探讨函数最值的求法
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【摘 要】函数最值问题是数学领域中的重要研究内容.它不仅仅只在教学中解决一些数学问题，而且经常运用于解决实际问题.在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常遇到一些解决在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的问题.生活中也时常会见到求用料最省、效率最高、利润最大等问题.而这些生活和经济问题一般都可以转化为数学中的函数类问题来分析研究，进而转化为求函数最大（小）值的问题，即为函数的最值探讨，这尤其对研究实际问题的人们来说尤为重要.而函数最值问题的解法包括一元函数和多元函数，同时也有初等与高等解法之分.本文主要通过从初等解法方面对一元函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题.
【关键词】函数；最值；高等解法；初等解法；微分
函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分.处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答[1].
函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一.由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题方法[2].
1 配方法
适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
例1、 求函数 的值域。
分析与解：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： 配方得： 利用二次函数的相关知识得 ，从而得出： 。
说明：在求解值域（最值）时，遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 。
2 观察法
适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域（最值）的简单函数。
例：求 的值域.
分析与解：由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：
所以 。
3 部分分式法
适用类型：分式且分子.分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 （ 常数）的形式。
例：求函数 的值域。
分析与解：观察分子、分母中均含有 项，可利用部分分式法；则有
不妨令： 从而
注意：在本题中若出现应排除 ，因为 作为分母.所以 故
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令 ，求出 的值域，进而可得到y的值域。
4 反函数法
适用类型：分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例：求函数 的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。
反解得 即
知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。
故函数的值域为： 。
5 判别式法
适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 的形式，再利用判别式加以判断。
例：求函数 的值域。
分析与解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为： 整理得： 当 时，上式可以看成关于 的二次方程，该方程的 范围应该满足 即 此时方程有实根即 ，
细心的读者不难发现，在前面限定 而结果却出现： 我们是该舍还是留呢？
注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是 ）代回方程检验。
将 代入检验得 不符合方程，所以 。
6 换元法
适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等。
例1、 求函数 的值域。
分析与解：由于题中含有 不便于计算，但如果令： 注意 从而得： 变形得 即：
点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。
例2、 已知 是圆 上的点，试求 的值域。
分析与解：在三角函数章节中我们学过： ，注意到：
可变形为： ，令 2p）则 p）即 故
例3、试求函数 的值域。
分析与解：题中出现 而 由此联想到将 视为一整体，令 由上面的关系式易得 故原函数可变形为：
7 数形结合法：
适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.
例1、：求函数 的值域.
分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ，将原函数视为定点（2，3）到动点 的斜率，又知动点 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：
点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解.
例2、 求函数 的值域。
分析与解：由绝对值的几何意义知： 表示数轴上的动点（不妨设为（x，0））到定点（2，0） ，（-5，0）的距离之和，结合图形不难得到： 。
8 不等式法：
适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如： ）
例1、 当 时，求函数 的最值，并指出 取最值时 的值。
分析与解：因为 可利用不等式 即： 所以 当且仅当 即 时取”=”当 时 取得最小值12。
例2、 双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的最小值是（ ）。
A B 4 C 2 D
分析与解：根据双曲线的离心率公式易得： ，我们知道 所以 （当且仅当 时取“=”）而 故 （当且仅当 时取“=”） 。
说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。
9 有界性法：
适用类型：一般用于三角函数型，即利用 等。
例：试求函数 的最大值。
分析与解：根据余弦函数二倍角公式化简得：
10 单调性法：
适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）
例：求函数 的值域。
分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得： 由复合函数的单调性（同增异减）知： 。
综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活.没有通用的方法和固定模式，在解题 时要因题而异，而且上述介绍的几种求解方法也并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，函数的最值解题方法是灵活多样性的，除了以上讲的，还有很多种方法，如：复数法、几何法、待定系数法、万能公式法等等.因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间.