实数教案
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实数教案范文第1篇
1、加强教学法理论学习
及时收集，理出当代国内外初中数学课中已衽实行的一些典型教学法，用“它山之石攻玉”。在认真学习的期 础上，为创造出我们自己的探究性活动教学法“面努力。
2、继续上好2次公开课
1复习三角形全等证明 张国群 （教研组老师，课题组成员）
2复习三角形全等证明 黄强 （教研组老师，课题组成员）
3．相互听课 ，研讨交流
课题组成员之间坚持互相听课，听课后进行认真研讨交流。除了平时的相互听课交流外，课题组内上有关课题研究课两次，并组织课题组成员进行专题研讨。
4．切实做好4次公开课小结工作。只有认真总结经验、教训，才能有所得益。为进一步探索这一教学法的最佳模式提供依据。特别研究以下几点：①探究性活动教法的特点是什么？它区别于传统教学法的主要特点是什么？②探究性活动教学法比较适合的课型是哪一类？最佳模式是怎样？③探究性活动学习教学法的教案设计与一般教案有什么不同？
5．认真研究以学生为主体，强化问题。这是探究性活动课堂教学的主要部分。着重解决①怎样采取措施才能使学生学习数学的心理因素，如学习动机、学习兴趣、学习态度、学习方法等得充分发展。②课堂教学过程中怎样最大限度地调动学生的思维参与度。（包括认知、记忆、思维等）
实验的第二阶段（2004年9月至2005年元月）
1．继续开展“探究性活动教学法”的实验研究，根据实验第一阶段中研究的问题，继续开展公开课实验研究。本期上的公开课2次：
1探究的推论 张国群
2探究的推论 黄强
2．本学期应解决好公开实验课与平时教学的有机结合，注意连续性，克服为实验而实验的做法。尤其是强调平时教学自觉地将“探究性活动教学法”与其他教学法相结合，尽量做到使实验情境与平时教学情境相同，切忌公开实验课之前对学生动员、演讲等，以保证实验结果的客观性和科学性。
3．研讨探究性活动实验教案设计，应尽量发挥每一参加实验教师的个人特长，按“探究性活动学习的总体原则进行设计，逐步探索出最佳模式”。
4．元月中旬，召开一次“探究性活动教学”学术研究会，主要任务：总结实验第二阶段实验情况，制定下一年度的的实验方案，研究数学实践能力和创新精神的成人构想，培养途径，研讨“探究性活动学习”的特点模式。
三、总结阶段（2005年2月至2005年7月）
我们对“探究性活动”课题的研究与实验中，保证每学期进行一次小结，并在每学期开学时提出书面意见，使每一实验组成员正确评价实验过程中所取得的成绩和存在的不足。同时明确本学期研究实验的具体目标：平时，则保证每月召开一次实验组成员会议，及时研究实验中的问题，保证实验项目的顺利进行。
在进行了五学期的研究与实验后，我们取得了可喜的成绩，在此基础上制订出第六学期的研究实验方案。逐步使经验上升为理论。为最终完成研究与实验项目准备条件。
根据“探究性活动研究”课题实施计划，我们较好地完成了研究任务，在某些方面还取得了突破，主要表现在以下几方面：
1．课题实验组全体同志分别深入、系统地学习了有关教育理论，教学方法、数学哲学等著作。在课题的研究、实验中始终贯彻理论指导下的实践工作，在“转变学生学习观念中，树立自主学习观，在形成性探究活动中，培养学生的自主探究能力
在建构型探究活动中，培养学生的自主探究能力，在应用型探究活动中，培养学生的自主探究能力四个方面的研究均取得了较大进展。
2．对“探究性活动教学法”的理论与实践，在认识上得到了深化，实践趋于成熟“探究性活动”论文《探究三解形斜边上的高》在中学数学教学参考初二、初三学生版上发表。
已开始着手在更高层次的理论水平上进行系统收集、整理资料。为在理论上总结《农村初中数学探究性活动研究》做好积极准备。
本阶段主要做以下工作：
1．继续深化“探究性活动教学法”的实验，在已取得的成果基础上，进行案例分析，总结提高。对在新授课中探究性活动教学。我们采取了案例分析法，从教学的个案进行了分析研究，发现问题，及时矫正，总结提高。通过听课交流、案例分析等，实践研究，提炼了探究性活动的课堂教学模式：创设问题情境—学生自主探索—学生讨论交流—教师合理指导—正确使用评价
2．按下述纲目系统整理资料：
第一：“探究性活动教学法”的意义
1． 探究性活动教学法的原则
2． 探究性活动教学法的意义
3． 探究性活动教学法产生的背景
第二：探究性活动教学法的指导理论
①探究性活动教学的认知规律
②探究性活动教学的建构学说
③探究性活动学习的教育学、心理学及生理研究
第三：探究性活动学习的课堂教学结构
1． 探究性活动法的课堂教育形式
2． 探究性活动教学法的模式
3． 探究性活动教学的内容
第四：探究性活动教学法的分类
1． 形成性探究性活动
2． 建构型探究性活动
3． 应用型探究性活动
第五：探究性活动的实践效果
1． 探究性活动实践效果对比分析
2． 探究性活动的主要优越性
3． 探究性活动的进一步发展
第六：探究性活动课堂教学实例选
1． 探究性活动课堂教学实录选例
2． 探究性活动典型教案选例
3． 做好教案修证工作，突出理论指导下的实践活动，教案要有科技馆，集中设计好“创设问题情境，学生自主探究，学生讨论交流，教师合理指导，正确使用评价五个环节，此外，融洽的课堂教学气氛也十分重要的。教案送实验组审阅，集体讨论，教案通过后实验班试教，达到运用自如，配合默契。
4． 实验班在搞好实验研究的基础上，做好会考准备，迎接检验，做好各种数据的收集，统计以及有关的实验资料。
2．3．1探究性活动教学转变学生的学习观，树立自主学习意识
以前学生“知而不行，依赖心理严重”，不少学习学习上主动追求知识，培养能力的意识和习惯相当薄弱，
开展探究性活动学习以后
①态度、学习观念、学习方式的改变
②培养了学生的创新精神和实践能力
③ 培养和发展了学生的交流意识和合作精神
4增强了学生用数学的意识
因此，促进学生学习观念的转变，树立自主学习观念。
2．3．2探究性活动过程
在实验中，我们重点抓了下列三点：
（一）精心创设问题情境，激发学生学习本课题的兴趣
精心创设问题情景，激发学生的学习兴趣，是开展探究性活动教学的关键，是实行解决课题教学法的关键。为此，应该把教师的设计、设问为知识发现过程的再编制。
根据农村初中生的年龄、心理特点，选择了下列一些角度活动
1、从学生实践或实验中切入，使抽象的数学命题变得通俗易懂
如：三角形全等判定定理的教学，先提出这样一个问题：一块三角形的玻璃被打碎成两片（如图）要配一块同样大小的三角形玻璃，要不要将12都带去？如果只须带一切，那么，应该带哪一块？为什么？这样创设问题情境，使学生容易介入，一开始就具有浓厚的兴趣的探究欲望。
2、从学生认知冲突介入探究活动
例如：为了探究X4+X2Y2+Y4在实数范围内能否顺式分解让两名学生在黑板上对进行分解，如
结果答案不同。为什么正确的因式分解过程会有两种不同的结果呢？从而激发学生对在实数范围内能否因式分解的探究心向，通过探究，使学生认识到，因式分解的完成必须使每个因式都不能再分解为止。
3、从复习旧课介入探究活动，以旧引新，使学生积极参加探究性活动，突破难点，初三复习分式方程一节时，创设了以下情景。用换元法解分式方程
解法
解法1，设则原方程变形为，整理得解得，，当时，解得当时，，，，方程实数解得学生练习完毕后，一个学生站起来说：老师我有一简单的方法解这个题。我发现方程的左边两项互为倒数，右边也正好互为倒数，于是我猜想可以这样解：
实数教案范文第2篇
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．了解根的判别式的概念．
2．能用判别式判别根的情况．
（二）能力训练点：
1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．
2．进一步考察学生思维的全面性．
（三）德育渗透点：
1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．
