中国地震损失分布与巨灾债券定价研究

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摘 要:中国是世界上遭受地震灾害损失最严重的国家之一,需要借鉴国际巨灾债券运作经验,进一步发挥保险业分散巨灾风险和补偿经济损失的作用。利用非寿险精算技术,将损失风险与利率风险理论模型相结合,对中国地震巨灾债券定价进行实证研究。结果表明:中国地震巨灾损失服从损失次数为泊松分布、损失额度为对数正态分布的聚合损失分布,通过与BDT无风险利率期限结构模型的结合,可以初步构建地震巨灾债券的定价模型并付诸实践。

关键词:巨灾债券;地震;聚合损失分布;利率期限结构

中图分类号:F840.64文献标识码:A文章编号:1001-6260(2009)06-0082-07

一、问题的提出与文献综述

发生在2008年的中国四川汶川特大地震不仅给灾区人民带来极大的伤痛和苦难,同时也给全体中华儿女和世界各国人民带来悲伤。汶川8.0级强震是中国30年来遭受的最为严重的地震灾害,是近10年来最为严重的自然灾害,造成直接经济损失达8451亿元,占2008年GDP总量的2.8%,占新增GDP的16.73%。

中国东邻环太平洋地震带,西接亚欧地震带,境内有地壳的断层,是世界上遭受地震灾害最为严重的国家之一。据有关资料统计,全球陆地上的7级以上地震,30%左右发生在中国,全球死亡人数20万以上的5次地震,全部发生在中国。中国除贵州、浙江省外,各省均发生过6级以上地震,其中发生过7级以上强震的省、自治区、直辖市就有19个。20世纪以来,中国地震发生的频率和强度急剧增加(见图1)。根据统计预测和国家地震局有关专家的判断,目前中国大陆地震活动正处于第5个活跃期。

图1 中国地震发生频率和强度的分级显示(1992―2008)

频繁而高强度的地震灾害,造成了严重的人员伤亡和巨额的经济损失,给中国政府财政支出和人民生活造成了巨大压力(见图2)。长期以来,中国自然灾害的救助方式主要依靠政府的赈灾资金与民间援助,但可谓杯水车薪,而商业保险由于自身规模和承保技术的限制,一直难以满足巨灾保险的需求,因此大部分的灾害损失还是由受灾单位和群众自己来承担,灾后生活和当地经济的恢复缓慢而困难。

图2 中国地震灾害造成的经济损失和人员伤亡(1990―2008)

注:2008年汶川地震造成直接经济损失8451亿元,人员伤亡50余万,本图显示的2008年地震损失为扣除汶川地震后的数据。

当前国际金融市场上应对巨灾风险的有效方式是巨灾风险证券化产品,其中以巨灾债券最为典型。巨灾债券赋予了保险公司面对巨灾事故的风险控制能力,而其成功发行的关键因素取决于是否合理地定价。

有关巨灾债券定价理论的系统研究开始于20世纪90年代中期,目前仍处于初步发展阶段,新模型不断涌现,又很快被改进。其中最具代表性的理论如下:Cummins等 (1995)用套利的思想讨论了巨灾衍生产品定价。Litzenberger(1996)计算出了赔款损失率分别为Frechet和平稳Levy分布的巨灾债券价格。Briys (1997 ) 在市场完全、巨灾损失指数服从几何布朗运动以及市场无套利机会等假设下,得到了一个巨灾债券价格的表达式。Lane(1998,2000)、Lane等(2007)对已发行的巨灾债券的参数进行回归分析,不断完善和发展了一套LFC巨灾债券定价模型。Loubergé等(1999)以B-S模型为基础,假设在完全和无套利机会的金融市场中巨灾债券损失指数在连续时间中服从几何布朗运动,且利率是连续的,建立了巨灾定价模型。Cox等(2000)提出了基于均衡定价理论的巨灾债券定价模型。Wang(2004)和Christofides(2004)通过概率变换发展了LFC模型,提高了计算效率。Lee等(2000,2007)将道德风险和基差风险引入了巨灾债券定价模型中,认为巨灾债券可以有效地减少再保险人的基差风险。国内较有代表性的成果有韩天雄等(2003)、李永(2005)、田玲等(2006,2008)、施建祥(2006)、王俊凤等(2008)、张庆洪等(2008)等。

