贝叶斯公式教学设计与实践

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摘要:贝叶斯公式是概率论与数理统计中重要的一节课程，它在我们日常生活中有着广泛的应用，探讨贝叶斯公式的理论与实践应用具有非常重大的意义。教师在教学中，应紧紧围绕学生，将理论知识应用到解决实际问题中。本文针对贝叶斯公式应用性强的特点，采用案例教学，以身边的鲜活案例“商品质量检测”为依托，阐述贝叶斯公式的教学设计思想。

关键词:贝叶斯公式;教学设计;商品质量检测

《概率论与数理统计》作为一门理学类专业课程又是学生必修的一门公共基础课程，课程介绍了处理随机现象的基本思想和方法，利用数学工具，运用概率统计方法分析和解决问题。这门课程不仅专业性强，而且具有很强的应用性，几乎遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域。它源于生活，应用于生活。在对这门课程进行教学设计的过程中，要结合《概率论与数理统计》的应用性最强、最为活跃的课程特点，教师要善于在课堂教学中以实际问题为依托，注重案例教学，从而激发学生的学习热情，培养学生的综合能力和创新能力。案例教学是美国哈佛大学法学院首先提出来的，它在培养学生开放性思维能力和自我分析、自我评价等方面具有显著的效果。所谓案例教学法就是通过展示一个典型的案例，然后启发学生用课堂知识对案例进行多角度深入的分析，从中得出一些有意义结论或者掌握某种解决问题的方法。它能较好地锻炼学生理论联系实际的能力，增强理论联系实际的意识，从而更好地把所学的知识内容运用到生活实际中去，体现“用数学”的思想。课堂中老师提出与生活密切联系的案例作为课堂教学内容，不仅能使枯燥的课堂充满活力和新鲜感，激发学生的学习兴趣和参与课堂的欲望，还能增强知识的说服力。同时一些典型案例还具有育人功效，对学生的科学观、价值观、理想信念、家国情怀等方面具有重要的培养作用。概率论与数理统计这门学科难度大而实用性又很强，在各行各业中都有举足轻重的应用，针对该特点，教师和学生要善于收集生活中的实际例子，找准与知识的结合点，将这些例子与课程知识有机结合起来，使得课堂变得生动有趣，使课本上理论性的知识变得容易理解，学生的学习兴趣和学习欲望也相对强烈，由此达到良好的教学效果。如果把上好一节课比作一道美味菜肴，那么教学内容是主料食材，教学技能是烹料手艺，教学手段是烹调用具，而案例是食盐。食材、手艺、用具再好，如果没有案例的加入，菜还是索然无味。在现在这样一个信息丰富的时代，每时每刻都有大量信息充斥着我们的大脑和眼睛。要善19于发现这些信息与课堂知识的有机契合点，对信息进行查找、分析、整理，找出切合教学点并适合课堂教学的案例，这需要付出很大的精力。上课分析案例时，要找准案例和课堂知识的切合点，通过开展小组讨论和案例分析，从中抽象出一些有助于我们理解并应用知识的认识和经验，从而学以致用。在一节课中，案例的分析要把握时长，不可拖沓使得学生觉得去知识性、去专业性，也不可过于粗略，使学生觉得理解不透，取得适得其反的效果。以案例教学法为主要教学手法的课程在实施过程中，要把握好“教师主导、学生主体”这个度，以问题驱动课堂，由表面到本质、步步设问、层层推进，引导学生主动思考并踊跃参与课堂，激发学生的学习兴趣，发散学生的思维，让学生在对案例的探索和实践中领悟知识的作用、掌握解决问题的办法和升华对知识的理解，培养学生活学活用，“用数学”解决实际问题、进行科学研究的意识和能力，体现“授人以渔”的思想。通过对实际问题案例的分析，让学生在发现问题、分析问题、解决问题的过程中，体验“用数学”的乐趣，培养“用数学”的能力，建立“用数学”的意识。使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析，面对实际难题能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法，寻找解决问题的最佳途径。近年来，涌现了一些基于案例教学法的教学设计，以《概率论与数理统计》第一章第三小节“贝叶斯公式”为例，文章［1］首先介绍了贝叶斯公式的本质，使学生掌握将信息与样本结合起来用于统计推断的思想，引入经典案例“狼来了”，对学生进行做人诚实守信的思想品德教育。文章［2］给出了“课程思政”指导下的贝叶斯公式的一种全新教学模式，充分发挥了课程和教师的主体责任。探讨贝叶斯公式的理论与实践，传统的教学往往注重课程的理论体系，学生学起来感到困难重重难以理解，本文的教学设计采用案例教学法，将贝叶斯公式应用到与我们日常息息相关的商品质量检测问题，活学活用，整体逐步推进，使学生在掌握知识的同时，培养良好的解决问题的概率思维。下面给出贝叶斯公式的课程教学设计:

1创设情境热点新闻引入

教师创设情境，利用多媒体播放图片，展示一则近日有关商品质量问题的新闻，引入商品质量检测的话题。对商品进行随机抽样检查，根据检查结果，教师引导学生思考“检测次品后显示该商品为次品的几率”这个问题。通过教师与学生的互动，引出本节课所要探讨的商品质量检测问题和解决问题的办法—贝叶斯公式。使学生对接下来要学习的贝叶斯公式产生极大的兴趣，迅速进入学习状态。