2．进一步渗透转化和分类的思想方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：会用判别式判定根的情况．
2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”
3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．
三、教学步骤
（一）明确目标
在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．
（二）整体感知
在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．
在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）平方根的性质是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．
2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将
（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
答：b2-4ac．
3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当＞0时，有两个不相等的实数根；
当＝0时，有两个相等的实数根；
当＜0时，没有实数根．
反之亦然．
注意以下几个问题：
（1）a≠0，4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．
（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．
4．例1不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：
（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可变形为
16y2-24y＋9＝0．
＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可变形为
5x2-7x+5=0．
＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
原方程没有实数根．
学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．
强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．
练习．不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
学生板演、笔答、评价．
（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．
又不论k取何实数，≥0，
原方程有两个实数根．
教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．
练习：不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．
（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
不论m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．
方程无实数解．
由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．
（四）总结、扩展
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当＞0时，有两个不相等的实数根；
当＝0时，有两个相等的实数根；
当＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
四、布置作业
教材P．27中A1、2
五、板书设计
12．3一元二次方程根的判别式（一）
一、定义：……三、例……
…………
二、一元二次方程的根的情况……练习：……
（1）…………
实数教案范文第3篇
以新教育理念为指导，坚持以德育为核心，围绕学校工作计划，根据初中学生年龄特点结合有关纪念活动及学科活动，有计划地开展德育工作提高学生道德素质，树立良好的班纪和学风。
二、工作方法与措施
1、以安全教育为工作核心，保障学生的身心健康，配合政教处做好日常常规检查工作。
2、帮助学生树立正确的人生观，价值观和社会主义理想信念，增强他们的道德评价能力和自我实践能力。
3、重视学生的常规训练，规范学生的言行，把学校规章制度落到实处。
4、严格执行学生考勤制度。做好家访及家访记录。
5、抓德育教育：主要培养学生爱国主义精神，集体主义思想，良好的社会公德心，及文明习惯；着力培养学生创新精神和实践能力。
6、抓好教学工作。教学工作是重中之重，配合教导处认真做好各种教学工作。积极查找学生中存在的问题并及时解决。
三、具体工作安排：
第1周：
1、开学典礼
2、制订教学工作计划
3、科组集体备课
第2周：
1、教育教学工作总结会；
2、安全教育活动开展；
3、教育教学工作总结；
4、中考备考会
第3周：
1、科级组长会议；
2、教室布置及板报评比；
3、教案、教具、教学手段自查；
4、集体备课
第4周：
1、九年级学生家长会议；
2、采购充实数学教具
第5周：
1、学生书画展；
2、八年级学生会议
第6周：
1、科组教研活动；
2、集体备课
第7周：
1、体育比赛；
2、集体备课
第8周：
1、校园网建设检查；
2课件库建设检查；
3、集体备课
第9周：1、毕业班工作检查；2、段考复习
第10周：段考
第11周：
1、段考质量分析；
2、集体备课；
3、新团员入团仪式
第12周：
1、八年级学生家长会议；
2、集体备课；
3、读书活动征文收集
第13周：
1、集体备课；
2、数学竞赛；
3、七年级学生家长会议
第14周：毕业班备考检查
第15周：
1、少先队活动；
2优秀课件、教案评比
第16周：
1、课件库成果检查；
2、集体备课
第17周：
1、公物清查回收；
2、集体备课；
3、困难寄宿生补助申请
第18周：
1、中考；
2、期末试
第19周：
1、收集论文、总结；
2、法制安全教育会；
实数教案范文第4篇
【关键词】“教•学•练” 学案
2008年下学期，我校在凤岗镇党委、政府的领导下，在广东教育学院周峰教授的指导下，在教学中广泛使用“教•学•练”三合一教学模式。两年来，各科教学质量取得了长足的发展，教育教学效果取得了明显的进步。2008~2010两个学年度，我校均获得东莞市教育局的“教育教学效果、教育教学管理”双奖。我校从一个相对薄弱、相对落后的面上中学，发展成为获得“双奖”学校，很大程度上取决于“教•学•练”三合一教学模式的使用。
我们知道，提高教学效果，提高教学质量，在我们华侨中学这样的学校，数学这一科显得尤为重要。“教•学•练”三合一教学模式的使用，在我们学校还是仁者见仁，智者见智。然而，我个人认为，“教•学•练”的使用，对于我们数学这个学科，效果明显，作用突出。而的“教•学•练”的使用，最为关键的一环就是的“教•学•练”学案的编写。
下面就本人近两年使用“教•学•练”的点滴体会，谈谈“教•学•练”学案（以下简称为《学案》）的编写中存在的一些问题及其解决这些问题的方法。
1.《学案》编写中存在的问题
“教•学•练”三合一教学模式的推进，关键在于《学案》的编写。《学案》编写好了，事情就成功了一半。因此，《学案》的编写是非常重要、非常关键的一环。
《学案》的编写，如同于我们传统教学中的“写教案”，但它又不完全等同于写教案。我们学校的做法是：先由一个老师主备，再由同备课组一个老师初审，最后由同备课组的老师集体讨论定稿。这样做的优点是：即发挥了个人的主观能动性，又发挥了集体的智慧和力量。俗话说：三个臭皮匠，当个诸葛亮。
