,选C.

错因分析: “错解”忽略了sin2α=-中的隐含条件. 由sin2α=-可知 2sinαcosα=-0,cosα0, sinα>cosα. 由正弦函数及余弦函数的图象可得:α∈,, 2α∈π,, cos2α

正解: 由“错解”可知,sin2α=-,由“错因分析”可知cos2α

-. 选B.

例3在ABC中,sinA=,cosB=,则cosC=.

错解: 由sinA=,cosB=可得cosA=±,sinB=. ∠A+∠B+∠C=π, cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=sinAsinB-cosAcosB, cosC=×-×=,或cosC=×--×=.

错因分析: 忽略了在ABC中cosB=所隐含的条件,并且在求解过程中扩大了∠A的取值范围. 由cosB=>0可知B∈0,. 由“错解”可知sinB=>sinA,由正弦定理=可得b>a, ∠B>∠A. B∈0,, A∈0,, cosA>0,即cosA不可能为-.

正解: 由“错因分析”可知cosA>0, cosA=. cosC=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.

例4已知3sin2α+2sin2β=2sinα,则sin2α+sin2β的取值范围是

(A) -, (B) 0, (C) 0, (D) ,

错解: 3sin2α+2sin2β=2sinα, sin2β=, sin2α+sin2β=sin2α+(2sinα-3sin2α)=sinα-sin2α=-(sinα-1)2. sinα∈[-1,1], 当sinα=1时,sin2α+sin2β有最大值;当sinα=-1时,sin2α+sin2β有最小值-. 选A.

错因分析: 错解没有考虑题目的隐含条件,扩大了sinα的取值范围. sin2β∈[0,1], 0≤≤1;又 3sin2α+2sin2β=2sinα, sinα≥0. 由0≤≤1可得sinα∈0,, sinα无法取到-1和1.

正解: 由“错因分析”可知sinα∈0,. sin2α+sin2β=-(sinα-1)2,令y=-(sinα-1)2,则y的图象是以sinα=1为对称轴、开口向下的抛物线. sinα∈0,时,y=-(sinα-1)2单调递增, 当sinα=时,y有最大值,即(sin2α+sin2β)max=;当sinα=0时,y有最小值0,即(sin2α+sin2β)min=0. 选C.

三、忽略三角函数自身的定义域

例5求f(x)=的定义域.

错解: 2cosx+1≥0,tanx≠0, 2kπ-≤x≤2kπ+,x≠kπ.故函数f(x)的定义域为x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ,k∈Z.

错因分析: “错解”考虑到了要使分式成立分母必须不为0,即tanx≠0;但是忽略了正切函数自身的定义域,即要使tanx有意义,则必须有x≠kπ+(k∈Z).

正解: 由“错解”及“错因分析”可知,f(x)的定义域为x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ且x≠kπ+,k∈Z.

四、误用三角函数的图象与性质

例6已知0≤x≤π,求函数y=sinx-cosx的最大值和最小值.

错解: y=sinx-cosx=sinx-, 0≤x≤π,-≤x-≤, -≤sinx-≤. ymax=1, ymin=-1.

错因分析: 单调函数的最值在边界上,但正弦函数在闭区间-,上不单调,因此,函数最值不一定在区间端点处取得.错解误用了函数单调性.

正解: 由“错解”可知x-∈-,,由正弦函数的图象可知-≤sinx-≤1,所以当sinx-取得最大值1时,ymax=;当sinx-取得最小值-时,ymin=-1.

五、未弄清三角函数图象变换的实质

例7要得到函数y=sin2x-的图象,只需将函数y=sinx的图象

(A) 先将每个x值扩大到原来的4倍,y值不变,再向右平移个单位

(B) 先将每个x值缩小到原来的,y值不变,再向左平移个单位

(C) 先把每个x值扩大到原来的4倍,y值不变,再向左平移个单位

(D) 先把每个x值缩小到原来的,y值不变,再向右平移个单位

错解: 变换前函数为y=sinx,变换后函数为y=sin2x-,都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数. ω从变成2,是原来的4倍,φ从0变成-,因此是先将x值扩大为原来的4倍,y值不变,再向右平移个单位. 选A.

错因分析: ω从变成2,确实是原来的4倍,但是变换是针对自变量x而言的,所以是把每个x缩小到原来的. 同样的,横向平移也是针对x而言的,y=sin2x是经过了如下变换:sin2xsin2x-=sin2x-,从而成为y=sin2x-,所以是向右平移个单位.