从已取得的成果看,巨灾债券定价研究的重点是将巨灾风险特征引入传统债券定价理论。依据巨灾风险的特殊性,可以把巨灾债券定价模型分为完全市场定价模型和不完全市场定价模型,但是无论哪种类型均意味着对金融市场和保险市场的统一定价,这种统一定价具有很大的难度,加之巨灾债券合同的非标准化使得其定价方面的研究进展不大,至今并没有形成一个统一的模型。同时,已有的巨灾债券定价模型把保险市场看作一个外生变量,并没有反映出联结保险市场和金融市场的特征。未来的研究趋势基本上沿着两个方向演进:理论价格和风险分析模型。理论价格模型目前并没有统一,只是在原有的金融模型上做修改,本质上并没有大的变化。而风险分析模型侧重于用实证的研究方法寻求对债券的定价,形成了对债券价值的评估方法,但困难主要在于巨灾债券的样本太少,其可靠性有待检验。

本研究沿用风险分析模型,完成了对中国地震巨灾债券定价的实证研究。具体而言:是利用非寿险精算技术,拟合并建立中国地震巨灾损失的聚合风险分布模型。并以无套利BDT(Black,et al,1990、1991)利率期限结构模型为基础,通过引入转移概率参数,建立中国巨灾债券短期利率的动态变化模型,并在该利率期限结构下,对地震巨灾债券的定价进行实证研究。

二、地震巨灾债券的定价模型

(一)巨灾债券的运作机制

巨灾债券为附息债券,每年末按照合同约定的条件向投资者支付息票,息票的支付取决于地震灾害的损失是否超出触发水平,当损失超过触发水平时,当期和余期息票将不予支付或者按照一定的比例支付;巨灾债券为保证偿还债券,到期时保证偿还金额是确定的。债券运作方式如下:

当t=0时,V(t)=I(t)=0

当0

当t=T时,V(t)=Fr+BI(t)

其中:T表示债券的期限;K表示损失的触发水平;Fr表示息票金额;Q表示息票的回收比例;B表示债券到期的保证赎回金额;V(t)表示时刻t得到的支付金额;I(t)表示地震灾害在时刻t造成的损失金额。

(二)随机利率分布模型

在随机利率与金融衍生品定价中,多采用无套利利率期限结构模型,而其中的BDT模型在债券定价和一般性利率衍生品定价及利率风险管理方面以其相对简单、操作性较强而获得广泛应用。本文沿用BDT模型的基本思想,通过利率转移概率参数,建立扩展的离散形式的BDT利率期限结构模型,并通过中国不同期限的定期存款利率的初始期限结构,即定期存款的到期收益率与波动率,来匹配未来短期利率(远期利率)的变化过程。

模型假设:

(1)短期利率服从对数正态分布;

(2)短期利率随着时间的变化,每个时期变化一次;在每个时期末,利率的变化具有两种可能性,即产生两个利率ra和rb,两者的概率分别为p和(1-p);

(3)第n-1期期末的短期利率的波动率为其任意相邻短期利率的方差,且有ra=rbeσrp(1-p),其中σr为短期利率的变异系数,即波动率;

(4) 初始期限结构的到期收益率为Ri,i=1,2,…,n,其中Ri表示i年期定期存款的到期收益率。

那么,第n期期末的n+1个短期利率的递推公式为:

∑ni=0Cinpi(1-p)n-ia¨(i)b¨(n-i)+Rn+1∑nk=1∑ki=0Cikpi(1-p)k-i

a¨(i)b¨(k-i)=1+R1-Rn+1Ln(ra/rb)=σr/p(1-p)(1)