在实践中，由于各人对教材理解方面的偏异以及对"教•学•练"三合一教学模式理解的偏颇，在《学案》的编写中存在以下一些问题：
1.1 目的不明
有的教师由于经验不足，或由于对教材的理解不透，理解不到位，在《学案》的编写中目的不明。
例如，在《教材》（人教版•下同）中《多边形的内角和》的编写时，有的老师对把多边形划分为三角形强调过多，导致这节课主次不分，目的不明。学生弄不清这节课到底是掌握划多边形为三角形还是掌握多边形的内角和。
因此，《学案》的编写一定要有清晰的目的，明确的主题。
1.2 照本宣科
有的教师在《学案》的编写中，对教材缺乏自己独立的理解，教材上有什么，编什么，有多少，编多少，照本宣科，毫无新意。
例如，在《不等式的性质》中，关于“不等式的解法”，如果仅编写 例1：利用不等式的性质解不等式：
①x-7>26 ②3x
③23x>50 ④-4x>3
显然是很不够的。我们应该根据《教材》内容以及该内容对该能力点的要求，再补充一节课，专门讲授“不等式的解法”，以便学生能够较熟练地掌握不等式的解法。
1.3 教材搬家
在《学案》的编写中，我们发现，有的教师对于知识的发生、发展，或者公式、定理的来龙去脉，把教材中的内容、过程悉数搬到《学案》中，实行“教材搬家”。这样导致《学案》篇幅冗长，版面臃肿。
我认为，“教材搬家”没有必要。《学案》编写要尽量地做到“精练、简练”。
1.4 面面俱到，顾此失彼
我们还注意到，在《学案》的编写中，有的教师对学生这里不放心，那里也不放心。在一个《学案》中，东拉西扯，内容一大堆，希望做到面面俱到。
例如，在《线段的垂直平分线》中，插入《角的平分线》，在《用坐标表示轴对称》中，又编入点的坐标表示、点所在象限、各象限点的坐标的符号等等，导致《学案》卷面冗杂，主次不分，主题不明。
与面面俱到相反的就是顾此失彼。
在《学案》的编写中，我们有的教师出现顾此失彼的现象。例如，在讲《平方根》的时候，对“平方根”讲得很多，很到位。但是，对于“平方根”与“算术平方根”的联系与区别，却注意不够。教学中，要注意“平方根”与“算术平方根”的对比，在对比中深化学生对“平方根”和“算术平方根”的理解，使他们掌握“平方根”与“算术平方根”的联系与区别。《教材》 例5：求下列各式的值：
①144 ②-0.81 ③±121196
就是这样一个很好的例子。可惜，我们在编写《平方根》的时候，容易丢失这样的好例子。
因此，在《学案》的编写中，我们既不要面面俱到，也不要顾此失彼。要做到主次鲜明，主题分明。
1.5 拔苗助长
在《学案》的编写中，我们有的教师过高地估计了学生的能力，内容往往编得过深、过高、过广。
例如，在《函数的图象》中，对于《教材》 中，判断“一条曲线”是不是“某个函数的图象”，《教材》是通过如下的两个图象来展开的。这样的问题，
对于初学函数的初二学生而言，实在是“太难”。然而，我们有的教师却乐此不疲，讲得太多！
又如，函数中“自变量的取值范围”这个知识点，《教材》是通过 来体现的。这里的“难度”应该控制在“一步到位”。但是，我们有的教师编写了这样的例子：求下列函数中自变量的取值范围：
①y=x+1x-1 ②y=x-1+1-x
这样的例子对于初学函数的初二学生来说，拔得太高、太难。
我们认为，在《学案》的编写中，对某些“知识点”，作适当的“挖掘”，对提高学生的能力，发展学生的智力是有益处的。但是，过深、过高、过广，拔苗助长，则是有害的。我们不排除个别“天才”学生能够接受，但对大多数学生而言，是一个很大的打击和伤害。
对于“知识点”的挖掘，其深度――我的观点是“使学生跳起来能够摘到苹果”即可，过高、过难的要求，甚至“爬梯子还摘不到苹果”，只会打击他们的信心，伤害他们的积极性。
因此，在《学案》的编写中，切忌拔苗助长。要切合学生的实际，符合他们的年龄特征，符合他们的认知规律。
以上所谈，就是我们在实践中，编写《学案》中常见的所存在的问题。
2.《学案》编写中要做好的几项工作
下面再来谈谈在《学案》的编写中，要解决上述问题，需要认真做好以下几项工作。
2.1 研究学生，研究教材
我们通常说，在教学过程中，要“因材施教”。这个“材”，我的理解：一是学生；二是教材。
我们施教的对象是学生，学生是教学过程中的主体。你的学生是什么样的，他的基础知识怎么样，他们的学习能力如何，对这些知识他们会有什么样的反应，可能会犯什么样的错误，教师都要有足够的估计；甚至这些学生背后的家庭背景，作为老师，你都要有一定的了解。这样，你的教学就会有的放矢，针对性强。
对于教材，我们通常说，“以《纲》为纲，以《本》为本”。这个《纲》就是《教学大纲》，这个《本》就是《教材》。
《教材》对于我们来说，它只是一个“纲领性文件”。它不可能把什么知识都叙说得清清楚楚，明明白白。《教材》的编者，他会通过一些具体的公式、定理、例题、习题等，传达他的意愿，表达他的要求。如果什么都表达得清清楚楚，明明白白，那么教材就会篇幅冗长，不精练。
例如，在《实数》这一章中，关于“a2=a”和“(a)2=a(a≥0)”这两个公式，教材就是通过p76T11来体现的。
题：（1）求22，(-3)2，52，(-6)2，72，02，的值，对于任意数a，a2等于多少？
（2）求(4)2,(9)2,(25)2,(36)2,(49)2,(0)2,的值，对于任意非负数a，(a)2 等于多少？
象这样，教材正文里没有，在教材的练习题或习题中出现“知识点”的例子还有很多。因此，我们教师在编写《学案》的时候，要很好地，认真仔细地研究教材，挖掘教材中“隐含”的知识点和能力点。
2.2 中心明确，重点突出
我们在《学案》的编写中，要注意中心明确，重点突出。所编写的内容要紧紧围绕主题展开，不要动东拉西扯，象抓“中药”一样。
例如，编写《完全平方公式》，那么你编写的例题、练习题以及习题都要紧扣公式： （a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2来开展，不要脱离主题，东一榔头西一锤，搞得主次不分，目标不明。
2.3 设计梯度，突破难点
任何知识的学习，对学生来说都会有一些难点。如何突破难点，使学生学起来得心应手，是教师课堂教学艺术，教学手段的技艺体现。
例如，在教学《完全平方公式》，（a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2
时，如果按教材P154例3的安排，一开始就要学生计算：① (4m+n)2，②(y-12)2
学生会感到无所适从。因此，讲完《完全平方公式》以后，我安排了如下的四个用完全平方公式计算：
①(x+1)2 ② (x+3)2 ③(a-2)2 ④(a-1)2
通过以上计算，学生就会逐步明白《完全平方公式》到底是怎么一回事，并能够初步记住公式。然后我再要求学生计算 例3，还按"梯级"补充一些计算题（见附件《完全平方公式》学案），这样学生学起来就不难，公式应用起来也能得心应手。
2.4 精编习题，加强巩固
任何知识的掌握，学生都有一个“消化、巩固”的过程。而“消化、巩固”成效的取得，有赖于教师精编习题。
对于习题的编写，一要紧扣主题，不要东拉西扯，更不要与主题内容脱节；二要“精”。我们的学生每天要学六、七门功课，每科都有巩固练习，如果我们的习题过多过滥，势必就会影响其它科的学习，更为严重的是可能使学生对数学的学习产生抵触情绪，反而有碍于数学成绩的提高。
例如，在《完全平方公式》的学案中，我充分估计了学生可能出错的地方，并根据该公式对学生能力的要求，精编了一些巩固练习题（见附件）
总之，《学案》的编写和使用，在我们学校，还是一件新生事物，对我来说，更是一件有待学习，有待改进的新生事物。
以上所谈，仅是我个人近两年使用“教•学•练”三合一教学模式的一点心得和体会，希望通过它得到各位同仁的帮助和指导，起到抛砖引玉的作用。
附：《完全平方公式》学案一例
课题： 完全平方公式
主备：××× 初审：××× 终审：初二数学备课组
目的要求：使学生掌握完全平方公式，能够较熟练的运用完全平方公式解决有关的计算问题.