三角函数范文第5篇

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1.回忆：初中是任何定义角的?(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2.讲解：“旋转”形成角(P4)

突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于轴正半轴

3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角或可以简记成4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1°角有正负之分如：a=210°b=-150°g=-660°

2°角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周(360°×2=720°)3周(360°×3=1080°)

3°还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限)

例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角

585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等

四、关于终边相同的角

1.观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同

2.终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和

390°=30°+360°-330°=30°-360°30°=30°+0×360°1470°=30°+4×360°-1770°=30°-5×360°3.所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和

4.例一(P5略)

五、小结：1°角的概念的推广

用“旋转”定义角角的范围的扩大

2°“象限角”与“终边相同的角”

三角函数范文第6篇

关键词：三角变换 图像平移 解三角形 基本知识 基本技能 转化与化归

中图分类号：G633.6 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.117

三角函数是中学数学中一种重要的函数，它的定义和性质涉及的知识面广，并且有许多独特的表现，所以它是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，三角函数又和代数、几何有密切的联系，因此，它又是研究其他知识的重要工具，在高中数学中有着广泛的应用，三角函数在高考中既有选择题、填空题，一般也都有一道解答题，因此，我们既要注重它的基础性和工具性，又要兼顾它的灵活性和新颖性，注意培养应用三角工具解题的习惯，提高分析问题和解决问题的能力。

下面以2013年新课标全国Ⅱ卷（文、理）三角函数试题为例做粗浅解析。

1 原题再现

①（文4）ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，b=2，B=[π

6]，C=[π

4]，则ABC的面积为多少？

②（文6）已知sina2α=[2

3]则=cos2（α+[π

4]）=？

③（文16）函数y=cos（2x+）（-π≤≤π）的图像向右平移[π

2]个单位后，与函数y=sin（2x+[π

3]）的图像重合，则=__？

④（理15）设θ为第二象限角，若tan（θ+[π

4]）=[1

2]，则sinaθ+cosθ=__？

⑤（理17） ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求ABC面积的最大值.

2 试题解析

①这道解三角形的考题，以小题形式出现，属容易题。解三角形问题主要指求三角形中的一些基本量，即求三角形的三边、三角、面积等，它的实质是将几何问题转化为代数问题，解题关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序。本题考查的知识点有：正弦定理，面积公式，诱导公式和角正弦公式。

②这道题属于利用三角恒等变换求三角函数值的类型，三角函数化简的通性通法是从函数名、角、运算三方面进行差异分析，再利用三角变换使异角化同角、异名化同名、高次化低次等。求解此类问题的关键是能根据问题的特点发现差异（观察函数名、角运算间的差异），寻找联系（运用相关三角函数公式，找出差异之间的内在联系），合理转化（选择恰当的三角函数公式，促使差异的转化）。尽管此题属一道容易题，但是学生对于掌握升降幂公式历来都是一个难点，常常犯错。因此，我们在教授此知识点时，一定要让学生大量练习，灵活掌握。教材在这部分内容上给出了大量的习题，目的也在于此，所以高考备考复习时要抓纲务本，重视基础。

③这道图像变换题作为填空题的压轴题出现，对于文科学生来说还有一定难度，难度一：函数名、角不同；难度二：图像平移变换；难度三：正、余函数间的相互转化（利用诱导公式）。高考对三角函数的图像变换主要考查两种类型：先作周期变换、再作相位变换；先作相位变换、再作周期变换。

④这道题中，角的范围限定，属于容易题，但也有一定的综合性，因为集知识性、思想性、方法性于一体，不失为一道好题：a.考查和角正切公式；b.考查方程思想和化切为弦的转化思想；c.考查同角三角函数关系。

⑤解三角形问题是三角函数问题的姊妹题，在高考中与三角函数具有同等重要的位置，近几年新课标高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主。在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角两角和与差的正三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值。这道题作为解答题的第一个门槛，学生需要一定的知识储备和灵活的逻辑推理能力。它以考查正弦、余弦定理及三角形面积公式为载体，以边角转化思想与和角正弦公式为纽带，以基本不等式放缩为技巧，带有一定的综合性和灵活性，属于中档题，且有一定的难度，这道题困扰学生思维的地方有：第一，化边为角的转化思想（正弦定理）；第二，角A正弦转化为角B+C正弦的转化思想；第三，运用基本不等式放缩求最值的技巧。像这种体现基本知识、基本技能和基本技巧于一身的优秀考题，我们在今后的备考复习中应多加训练，融会贯通。解答如下：