2定义贝叶斯公式

教师展示定理内容，给出贝叶斯公式［2］:设试验E的样本空间为Ω，B1，B2，…，Bn是它的一个完备事件组，且P(Bi)＞0(i=1，2，…，n)，则对任一事件A，且P(A)＞0，有由前面所学的条件概率公式出发，教师结合线路图对公式进行直观的推导。教师引导学生对定义进行理解，在上一节全概率公式的基础上，直观地将Bi看成是导致A发生的各种可能原因，且P(ABi)已知，如果A已发生，反过来要探究众多的原因中由Bi这个原因所引发的概率。它是一个“由果索因”的条件概率，并且在日常生活中有着广泛的应用。利用多媒体插入数学家贝叶斯的照片，介绍贝叶斯公式是1763年由英国数学家贝叶斯首次提出来的，并由此思想形成了后来的“贝叶斯方法”。通过引入贝叶斯公式相关的数学文化，开阔学生的知识视野。教师还可引申数学家积极探索，追求科学真理的精神，培养学生不畏挫折、勇攀高峰的学习精神。

3案例分析:商品质量检测

教师展示商品质量检测的一则案例:假设某商品的次品率为0．1%，而现有的检测手段灵敏度为95%(即发现商品确实为次品的概率为95%)，将好的商品判为次品的概率为1%。此时对商品质量进行随机抽样检查，检查结果显示该商品为次品。问仪器在检测次品后显示该商品为次品的概率。教师引导学生对案例进行分析，首先引入数学符号A表示“检测为次品”，B1表示“商品为次品”，B2表示“商品为正品”。由题目已知的条件可得:P(AB1)=0．95，P(AB2)=0．01，P(B1)=0．001，P(B2)=1－P(B1)=0．999，目的是求P(B1A)。为了更加清楚的理解题目，教师借助于全概率公式的路径图(如图1)来表示，有两条路径可以抵达“检测为次品A”的目的地。一条是商品本身就是次品，检测为次品;另外一条是商品本身是正品，检测为次品。检测为次品A的概率就是这两条路径的概率之和，即代入具体数据计算可得P(B1A)约等于8．68%。教师提问学生对这个结果数字大小是否感觉到意外，通过课堂实践发现大部分学生会觉得数字之小有点出乎意料。这个数字看起来非常荒谬且不切合实际，因为这样的结果告诉我们现有对于次品商品的检测手段极其不靠谱，误判的概率极大。教师对案例进行分析总结:由于实际商品的次品率很低，即实际送来的商品中绝大多数是没有质量问题的，也就是说1000个商品中，只有1个是次品，但是在检测中我们可以看到，仪器显示这1000个商品中存在着10．94个次品，结果相差了10倍。所以，这就告诉我们，在实际生产制造过程中，当一个商品检测出是次品后，必须要通过再一次的复检，才能大概率确定该商品为次品。

4小组应用讨论

教师引导学生探讨贝叶斯公式在工程问题中的另外一个应用:已知三家工厂的市场占有率分别为30%、20%、50%，次品率分别为3%、3%、1%。如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少。先让生自己动手练习，教师再分析案例给出答案，加深对学生对贝叶斯公式的理解与巩固。最后让学生分小组讨论贝叶斯公式的其他生活应用举例。教师总结，联系地震预报、人工智能、刑侦决策、疾病检测等其他方面案例解释应用［3-4］，一语道破凡是需要做概率预测的地方都要用到贝叶斯公式，即“贝叶斯公式无处不在”。本文关于贝叶斯公式的教学设计新颖，具有创新性，将贝叶斯公式应用到商品质量检测问题上，引入充满趣味，让学生具有很强的新鲜感。创设生动有趣的教学情境，本着“让生活走进数学课堂，让数学回归生活”的理念，由身边案例导入问题，引导学生从概率角度观察、思考并从中抽象出数学概率问题，并利用所学知识解决问题，从而激发他们对概率论与数理统计这门课程的学习兴趣。对贝叶斯公式的理解与推导采用图形与理论结合的方式，知识点深入浅出，易于理解。案例分析打破传统思维，以当下热门问题替代老的枯燥的问题，与身边事件密切结合，体现了学以致用的思想。学生在学习专业知识的同时，思维得以启迪，思想得以升华，使学生明白正确的概率思维是人们正确地思考问题而必备的文化修养的一个成分。教师在设计案例的时候，还可以更加具体以某种疾病检测为依托，比如艾滋病、乙肝病毒的检测等，使得课堂更加生动，与身边的事件紧密结合。总之，以上四个环节的教学设计，由枯燥的理论知识到身边的鲜活案例，再到给学生以启迪，从如何使学生顺利接受知识、使学生掌握分析问题和解决问题的方法、实现在教书中育人等多个角度，循序渐进，水到渠成。像贝叶斯公式这样的理科性课程实施的时候，要注重“十个融合”:活动与教育融合，知识与育人融合，独奏与交响融合，教案与学生融合，传承与创新融合，授课与教研融合，说教与师表融合，导研与导人融合，服务与自立融合，建设和文化融合。要切实解决好“培养什么人，怎样培养人，为谁培养人”这个根本问题。双向的教学形式对教师也提出了更高的要求。教师在课堂教学中扮演着设计者和引导者的角色，引导学生积极参与课堂讨论，引导学生注重知识和能力，但引导的同时，还要鼓励学生自己独立思考，而且案例教学的稍后阶段，每位学生都要就自己和他人的方案发表见解。教师在设计教学课程时要重视双向交流，打破传统的教学方法:老师讲、学员听。不要使学生感觉学到的都是枯燥的理论知识。在案例教学中，教师引出案例后，要先引导学生进行分析，查阅各种有助于解决问题的理论知识，无形中对知识进行了学习，并且使知识变得易于理解。抓取与案例有关的理论知识后，经过思考、整理思路，得到解决案例问题的方法，最终使得能力得以升华，思维得以启迪。同时案例的解答过程由教师加以引导，促使教师深层次思考，然后根据不同学生的不同理解完善教学内容。

作者：张倩 杨文国 单位：南京中医药大学人工智能与信息技术学院