重点：完全平方公式及其应用
难点：公式的变形与应用
教学过程：一、预习导学(阅读P153～P154，完成下列问题)
1、 运用整式的乘法计算：
①（a+b)2=(a+b)•(a+b) ② (a-b)2=(a-b).(a-b)
= =
= =
2、总结上述两个公式：
(a+b)2=
(a-b)2=
即 ① 两数和的平方，等于它们的 ，加上它们的；
② 两数差的平方，等于它们的，减去它们的；
二、教学互动
例1、运用完全平方公式计算：
①(x+1)2=( )+2••+( )2
=
②（X+3）2=（ ）2+2••+（ ）2
=
③（a-2)2=( )2－2••+( )2
=
④(a-1)2=( )2－2••+( )2
=
例2、运用完全平方公式计算：
① (4m+n)2 ② (y-12)2
③(-2a+3b)2 ④(-a-2b)2
例3、运用完全平方公式计算：
①1022 ②992
例4、（1）对任意实数a，b下列等式成立吗？
①(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2 ②(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）若(x+y)2=7，(x-y)2=5求值：x2+y2和xy .
三、 达标检测
1、对于任意实数a，b,下列等式恒成立的是（ ）
（A）(a+b)2=a2+b2 （B）(a-b)2=a2-b2
（C）(-a-b)2=a+2ab+b2（D）(-a+2b)2=-a2+4ab+4b2
2、下列计算正确的是（ ）
(A)(x-12=x2-14 （B）(a-b)2=a2-b2
（C） (x+12)2=a2+a+12 （D） (x-1)2=1-2x+x2
3、运用完全平方公式计算：
①(x+6)2 ②(y-5)2
③(-2x+5)2 ④(2x-3y)2
四、 课后巩固
1、 运用完全平方公式计算：
①(a+2)2 ② (a-3)2 ③(2a+b)2
④ (-2m-1)2 ⑤(32a-23b)2 ⑥(-a+2b)2
⑦972 ⑧1012
2、若(a+b)2=3，(a-b)2=5,求值：①a2+b2 ② a
实数教案范文第5篇
【关键词】数学教学；教与学的反思；高效课堂
荷兰著名教育家弗赖登塔尔曾说过：“反思是数学思维活动的核心和动力。”叶澜教授也指出：“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年反思就有可能成为名师。”结合教学，我想一个好的反思习惯，能促进教师改进教学策略，提升自己的教学水平，也让我们的学生充分发挥自己的潜能，养成反思习惯，从中培养独立思考的素质，提高学生的学习成效。为此，笔者在教学实践过程中，结合自己的一些感受，谈谈本人的几点思考。
一、让精彩来自课案的精心预设
俗话说:凡事预则立,不预则废。一道佳肴，烹制前需要精选食材，巧妙配料，精心制作方能成功；理想的教学需要一个精心预设的课案，合理的教学设计，既要有透彻的课程分析与反思，又要有对施教对象——学生学情的准确了解，重视学生的认知规律，适当的预想学生的思维脉络，充分整合各种信息，才有可能生成高效的课堂。
一次笔者所在高三数学集体备课活动中，研讨试题讲评课的针对性和有效性时，一位老师对试卷中的一道已知直线与抛物线位置关系求参问题“已知抛物线y=-x2+ax-1与以P（0,3），Q（3,0）为端点的线段有两个不同的交点，求实数a的取值范围”提道：“本题并不新，但总有部分学生出错，老师对重点努力讲评，结果还是不尽如人意。”笔者经过反复分析与反思，还询问了出错学生对本题的理解，得知学生产生错误的原因类型较多：一是转化为方程意识不强；二是化为方程后处理方法不当；三是数形结合上，形的画法不准确。基本上是认知有缺失，方法不到位，方式欠简洁妥当。若老师讲得再多，也是套路上的重复，应让学生多点思考，多去发现，从根本上树立学生的主体意识及运用数学思维的意识。有鉴于此，笔者给本班学生评讲时，有针对性地预设了纠错举措，希望从最核心问题入手，从学生认知规律去把握，设计了同一系列的几道题及完成过程：（独立思考，自我完成）(1)若方程x2-(a+1)x+4=0有两个不等实根,求a的取值范围;(2)若方程x2-(a+1)x+4=0在［0,3］上有两个不等实根,求a的取值范围;（分组交流，老师监控）（3）已知抛物线y=-x2+ax-1与以P（0,3），Q（3,0）为端点的线段有两个不同的交点，求实数a的取值范围;（4）若不等式x2-（a+1）x+4>0在［0,3］上恒成立,求实数a的取值范围。（师生共同总结）
课堂上学生思维比较活跃,基本题型(1)(2)尝到了成功的喜悦,变式题型(3)(4)激发了学生兴趣,拓展,延伸,有新的高度,学生有一试身手的强烈欲望。
从课后回顾及作业处理效果了解到，学生在该类一贯畏惧的错题上，信心倍增，对数学本质问题有新的认识，达到预想的教学效果，笔者认为皆得益于课前的精心预设和必要的反思。
二、加强过程研究，让课堂焕发生命的色彩
如果说好的预设是成功的前奏的话，则高效、优质的课堂更需要教师游刃有余地把握与掌控,需要师生共同创设和谐的课堂环境,我们的课堂教学才会丰富、生动,更有生命力。要做到这一点,教师必须反思,加强对课堂过程的研究。那么,过程研究要把握好什么?什么才是好的过程?笔者认为,紧扣“问题是核心,思维是脉络,能力是目标”这一立意。高中新课程倡导合理设计教学,考虑以内在的数学逻辑来安排教学,注意问题、各部分内容之间的联系,通过类比、联想、知识的迁移和应用等,引导学生发现问题,探索、解决问题,教师适时地注意学生的思维动向与发展,参与到学生的思维脉络中。以下是笔者的某次教学实例,以供参考。
教材中，概念的教学是重点也是难点，教师形式化地灌输，学生被动地接受，效果不理想。概念内涵不能被很好地揭示，学生理解存疑、模糊，也享受不到发现、参与的乐趣。怎么办？笔者通过实践和反思发现，若以问题为导引，学生的就近思维发展为参照，构建概念的动态形成过程，让学生参与到概念的自我定义中，学生的理解就会深刻得多。
如“函数的单调性定义”一节的教学，数学语言抽象、难懂，但学生实际生活中有很多好的体会和素材，教师可从他们的感性体验中，结合一些实际背景，提炼、设计问题串驱动学生去探索。
教学片段
教师：如图为2011年下半年全国居民消费价格指数(CPI)变化图，根据图形观察，请同学们思考下面问题。（创设直观情境，激发兴趣,目的让学生积极参与)
问题1：生活中类似的变化图你见过吗？哪里看到的？关于什么方面的？
学生：报纸、网络到处可见。关于股票、房产、消费等。
问题2：由图请指出价格指数6～12月哪些时间段是逐步升高或下降的。
学生：6月的［1,30］日是上升的，7～11月每月的［1,30］日是下降的。
问题3：以6月为例，你能用数学语言刻画当月“价格指数在［1,30］日是上升”这一表现吗？（升华感性体验，引发旧知识的回顾)
学生：可用函数来概括，区间［1,30］上的任意两个自变量x1,x2，当x1
问题5：反过来，对于任意的两个自变量x1,x2，当x1
学生：可以。
问题6：试一试,你可以给出增函数的形式化的定义吗？
问题7:同理函数有减函数吗?如何定义呢？……
实数教案范文第6篇
关键字： 新课程 高中数学教学 深度 广度 难度
教学过程中“三度”是指教学内容的“深度”、“广度”和例题习题的“难度”；教学过程的“三度”把握的总体原则：整体性原则、阶段性原则、相对性原则；把握的要领在于恰当.