（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB ①；

又A=π-（B+C），故sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC ②；

联立①，②和C（o，π）得sinB=cosB.由于所以B（o，π），所以B=[π

4]。

（Ⅱ）ABC的面积S=[1

2]acsinB=[ [2]

三角函数范文第7篇

在高中数学概念的学习中，有些概念是可以通过与环境的联系来习得的，如大部分基本图形的定义，很容易就能在现实中找到相应的例子，但也有一些数学概念是不能通过这种途径习得的，如高中数学中三角函数的概念，这类概念只能用语言来作出界定，只能依靠高中生门对这些语言的“内涵”与“外延”的理解与学习。这就造成了三角函数概念的抽象性，很多学生包括我在内在角、函数、任意角三角函数等概念的认知上与老师要求的程度还存在不小的差距，同学们普遍反映三角函数的学习很困难，很多学生宁愿使用建立代数函数的方法解决三角形相关问题。可以说，三角函数是高中生数学学习的一个难点。针对这种现象，我结合自自己的学习经验，对造成这种现象的原因进行了分析，并总结了高中三角函数概念的建构方法，希望能对在三角函数概念上有所困惑的同学有所帮助。

一、三角函数的教学难点及其原因

三角函数是高中生接触到的第一个有多对一对应关系的函数，也是高中数学的教学重点之一，更是沟通代数与几何的桥梁。对高中学生而言，三角函数概念的学习存在困难已经成为不可争辩的事实，那么，这些困难具体有哪些方面的表现呢？为此，我对班内的同学们进行了调查，结果表明绝大部分学生都能使用初中学到的锐角三角函数知识解直角三角形，但普遍不理解锐角三角函数的定义，如回答“在直角三角形ABC中，∠C为直角，则∠A的三角函数是只与∠A有关，还是与RtABC有关？”这个问题时，有接近80%的学生回答与RtABC有关。

为了探讨产生这种现象的原因，我查阅了初中教材上对三角函数的定义。发现在初中数学教材中，三角函数都是在直角三角形中来定义的，利用直角三角形边与边的比来定义锐角的正弦、余弦与正切函数，虽然教材也对高中三角函数的引入进行了一定的铺垫，但从当前高中阶段在三角函数方面的学习效果来看，这些铺垫很显然没有起到多大效果。究其原因，首先是部分初中数学老师们在教学时偏重于对解题的教学，忽视对定义的教学，其次是很多教材在章头问题上存在不少先入为主的影响。在本次调查中，发现能准确理解并掌握三角函数概念的学生，只占了不到班内总人数的20%，有接近50%的学生在三角函数概念的理解上存在不同程度的困难。在调查中，很多学生都谈到了以下两个问题：（1）为何高中教材要用坐标法来定义三角函数概念呢？（2）在用坐标法定义三角函数概念时，为何∠α中边上的点P能够任意选取呢？那么如何帮助同学们建构三角函数这一概念结构呢？为此我积极向老师请教，和同学们探讨，思考出了以下几点采取措施。

二、高中三角函数概念的建构方法

1.复习初中三角函数的定义，建构三角函数的新定义

从复习初中教材入手，有助于激活学生对相关内容的记忆。再利用高中函数观点来解析初中三角函数概念，即“高中三角函数概念是对初中三角函数概念的深化，也是对初中三角函数概念的局限性（主要指定义域上的局限性）的揭示，是建构三角函数新定义的‘催化剂’”。函数思想是高中数学学习的重要内容，对帮助学生理解三角函数新定义具有很大的帮助，是学生实现从旧定义向新定义转化的有力保证。在高中函数定义的解释下，学生能准确的看到初中定义的不足：旧定义中的自变量局限为锐角，只能解决锐角三角函数的相关问题，而高中三角函数概念中，角的范围变大了，因此，三角函数的定义域也必须相应扩大才行，将角纳入到直角坐标系中，在规定了始边与终边之后，用“坐标法”来定x三角函数概念的方法也就更加容易理解了。将角纳入到直角坐标系中之后，角就变得更加富有“生命力”了，新定义也不再那么抽象，而是在涵盖旧定义的基础上有了新的内涵。