其中,a¨(i)b¨(n-i)表示所有向前贴现因子所组成的路径集合,例如:

a¨(1)b¨(2)=[(1+ra(1))(1+ra(1)b(1))(1+ra(1)b(2))]-1+[(1+rb(1))(1+ra(1)b(1))

(1+ra(1)b(2))]-1+[(1+rb(1))(1+rb(2))(1+ra(1)b(2))]-1

利率情景树是短期利率随机过程的离散表达形式,上式短期利率动态变化如图3所示。

图3 利率期限结构BDT模型二叉树结构图

(三)损失分布模型

地震风险在某个单位时间内所发生的总损失量与其在这一个单位时间所发生的总损失次数和每一个单次损失额度有关,索赔次数刻画了风险发生的可能性,损失额度刻画了风险发生的严重性。总损失量等于各单次损失量的总和。

假设地震风险在单位时间内可以允许发生多次损失,若用Xk表示第k(k≥1)次发生损失的损失额度时,则在这个单位时间内总的损失次数为N(随机变量),总的损失量为:

SN=X1+X2+…+XN=∑Nk=1XK

其中:(1)随机变量N,X1,X2,…是相互独立的;

(2)X1,X2…,是具有相同分布的随机变量,其分布函数为FX(x),密度函数为fx(x);

(3)损失发生次数k的分布函数为P{N=n}。

根据损失发生的次数,运用全概率公式得到SN的分布函数:

FS(s)=P{SN≤s}=∑∞n=0P{SN≤s|N=n}P{N=n}=∑∞n=0P{X1+X2+…+XN≤s}P{N=n}

其中:P{X1+X2+…+XN≤s}=Fn*Fn-1*…*F2*F1(s)=F*n(s),即FX(x)各个分布函数依次卷积,因此,有FS(s)=∑∞n=0F*n(s)P{N=n}。

假设地震灾害每年发生的次数服从泊松分布,其分布函数为:P{X=n}=e-λλnn!;每次灾害发生的损失金额服从对数正态分布,分布函数为f(x)=12πσxe-(Lnx-μ)22σ2,那么每年地震发生的总损失服从复合泊松-对数正态分布的聚合损失分布模型,分布函数为:

FS(x)=∑∞n=0P(N=n)F*n(x)=∑∞n=0e-λλnn!F*n(x)(2)

(四)地震巨灾债券的定价模型

假设地震巨灾债券具有上述运作机制,短期随机利率的期限结构如图3所示,地震聚合损失分布模型为复合泊松-对数正态分布,并且地震巨灾债券的触发水平与息票的回收比例具有如表1所示结构。

表1 地震巨灾债券的触发水平与息票回收比例结构

触发水平KK1K2K3…KS≥Ks息票(Fr)回收比例Q1Q2Q3…QsQs+1

则,由公式(1)、(2),可求得地震巨灾债券的价格为:

P=(1+R1)-1E(Fr)+∑ni=0Cinpi(1-p)n-ia¨(i)b¨(n-i)+E(Fr)+B•∑nk=1∑ki=1Cikpi(1-p)k-ia¨(i)b¨(k-i)(3)

其中,E(Fr)为息票在各种触发水平的收回比例下的期望值:

E(Fr)=[1-F(Ks)]Qs+1Fr+∑si=1[F(Ki)-F(Ki-1)]QiFr

F(k)=∑∞n=0e-λλnn!F*n(x)

三、中国地震巨灾债券定价的实证研究

(一)地震损失金额分布的拟合

本文选取1990―2008年中国地震灾害直接经济损失在1亿元人民币以上的损失数据作为随机变量的样本数据。为了消除价格因素的影响,通过CPI指数逆推法将各年损失额换算为以2007年为基期的数值,样本数为46个。运用矩估计法对样本数据进行参数估计,即对于对数正态分布有:

=2Ln[E(x)]-1/2Ln[E(x2)]

=-2Ln[E(x)]+Ln[E(x2)]