1.“深度”的把握
教学内容应有恰当的深难度，深度把握的基本原则――可适当延伸，让学生了解知识发生的过程，了解问题解决的过程，从强调学习结果转向注重学习过程和结果并重.
（1）在教学过程中，要认真钻研课标，在对教材深度的理解上下工夫，加强对教材设计及处理等方面深层次研究，充分利用教材，开发教材；在全面熟悉学生，激发他们内在的学习动力，正确掌握有效的学习方法、思维方式，挖掘学习潜能，开发智力，培养解决实际问题的能力和创新能力等方面下工夫.对教材深度的处理不但要得体、可行和富有成效，而且要使所确定知识点达到应有的水平，才能使学生较熟练地掌握基本知识、基本技能、基本方法，发展智力.
（2）教学方法的选择、教案的设计、课堂教学的各个环节、步骤、手段、途径及效果等方面的实施，都充分体现对教材内容深层次的把握及其内涵的延伸.注重知识的连续性、完整性和发展性.培养学生掌握重点，解决难点的能力，从而调动学生学习的积极性、求知欲、参与性，树立自信心，增强探索意识，培养他们克服困难的意识，知难而进.鼓励学生多思索问题、分析问题，提高他们观察、注意、记忆、思维和想象能力，发展他们的创造性思维和创造能力，养成良好的创新思维品质.
教学深度决定的本质来自两个方面：一是课程教学目标，二是高考要求.另外，每个时段的教学深度也与教学总体计划相联系.
如必修1中的函数，对函数的表示方法和指数对数函数，要一步到位，但不能太难.而对函数的单调性以了解定义方法为主，待在学习选修时再用导数方法深入.对函数建模，以了解建模思想方法为主，通过以后的学习来逐步熟练和拓宽视野.对二次函数，因初中末深入学习，现应以基础为主不宜深入，但对用图像来得到简单一元二次方程、一元二次不等式的解，应进行直观求解，便于以后的学习和思维的发展.
2.“广度”的把握
“广度”的把握是要在抓住关键，强调通性通法的基础上，扩大知识面，增加信息量，开阔视野，积累厚度，丰富底蕴，熟悉和掌握更多的背景知识，提高文化素养，不断地认识和掌握知识的科学性、系统性、完整性和实践性.
广度把握的基本原则――可适当推广.如在推导等比数列的前n项求和公式时，我们一般是这样进行的.
设等比数列a，a，a，...，a，...它的前n项和是
S=a+a+a+...+a
由S=a+a+a+...+aa=aq
得S=a+aq+aq+…+aq+aqqS=aq+aq+aq+…+aq+aq
（1-q）S=a-aq
当q≠1时，S= ①或S= ②
当q=1时，S=na
显然在等式中两边同乘以公比，使其错位（同次项）相减是关键，而这种方法是处理有这样特征数列求和的一种通法.我们应该把它提炼出来，并推广到适应一个等差数（各项均不为零）与一个等比数列对应项相乘组成的数列求和，在教学中我们正是这样做的.
3.“难度”的把握
例题习题的难度的把握是要使做题的效率最大化.不同的阶段、不同层次的学生的例题习题要有相应的难度.
教师在教学中有目的、有计划地精心编制习题，可避免低水平的重复，使学生拓宽学习领域，也可使每个学生都在原有的基础上得到发展，让学生获得成功的体验，以及学好数学的信心，能收到良好的教学效果，从而提高课堂教学效率.其中，难度的控制至关重要.
难度把握的基本原则：遵循《课标》，同时注意层次性与选择性.
（1）遵循《课标》
在《课标》中对知识与技能有知道（了解、模仿）、理解（独立操作）、掌握（应用、迁移）三个层次，我们在教学中必须遵循课标要求来把握各知识点的难度.
比如对于反函数，《课标》中是这样描述的：知道指数函数y=a与对数函数y=logx互为反函数（a＞0，a≠1）.要求比原大纲降了很多，我们不必对其深挖洞，补充大纲的相关内容，只要让学生知道指数函数y=a与对数函数y=logx互为反函数就行了.高考也正是这样考的.如2009年广东理科卷第3题.
若函数y=f（x）是函数y=a（a＞0，且a≠1）的反函数，其图像经过点（，a），则f（x）=（ ）
A.logx B.logx C. D.x
（2）层次性与选择性
例题和训练题要按难度分层次设计，既要加强基础训练，又要逐级提升，注重能力形成.
在学习或巩固某个知识点或某种方法时用题组的方法来达到层次性与选择性.例如：
问题1：已知方程2x-（6m+1）x+3（3m-1）=0有实根，求实数m的取值范围.
问题2：已知方程2sinx-（6m+1）sinx+3（3m-1）=0有实根，求实数m的取值范围.
问题1给出后，基础差的学生也能将其轻松解决，因为由≥0极易求得m的取值范围，这给他们一种劳有所获的心理和精神上的奖赏.
问题2给出后，基础差的学生仍然由≥0求得m的取值范围，则错了.这是草率之举，但不能责怪他们，教师细心帮其分析错因：由于-1≤sinx≤1，因而≥0不能确保方程的解在区间［-1，1］内，即≥0只是方程有实根的必要非充分条件.
问题3：设x∈［0，π］，若方程cos2x+4asinx+a-2=0有两个不同的解，求实数a的取值范围.
问题3进一步限定了范围，加大了难度.