2.巩固新定义，重视数学思想方法

在三角函数概念的定义中，旧定义内容少、浅、易，而新定义内容丰富，外延广泛，概括程度高，理解难度大，学生在学习新定义时，常对新定义的把握不够稳定，容易还原，因此，不间断、及时的帮助学生巩固新定义是老师们不得不考虑的问题。

我们知道，三角函数旧定义的最大优点就是直观性和情境性较好，“形”的特征突出，而新定义则是“数”、“形”兼备：距离、坐标、比值属于“数”的范畴，而坐标系的引进，角的旋转，则属于“形”的范畴，以“数”解“形”、以“形”助“数”、“数”“形”结合是我们帮助学生理解新定义的有力武器，转变学生的数学思想方法，培养学生数学思想方法，无疑是帮助学生巩固三角函数新定义的明智途径。

3.课堂上注重教学情境，挖掘问题本质，引出三角函数的定义

在数学课堂上，老师们可以向学生讲述数学悠久的历史，并由此引出三角函数的定义，这样在学生的心中就能够其出现的背景以及发展的历程，同时还能够开发学生的智力，也就是由具体的问题到抽象的概念。选择较为恰当的教学情境，让学生能够在学习的过程中体会到乐趣，如此他们才会对这个概念在充分理解的情况下有更深刻的记忆。

三、结语

三角函数范文第8篇

这几年，笔者在教学三角函数一章时，常常困惑于学生的畏难情绪，似乎“三角函数”这几个字就等同于“拦路虎”。日前，复习课上，面对化简“sinα+■cosα”、“sinα+cosα”这样的问题，部分学生总是一而再再而三的会了忘，忘了学，学了会，会了再忘。这不得不让我深思。

三角函数是高中数学的重要内容之一，它既是扩充了学生对函数的理解，也通过三角函数线的应用更好地将数与形紧密地结合。学生之所以觉得三角函数难学，我想，无外乎有这几个原因：①学生对于初中直角三角形内的关于正弦、余弦、正切的印象非常深刻，虽然高中课本在三角函数一章的第一节就介绍了任意角和弧度制的概念作为铺垫，但由于已有的知识经验在初中被反复强化，而高中教材这一部分的课时安排却不是很多，这就使得新的知识难以取代旧有的经验，造成学生概念易忘；②三角函数一章同角三角函数公式、诱导公式、和差公式、倍角公式等公式较多，在综合应用题中学生常有无所适从感；③三角函数是一种周期性函数，虽然通过几何画板的演示或是三角函数线的推导（事实上，三角函数线本身也是学生学习中的一个难点问题。）可以让学生初步了解三角函数的这一特征，但在理解和应用上还是存在着一定的隔阂等等。

解决以上诸多问题，虽然有客观的困难，如有限的新课教学时间，但，也并不是不可以克服的。首先，关于角度转化为弧度这一节内容必须给予足够的重视，只有完全接受了这一转化才能更好地理解三角函数在平面直角坐标系中的图像。在克服角度，接受弧度的基础上，拿出充足的时间让学生去讨论任意角三角函数如何定义，这样可以避免以后定义上的模糊。（当然，在这一过程中，应该强调，必要的记忆是不可缺少的。）紧接着出现的几组三角函数公式体现了数学学科的数形结合和归纳转化等思想方法，特点是易推导也易遗忘。关于这点，我想，除了在理解中记忆，在记忆中应用，在应用中熟悉，进而成为手边随用随取的工具外，是来不得半点侥幸的。除了课堂上在教师的指导下练习，学生在课后依然要花大量的时间来强化，否则高三复习时感觉陌生则是必然的。图像是函数求解中必不可少的工具，三角函数的图像自然也应该很好地掌握。

事实上，三角函数公式较之过去的教材已有所删减，考试难度也有所降低。近年来，作为必考的内容之一，三角函数或独立出题（如08年江苏考题第1、15题，09年江苏考题第4题，10年江苏考题第10题等），或是和向量、解三角形等章节的内容混合出题（如09年江苏考题第15题等）。这样的试题难度不大，重在考察基本概念和基本技能。“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”任何知识都是需要夯实基础，勤于练习的，三角函数也不例外！