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结合数学史实解析数学课内容实践

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作为以授课为主要任务的教师,学习和研究数学史的首要目的,自然应该是把数学的有关史实融汇到整个数学课程的内容中去。因为在数学课教学过程中,学生对有些内容的理解或者比较困难,或者比较浅浮,为解决此类问题,教师除了在论证推理或举例说明等方面下功夫改善之外,讲述与之相关的数学史,对所授课程内容进行解释和说明,也是一种重要途径。下面列述我们在讲授微积分和概率统计课程时的一些尝试。

一、极限理论和实数理论的发展简史

关于数列或函数的极限定义,课本上首先是用“无限趋近”的语言和表达式“lim”给出的,学生已经能够理解。紧接着又给出极限的第二个定义即“εN”、“εδ”定义,学生反而难以理解,甚至认为这后一定义是多余的。由于此时还未讲到无穷小的概念和导数的定义,我们暂时还只能用适当的数据(例如对1lim(1)1nn∞+=,当ε依次取0.1、0.01、…,时,N相应取为10、100、…)和在数轴上描点等方式进行解释,以使学生对"εδ"定义先有一个初步的了解。后来讲到导数的定义,例如学生对此推导尚能接受,但在此时,教师就要讲述有关历史:首先是18世纪初贝克莱提出的悖论:他质疑x究竟是不是0?若是0就不能做分母,若不是0就不能消去。当时数学界无法回答这个问题,引起了所谓“第二次数学危机”。这说明初创时期的微积分虽然在应用上就已经获得了巨大成功,但在理论上是不严密的,贝克莱悖论切中了这一要害,刺激了数学家们努力建立微积分的严格基础。首先是柯西初创了极限理论,提出极限是变量“无限趋近”的确定目标;以0为极限的变量称为无穷小量,它不一定是真正的0,而是在其变化过程中具有无限接近于0,“想要多小就多小”的特点。但这种说法(即课本上的第一个定义)只是直觉的定性描述,虽然对澄清贝克莱悖论具有重大作用,却没有从根本上解决问题,例如未能区分函数的连续性和可微性,而当时已发现了很多连续但不可微的函数。直到19世纪中叶,维尔斯特拉斯明确提出了"εδ"方法,给极限概念以定量化的定义,用以重建严密的微积分理论体系,才从根本上解脱了“第二次数学危机”。所以"εδ"方法不是多余的,而是完善微积分理论和方法所不可缺少的。既然已介绍了“第二次数学危机”,于是学生自然会问什么是“第一次数学危机”?我们就索性进行解答:古希腊学者信奉“万物皆数”,而这些数只是整数及其比。但当时发现单位边长正方形的对角线长不是整数比,引起了恐慌,这就是“第一次数学危机”。所以从那时起,人们把整数及其比统称为“有理数”,而把非有理数称为“无理数”,有理数和无理数统称为实数。这次危机的解脱不在当时,而在两千多年后的19世纪,并且是在解脱第二次危机的同时,康德等人在极限理论基础上建立了严密的实数理论,才彻底认识了无理数。通过对这些数学史的简扼介绍,学生不仅对本课程的内容有了更深的了解,而且还对以前已熟知的有理数和实数概念有了进一步认识。

二、从古典概率论到近现代概率论的发展简史

从15世纪起数学家就开始研究以赌博问题为主要内容的概率问题,到19世纪已经提出了大数定律、中心极限定理等重要内容,但概率论在理论上仍然很不完善,以致产生了一些悖论。例如,贝特朗悖论:求园内弦长超过圆内接正三角形边长的概率。依据“随机选择”的不同方式选取弦可以得到不同的答案;选择一组平行弦时,所求概率为1/2;选择从圆上某点引出的一组弦,则所求概率为1/2,等等。这种多值性揭示出“概率”这个基本概念本身就较模糊。同时,科学家们们把概率论应用于统计物理时,也感到需要先对概率论自身的基本概念和原理重新进行严密、准确的定义和论证。古典概率论的缺陷,缘由其概念和命题都是以实验为前提的,这种实验有时由问题本身明确规定,有时却不然,亦即概念和命题的建立都具有很大的随意性,缺乏足够的逻辑性、必然性和确定性。

直到20世纪初,柯尔莫果洛夫集前人之大成,运用刚问世不久的测度理论对古典概率进行公理化重建,开创了现代概率论。仅仅一个世纪以来,现代概率论无论在理论或应用方面,或在与其它数学分支的交融汇含方面,其发展的广度和深度,其所取得的成就,都是古典概率进所望尘莫及的。我们在讲授完第一章《概率论的基本概念》之后,向学生讲述概率论与数理统计发展的上述历史,是为了给学生如下启示:这门科学的基础是需要大量的重复的实验和观察(在其中存在着许多不确定因素),但为了能从实验数据中总结出正确的结论,并且要以较少的实验代价获得对一般规律的了解和掌握,即所谓“由局部推断整体”,就必须建立系统的严密的理论,从理论上进行推演。

也就是说,学习这门课程时,既要重视实际数据,又要重视理论推导,两者紧密结合不可偏废。关于这种基本研究方式和学习方式,在以后各章的教学中,仍需经常提醒学生。