基础训练题是针对基础知识所设计的题目，要求系统、全面、针对性强，是形成能力的基础；在深化训练题是针对本节重点、难点，以及新旧知识的融会贯通所设计的题目.题目难度中等，是形成能力的必经阶梯；而与科技发展、生活实际相联系的信息题、材料题，或是学科内或学科间的综合题，题目难度较大，可以在课后作为思考题培养部分优秀生的高一层次能力；或是在高考总复习时再学习.
参考文献：
实数教案范文第7篇
一、抓好毕业升级统考，力争教学先锋
1、开学第一周召开六年级全体教师会议，商讨毕业班升学有关问题，从思想上、行动上单独对待，一切以教学质量为中心，集中教研近三年来的升学试题，研究试卷中隐性内涵，分学科开展《六年级升学试题我之见》主题教研演讲，从思想上就站在第一高度，一切以期末测试为基点，注重平时教学渗透。
2、以班主任为主线，学科教师配合，打造高效团队。每月一次激励班会活动，以平态的心公平的对待各类学生，疏导学生学习心理压力，鼓励先进，善于改进，树立学习目标。
3、重视常识学科建设，做到精讲扎实有效。
4、加大检测力度，注重后进生转化，建立长效辅导机制，全面提高整体教学质量。
二、搞好日常教学工作，形成教学特色
为了全面系统地提高各学科教学质量，正常驶入规范轨道，特分学科进行建设。
1、语文学科
（1）语文教学在践行“四个一”的同时，重点做好阅读作文教学。
a、继续坚持实行作文日记平常化，推广上作文修改课、讲评课、赏析课、改进课，完善落实学生教师评价体系。
每学期上一节作文展示课；每学期进行一次作文教学总结。
b、新标准提出大语文、大阅读教学观，学校将积极推进阅读教学、构建教学模型，奠基阅读教学，广博人生。
每生每学期至少读2本完整的书；每师每学期至少读1本完整的教育书籍；每学期师生进行两次读书交流活动。
c、做好四个一工程有效工作，扩大诵读范围，积累中华经典文汇，丰富学生生活。
（2）扎实做好“中华经典诵读”、“楹联实验班”、“品格教育实验班”三个实验班的实施，彰显实验教学优势。
（3）引领教师专业发展，加大教师基本功培训力度，强化个人素质，本学期努力做好以下几点：
a、语文教师每天要有写字教案，并坚持每天一小黑板粉笔字，并展示楼下。
b、书法教师每周上好写字辅导课，并运用专栏每天讲解一个字的写法。
c、语文教研活动内容：a、阅读教学如何扎根东城b、日记作文怎样升华（分段要求，期末制定出各年级日记作文指导意见）
d、业务学习内容：向名师（如窦桂梅、朱永新等）迈进。每周一次，轮流主讲，幻灯演示，资源共享。提倡每位教师或几位教师小组对某一名师全方位的学习和借鉴。
2、数学学科
（1）继续完善221工程，逐步形成台账、改错本、下水作业、学生两本合一作业、题库五大体系，全面贯通落实数学日常教学行为。
（2）研发数学日记，通过宣传、学习等形式，把语文与数学两大学科进行整合、联姻，用语言的方式记录学生学习数学历程。
（3）教研内容：a、221工程前段实施情况进行总结反馈，并不断完善。b、数学日记大家谈，并尝试性地进行撰写。
（4）业务学习内容：向名师迈进，改变授课方式。每周一次，轮流主讲，幻灯演示，资源共享。
3、英语学科
（1）六年级英语词典引入课堂。本学期要求分类每周一次英语小作文练笔，师生共写，共同成长。
（2）抓好一二年级英语启蒙工作，以活动促发展，以竞赛促进步，每月一次单词积累竞赛。
（3）教研内容：英语后进生如何转化
（4）业务学习：双语学习
4、体艺教学
实数教案范文第8篇
一、数学教学中的“整体、联系与转换”
一般而言，数学教师的教学有三种水平。第-种是为了让学生学习起来比较容易而精心准备并实施的教学一一有整体、联系与转换的观念，但认为学生没有，所以，教师自己首先要发现并设计这个联系与转换的整体结构，并帮助学生去发现这些基本的结构，在头脑中形成认知结构，并认为有了这个基础，学生就会加入到任何未来的发展方向上来，这是一种“给予式的教学”；第二种水平是为了让学生学习起来比较得法而精心设计并实施的教学一一当然也有整体的观念，但让学生自己经常去发现这些基本的整体结构，并认为这样是符合“学生学习主体性”教育要求的，这是一种“发现式的教学”；第三种水平不仅是为了让学生会学，而且希望他们能够乐于学习数学而教他们经常去调节这些基本的整体结构，因为已有的整体结构总是有局限的“有待之游”，这是一种“超越式的教学”。当然，也有不少数学教师的教学水平处在第一种水平之下，但我们认为这些教师是不能称其为“数学教师的”数学教师，即他们是“不合格的”数学教师。
由此可见，处在第一种水平的教师是在教数学，而处在第二和第三种水平的教师都是在教学生学数学，但有“有待的发现”和“无待的追求”之本质区别。现实中，第一种水平的数学教师可能很辛苦，但经常感觉到“吃力不讨好”；第二种水平的教师擅长教“好学生”，而对所谓的“数学差生”则会显得“一筹莫展”；只有第三种水平的教师，他们不仅善于启发“好学生”，而且也很会转化“差学生”，是数学文化教学论所应追寻的“理想教师”及其“有效教学”。
第一种水平的教师需要改进自己的“联系与转换的”整体观，即在设计整体结构时应该超越现在正在学习的“数学知识单元”等有限的范围，而同时考虑可能的更大范围的整体结构。譬如，在小学阶段讲方程概念时，就我们所了解的情况而言，几乎没有一个数学教师不是用“天平的平衡”来联系实际以帮助学生去发现“方程的结构”的，但这个“平衡结构”却存在着为后续学习（如解方程）埋下“地雷”的可能--如何理解“尤+5=0”、“工2=9”和“工2-4尤=5”等方程中的“等号两边的”平衡呢？第二种水平的教师由于强调“好学生”的重要性，而且不愿也无法教学所谓的“数学差生”，其中有些教师可能在态度上比较“傲慢”，排挤“差生”。因为他们在某种程度上就是学校升学率的保障，学校和家长都得罪不起。因此，他们所需要的“只是”改变态度（尽管也不容易），并不断地向第三种水平的教师学习。第三种水平的教师，应该说，是数学文化教学论所应追寻的目标。
所谓“整体”不仅仅是指幼小衔接、小初衔接、初高衔接和大中衔接的问题，也不仅仅是指-节课、一个单元、一个章节或一学期的数学内容之间的整体性问题，更不仅仅是指现行数学课程标准中所提倡的“三种联系”--联系学生的生活经验与实际、注重数学各学科之间的联系、数学与其他学科之间的联系等，它更多的是指，数学教师应该追求用一种“无待的”整体观来看待各种“有待的”数学学习，以使数学学习成为融“游戏性”、“流变性”和“融贯性”于一体的师生共同创造的“自由天地”。
而所谓“联系与转换”则是在上述“整体”意义上内在于其中的要求，否则，整体将不成其为整体。整体只有通过这“联系与转换”才能够形成、变化和发展，成为一个可能的更大的整体的一个要素或局部或“联系与转换”本身。