其中,E(x)、E(x2)分别为样本数据的一阶矩和二阶矩;解得=11.747,=46.047。

对参数进行拟合优度检验:χ2检验统计量为Q=∑ni=1(Qi-Ei)2Ei=4.24

为了进一步验证损失分布的准确性,本文利用12个常见损失分布理论模型分别对样本数据进行拟合,拟合结果见表2。可以看出,除了对数正态分布,其他分布的拟合效果均不理想。因此,确定对数正态分布为中国地震损失金额分布的理想分布。

表2 12种理论分布拟合效果比较

分布名称参数值χ2检验值K-S检验A-D检验对数正态μ=11.747,σ=46.0474.240.0920.3050伽玛正态α=0.56,β=15.22,7.20.120.51皮尔生5α=0.82,β=1.565.670.110.57逆高斯μ=8.8257,λ=23.180.120.53指数λ=8.518315.620.253.59威布尔c=6.71,r=0.698.00.110.41逻辑斯谛μ=7.2091,s=5.608369.310.253.334贝塔(BETA)α=0.46,β=5.7824.40.27892.83正态μ=9.5987,σ=12.70896.690.254.5640帕累托a=0.6468,λ=1.08048.510.1114.9930三角形a=1.0804,c=1.0804,b=66.788.510.47120.0626均匀a=-0.372,b=66.436128.690.5943.49

(二)地震发生次数的拟合图4 中国4年期巨灾债券短期利率的期限结构

根据中国1990―2007年地震损失的原始数据,可知中国地震发生次数的样本原点矩2。运用参数λ=2的泊松分布对地震发生的次数进行拟合,x2检验值3.35

(三)利率分布模拟

以中国商业银行各年期定期存款的到期收益率(表3)为依据,以近两年来中国一年期定期存款的波动(表4)为参照,并假设相同时期任意两个相邻利率的变化概率相等,即p=1/2,对中

(四)地震巨灾债券的定价实证结果

假设中国4年期地震巨灾债券的触发规则如表5所示,到期保证偿还金额B=100,息票面值F=8,则由公式(3)计算可得巨灾债券的发行价格为98.61,实证结果见表6。

(Poisson,LogN)年限(t)到期收益率R变异系数即期利率γ

四、结论与展望

本文将地震损失概率分布与利率期限结构相结合,将地震损失金额这一不确定性事件作为息票支付的触发条件,考虑到了不同时刻短期利率各种变化路径下的息票或有支付,使地震损失风险与金融市场利率风险有机结合。该模型研究讨论的是到期保证偿还型债券,而实际操作上,国际巨灾债券中亦有将息票与本金同时作为或有支付,即发生巨灾风险时,根据不同的触发水平,投资者可能损失部分或全部本金和息票,这使得投资的风险更大。

本研究只是对巨灾债券定价机制的初步探讨,仍然有需要完善之处。比如:在利率期限结构的假设方面,只考虑了基于短期利率的单因子无套利模型,而事实表明,影响利率期限结构的因素不止一个,需要建立更加复杂的多因子模型加以讨论;此外,本文仅讨论了巨灾债券基于损失风险与利率风险纯保费的定价问题,并没有考虑附加费率、道德风险、再投资率等影响价格构成的其他因素。这些问题有待在今后的研究中不断深入和完善。

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Empirical Study on Earthquake Losses Distribution

and CAT Bond Pricing in China

LIU JuanLI Yong

(School of Economics and Management, Tongji University, Shanghai 200092)

Abstract: As one of the countries suffers most seriously from earthquake in the world, China needs to refer to international experience on Catastrophe (CAT) bond, and strengthens insurance industry′s effects on diversifying catastrophic risk and compensating economics losses. This paper studies empirically on the pricing of China′s earthquake CAT bond based on nonlife accuracy approaches and the combination of losses risk and interest rate risk models. The result manifests, China′s earthquake losses could be fitted as an aggregate losses distribution model subject to losses numbers for Poisson and amount for Lognormal distributions. Combining with BDT riskfree term structure of interest rate, it founds one pricing model on earthquake CAT bond and puts it into practice initially.

Keywords: catastrophe bond; earthquake; aggregate losses distribution; term structure of interest rate