譬如，如果我们拥有了这样的整体观念并“深熟”数学文化的内涵，那么我们在进行“数”的教学时就不会局限于“数”的“逻辑发展”(即N-Z-Q-R-Z)或“四则运算”，而置“数”的其他特性（比如，区分性、顺序性和拓扑结构性等，其实复数也可以在有理数之后或实数之前学习）于不顾，更不会出现像“‘，是不是（第一个）自然数？’这样一类问题，也不会出现“对数学归纳法的证明”这类“同语反复”，而且有助于我们理解“为什么有些国家把一楼不称为‘一楼’，而把二楼叫做‘一楼等“数字文化”的约定性。而所谓的“九五之尊”、“三教九流”等也不过是“数字文化”历史流传下来的习俗而已。这里既没有什么神秘感，也没有什么令人费解的难题，倒是文化历史为何选择了这“数字”而不是其他“数字”，却很是令人费解和迷惑的，但这已不是数学文化教学论的问题，而是历史学家和历史学工作者的研究课题了。
再譬如，“计算”或“运算”早已不再是各种“数”的“特权”了，它甚至还被视为“生命的本质”。如何能够通过数学学习来获得这种“哲学的”意义呢？这就要求我们既要洞悉“计算”意义的文化发展：数的运算、字母的运算、函数运算、各种具体数学对象的关系、抽象集合中元素的一般关系、计算就是有限规则的迭代、计算就是适应、适应就是计算……，又要善用“联系与转换”而不把我们现学或已学的“计算”之含义视为“唯一的”逻辑必然。因为演绎证明本身是以演绎为前提的，它属于循环论证；而归纳也是在以“归纳有效”这个事实为其前提的情况下心照不宣地进行归纳的。[1]所以，在数学中，如同在其他领域中一样，不存在最后的和绝对的真理，存在的只是大量的“有限规则内的”相对真理或“语言游戏”。这样一来，我们不仅可以看到整数计算、有理数计算、实数计算、复数计算等之间的一致性，算术计算与代数运算之间的一致性，还可以见到算术与代数中的计算、函数运算与几何中的变换等之间的一致性，甚至“生命的计算本质”，即“符号的排列组合”。
二、数学教学中的“留有余地”
由于数学文化的“整体性”及其指导下的数学文化教学的“整体、联系与转换”之特征，和任何具体数学教学活动的“局部性”特性的同时存在，为培养学生的“数学的”反思性、批判性、创造性和超越性，我们认为，数学文化的教学就必须要“留有余地”。不过，这里的“留有余地”并不是指在课堂上“留有一手”，以待“课后”对学生进行“辅导”、“提升”或“拔高”；而是指，在任何数学教学活动中，数学教师都不应该“把数学教死”，即不应该把数学知识教成“一串无意义的”符号，而应该把数学知识教成“数学思想流变”的凝结；不应该把数学活动教成“小和尚念经，有口无心”的“步骤发现”，而应该把数学活动教成“数学方法游戏的”“再发现”；不应该把数学的“社会建制”隐藏起来，并独独倾心于“数学的绝对性”，而应该把数学的“社会建制”作为“数学精神”的不竭追求的体现，数学学习的“融贯性”只有在这种不竭的追求中才可能达到。
由于数学文化那令人目眩，同时也令人神伤和令人向往的奇妙的力量和意义，数学文化，可以说从幼儿园开始，几乎就成为了一门主要的课程。但数学文化在幼儿园的传播却着实令人伤感(譬如，印刷体数字的书写及其练习）。这里还有-“几何的”例子，即幼儿园的“数学教师”为了让孩子能够更多更准确地从形体上“识别”事物，而专注于各种物体的形状（如正方形与长方形、正方体与长方体）之间的差异，却“视而不见”其内在的一致性，结果就造成了小学数学学习的“先天性”障碍：“五四制”中的小学四年级学生就很难认同“正方形也是长方形”或“正方体是一种特殊的长方体”这一“”式的数学（概念）的概括方式（我想，这可能也不仅仅局限于“五四制”，只是我们的结论来自“五四制”中的课堂观察）。在我们看来，这至少说明，从幼儿园就已开始的“数学文化”传播或教学就应该“留有余地”。也就是说，这里“绝对地”需要“模糊”而不是“精确”或“准确”或“清晰”。
下面仍然是“五四制”中的一个课堂观察案例。初一数学课上，教师为帮助学生形成“代数的”整体转化的思想，设计了这样一个例题（其实来自相应的某个版本的数学教学参考书）：
教师的意图（也是数学教学参考书编者的意图）是“不战而屈人之兵”，即通过“整体一联系一转化”的方式来“直接”得到答案，这与我们在算术中所强调的“准变量（表达式）’’是一致的。下面仅是其中的一种“转化”方式：
但是，却有一个“笨”学生在黑板上写下了如下所示的“笨”办法，即“战而屈人之兵”的直接方法：
“教材安排在高中的内容就非得要等到学生上高中时才可以教”？这种被安排的顺序逻辑是谁家的逻辑？是学生学习数学的逻辑还是教师教数学的逻辑？……当然，教材的内容安排和顺序在每个历史时期都有其一定的“科学的”理由和根据。我们不可否认这一点。但这其中还应该包含无穷的变化和可能才“更科学”，教师教和学生学的创造性都需要这“无穷的变化和可能”。否则，科学的东西就有可能变成机械的“按设计图纸”的模仿，“程序教学”和“网络教学”也就有可能成为解决一切教学问题的“灵丹妙药”。假如我们就是按照“现在被安排好的顺序”来看待这一问题，那么，像这类旨在培养学生“数学思想方法”的问题中也都有可能会隐藏着“内在的不可能”就这里的例子而言，不管是教师的“意图”还是“笨”学生的解法，都隐藏着“a是虚数”这一前提认定，而这一前提认定必然与“任何数的平方都不可能是负数”相矛盾。
其实，“笨”学生的“创造”隐藏着“发明复数”的契机--与历史惊人地相似！如果我们从数学文化发展的历史来看，尽管“无理数的发现”早于复数，但“复数的完善”却早于实数，而且复数的“历史发现”恰恰就产生于类似那个“笨”学生所运用的“解方程方法”。这至少再一次说明，数学知识理论的逻辑结构与人们对它的认识的逻辑结构是不同构的，甚至有时是相反的。总之，综合的数学文化观下的数学教学应该留有余地。这既是教师创造性地教，也是学生创造性地学所必需的。
三、数学教学中的“备而不‘课，”
数学（文化）教学如何贯彻“整体、联系与转换”而体现“留有余地”呢？根据“备好课是提高课堂教学质量的根本保证”[2]这_普遍认识，我们认为，“备而不‘课'是解决这一问题的根本保障，也是数学文化教学（论）所应追求的艺术境界和创造精神。
曾记否？当我们初为人师的时候，“老”教师们往往会教诲我们：当学生问你问题而你一时又答不上来的时候，千万不要说自己不会，应该说，你现在很忙，并约定一个时间给学生讲解(这一点很重要，否则你就会被认为是一个没有责任心的老师），否则，学生就会瞧不起你。
我们暂且不说这些“老”教师们对初为人师的我们的关爱之心应该受到感激，单就这种“思维方式”反映在备课上就是，数学教师要找出一个被“自己”或“数学教师们”认为最好的教学设计或方案，以在课堂上展示数学或数学教师的“逻辑魅力”。当课堂上学生的思维与教师“事先设计好的”教学思维进程不一致的时候，教师一般会本能地来对学生的思维进行“改正”或“扭转”，以使得课堂教学保持一种“和谐、有序的”“高度集中的”“简单”之美和“计划性”。但是，这种情况出现得多了，教师就会越来越感觉到：学生上课配合得很好，问题也都能一一解答，而课后却又不会做题。用现在流行的话来说就是“我都教了你们N遍，你们居然还不会”。于是，教师对备课也就越来越“不重视”了，只是把备课看作是“例行公事”--为备课组检查、教研组备案、教导处抽查等而“准备”甚至“复制”的“纸质文本”。课堂教学开始脱离教案而行“自由之事”。慢慢地，“纸质文本”和课堂上的“教学活动”之间的关系就会变得如同“陌路之伙伴”，但为了诸多“例行公事”的需要，教师还很有可能更多地把精力放在教案的“美化”方面。譬如，每一节数学课的教案上都要求在“教学目的”一栏中写上“德目”（即德育目的）就是显而易见的这种“美化”现象，“备好课是提高课堂教学质量的根本保证”早已不知去向。
上述情况是现实的状况，而不是理论的思辨。但是，为了解决这现实状况中所存在的问题却需要理论的思辨。所谓“备而不‘课'不是说不需要备课，而是指在课前、课中尤其是课后都需要精心地去思考、设计和准备。这里的“备”就是准备，而且它还应该是全方位的、“整体一联系一转换”的无时无刻不存在的准备；而这里的“不课”则是指，不因一时一课而形成通常意义上的“教案”。在综合的“数学文化”观的意义上，“备而不‘课'就是要求我们对所教数学内容都要有一个丰富的“纵横交错”的理解与运用，并使得这些“纵横交错”的丰富关系成为教师个人的“血肉”、烂熟于心，而不是仅此“自留地”一块。因为，只有这样，我们的数学教学才有可能使数学学习充满游戏性、流变性和融贯性；也只有这样，我们的数学教学才有可能既体现数学文化的科学性，又体现其人文性。因此，数学文化教学论中所追求的数学教学既要做到“备而‘不课'，又要体现其“整体、联系与转换”和“留有余地”等新特征。因此，我们应该从以下几方面为数学教学作准备。
首先，要对自己所教授的内容有一种综合的理解与“整体一联系一转换”式的把握。譬如，就小学1?3年级的四块内容而言，不仅要搞清楚“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”和“实践活动”各自的内在联系与转换，（其实，根据我们上面所作的分析便已知道，仅就这一点而言，它也不是轻而易举的事情），而且还要贯穿它们之间的联系与转换。
其次，还要对自己所教授的内容有一种“位置感”，即它在整个“学校数学”中所处的地位和所具有的意义。譬如，就小学数学教师而言，他们不仅要对小学数学的四块内容（其中4?6年级的第四块内容为“综合应用”有一种综合的“整体一联系一转换”式的把握，而且要沟通其与“幼儿园数学学习”以及初中即7?9年级的数学学习（第四块内容为“课题学习”）之间的关系与转换。不过，这里要注意的是，这“位置感”中的“位置”不是固定不变的一个次序，而是我们进行数学教学的一种“左右逢源”、“上下贯通”和“游刃有余”的节奏或步调。如果没有这种“游刃有余的位置感”，数学教学就会要么被学生“牵着鼻子走”，要么被自己设计好的“教学顺序”所限制。
第三，在做到上述两点的基础上，就每次数学教学而言，我们都不应该把数学知识、技能、思想和方法等看作是一个不变的知识体系结构，而应该把它们视为“数学文化传统约定下的”一种安排或选择一一“有规则的游戏”，数学学习就是这“游戏规则”的“再发现”或“再命名”，而在这“游戏规则”的“再发现”或“再命名”过程当中，可能还会出现新的非“数学文化传统约定下的”新规则，这也就是所谓综合的“数学文化”中的数学的创新与发明一一“数学文化”发展的一种方式，而非专门的“数学文化”发展的研究方式，即数学家和数学工作者们专门从事的事业。
第四，至于如何指导“规则的再发现”，新课程标准所倡导的“三重联系”（即联系学生的生活与实际、联系数学各学科、联系数学与其他学科等）都很值得重视（可以说这些都是深受荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔思想的影响）。但是，千万不要以为，只要这样做了，学生就一定能够学好数学（文化）。其实，这仅仅是一个“规则发现”的“有待”。数学文化的教学并不仅仅满足于这些已有“数学文化传统约定下的规则”的“再发现”或“再命名”，而是要追求对这些“有待规则”的超越，以获得一种“无待”的自由意识。
第五，现今所做的各种数学教学案例及其研究，可以说都是这种“规则发现”的“有待”设计。譬如，《全曰制义务教育数学课程标准（实验稿）》中“第三学段”（即7?9年级）教学建议中的一个例子便是如此:
完成下列计算：
根据计算结果，探索规律。
教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。教学中，不要仅注意学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了思考。如果学生-时未能独立发现其中的规律，教师可以鼓励学生相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助。如列出如下点阵，以使学生从数与形的联系中发现规律：
但是，这种“有待”的设计其实就是一个装好的套子，里面藏着一个“谜底”（即规律），所谓“发现规律”就是找出“谜底”。由此可见，教学成了“制作的”学习，而不是学习的“制作”。参照我们前面对数学教学水平所作的三种划分，这类“设计教学”最多就是第二或第一种水平的数学教学，还远远没有达到第三种水平的教学。
我们曾经做过两个“备而不课”式的数学教学设想，但由于各种原因，主要是数学教师本身的“知识结构”和数学思想观念有待改进，而最终都未能在课堂上进行尝试。是否这样的设想太“高远”了？其实不是。因为在和一些数学骨干教师和教育硕士的交流过程中，他们大都也有这方面的一些想法，只是苦于没有“理论指导”，不敢妄为。由此看来，“备而不‘课'的数学教学追求应该是数学文化教学论的努力方向。第一个“备而不‘课'式的数学教学设想是“记数：除了十进制，还可以有什么？’；第二个“备而不‘课'式的数学教学设想则是“数：有理数之后，可能是什么？’。
真诚期待有志于数学文化教育教学实践尝试与理论研究的同仁们的批评指正。